24.1.3弧、弦、圆心角同步训练 - 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

24.1.3 弧、弦、圆心角 同步训练 一、单选题 1．如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，若，则弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ） A．32 B．60 C．80 D．120 5．如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，内两弦、交于点，平分，下列结论中：①；②；③；正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 11．如图，在中，请添上一个条件： ，使得． 12．如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 13．如图，在中，若，，则的度数为 ． 14．如图，是的直径，，，则 ． 15．如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 16．如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 17．如图，在中，点是的中点，，则等于 ． 三、解答题 18．如图，是的直径，，．求的度数 ． 19．如下图，A，B，C，D是上的四点，圆中两条弦AB，CD相交于点E． (1)若，求证：． (2)若，求证：． 20．如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 21．如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，． (1)求证：； (2)如果弦的长为8，与间的距离是3，求的长． 22．如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D A B D D D 1．A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．D 【分析】连接，根据同圆的半径相等，得到等腰三角形，根据等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键． 取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，取弧的中点D，连接，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即, 故选D． 4．C 【分析】本题考查弧，弦，圆心角的关系．根据C、D是弧的三等分点易得度数为度数的． 【详解】解：∵， ， ∵点、是的三等分点， ∴ ， ， 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相等，反之亦如此；根据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案； 【详解】解：∵、是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，求出的度数，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质并结合三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴； 故选A 7．B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 10．D 【分析】本题主要考查了垂径定理、弧、弦、圆心角的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点作于点，于点，证，得、，由弦心距相等得，故①正确；由弧、弦、圆心角的关系可得，由等式性质得，故②正确；由垂径定理及等式性质得，故③正确；据此即可得解． 【详解】解：过点作于点，于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∴；故①正确． ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵； ∴， 即，故③正确； 故选：D 11． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．/42度 【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点，解决此题的关键是合理的正确的计算，先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为： 15． 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．/72度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．/50度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【详解】解：∵，， ∴，而为直径， ∴ 答：的度数为. 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦之间的关系等知识证明即可； （2）根据圆心角、弧、弦之间的关系等知识证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ． （2）证明：， ， ，即， ． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点O作，延长交⊙O于点E，根据题意可得：，推出，即可证明； （2）根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作垂足为点，延长交⊙O于点E， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，则， ∵，与间的距离是3，即， ∴， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 第2页，共16页 第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $