26. 24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角-【一飞冲天·同步训练】2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

一 冲天 24.1.3弧、弦、圆心角 1.A2.C3.D4.B5.B6.D7.A 8.D作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,连 接OA',OA,OB,PA, ,点A与A'关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， .∠A'ON=∠AON=60°，PA=PA', ,点B是弧AN的中点，.∠BON=30°， .∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°， 又OB=OA'=√2，.A'B=2. .'PA+PB=PA'+PB>AB=2, ∴.当B,P,A'三点共线时，△PAB周长的最小值是2十a. 9.60° 10.号如图，连接OA,OB.OB交AF于点G ,AB⊥CD, ∴AE=BE=2AB=3. 设⊙O的半径为r,则OE=r-1,OA=r, 在Rt△OAE中，3+(r-1)2=2,解得r=5, AB=BF,.OB⊥AF,AG=FG, 在Rt△OAG中，AG+OG=52, ① 在Rt△ABG中，AG+(5-OG)2=62, ② 解由①②组成的方程组得到AG=24, 5 ∴AF=2AG=S 11.32或6过点B作直径，连接AC交BO于点E, B B E D 04 图1 图2 :点B是AC的中点，∴BD⊥AC, 如图1，，点D恰在该圆直径的三等分点上， ÷BD=专×6v5=2E,0D=0B-BD=5. ,四边形ABCD是菱形， DE=2BD=50E=25. 连接OC,CE=√OC-OE=√15， ∴.CD=√DE+EC=3√2； 如图2，BD=号×65=45.同理可得，0D=5.0E=5,DE=2, 连接OC,,CE=√OC-OE=2√6， ∴.CD=√DE2+CE=6, .CD的长为3√2或6. 12.解：(1)证明：连接OA,OB,如图所示： .OA=OB, ∠A=∠B, .AC=DB, .∠AOE=∠BOF, :∠OEF=∠A+∠AOE, ∠OFE=∠B+∠BOF, ∴.∠OEF=∠OFE, ∴.OE=OF; (2).OM⊥AB, “AM=2AB=4, 设OM=x,则OA=ON=x十2， 在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2=(x十2)2， 解得x=3, ∴.OM=3. 13.证明：连接AC, :∠AOB=90°，C,D是以O为圆心的AB的三等分点， .∠AOC=∠COD=30°， ∴.AC=CD, 又OA=OC, .∠ACE=75° :∠AOB=90°，OA=OB, ∴.∠OAB=45°，∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°， ∴.∠ACE=∠AEC, ∴.AE=AC, ∴.AE=CD 14.解：如图，连接OC,交BD于点H, ,C是BD的中点， .OC⊥BD, .DH=BH. .OA=OB, 0H=2AD=1 在△COE和△BOH中， ∠COE=∠BOH, ∠CEO=∠BHO, OC=OB ,∴.△COE≌△BOH(AAS), ∴.OH=OE=1. ∴.OC=OB=OE+BE=3, ∴.CE=EF=V√32-1下=2√2， ∴.BF=√BE+EF=√22+(2W2)=2V3. 参考答案 E E同步训练九年级数学（全一册) 24.1.3 弧 基础过关 1.下列图形中的角是圆心角的是 0 B 2.以}圆为弧的扇形的圆心角度数是 A.45 B.60 C.90 D.1209 B 随堂检测 3.如图，AB,CD是⊙O的直径，AE=BD,若 ∠AOE=32°，则∠COE的度数是 A.32° B.60 C.68° D.64° 第3题图 第4题图 4.如图，在⊙O中，点C是AB上一点，且BC= 2AC,若∠A=36°，则∠BOC的度数是( A.70 B.72 C.689 D.66 5.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧 所对的弦相等；③相等的圆心角所对的弧相 等.其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 冲天 弦、圆心角 6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦.OM ⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为点M,N,BA,DC 的延长线交于点P,连接OP.下列四个说法 中：①AB=CD;②OM=ON;③PA=PC; ④∠BPO=∠DPO.正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C 为弧BD的中点，AC交OD于点E,DE=1, 则AE的长为 ( A.√5 B.√5 C.25 D.25 8.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三 等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径 MN上一动点.若MN=22,AB=a,则 △PAB周长的最小值是 () O P A.2√2+a B.√2+a C.1+a D.2+a 一冲天 9.如图，AB是⊙O的直径，M,N分别是AO,BO 的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,则CD的度数是 10.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为 E,AB=BF,CE=1,AB=6,则弦AF的长度 为 11.点A,C是直径为63的圆周上两点，点B为 AC的中点，以线段BA,BC为邻边作菱形 ABCD,顶点D恰在该圆直径的三等分点上， 则该菱形的边长为 12.如图，AB为圆O的弦，半径OC,OD分别交 AB于点E,F.且AC=DB. (1)求证：OE=OF; (2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=8,MN =2,求OM的长. M 第二+四章思日 13.如图，∠AOB=90°，C,D是以O为圆心的AB 的三等分点，AB分别交OC,OD于点E,F, 求证：AE=CD. 能力提升 14.如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点， CF为⊙O的弦，且CF⊥AB,垂足为E,连接 BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.若AD =BE=2,求BF的长 D ※