16. 22.3 实际问题与二次函数-【一飞冲天·同步训练】2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

一 乙冲天 22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形问题 1.64 2.解：(1)设BC的长为xm, 根据题意，得200·=460。 整理，得x2-200.x+9600=0, 解得x1=80,x2=120(舍去). .BC边长为80m; (2)设BC边长为xm时，围成的菜园面积为ym2。 根据题意，得y=子(200-)·z =-2(x-100y2+50, 0<≤90，一<0，在对称轴左侧y随x的增大面增大， .当x=90时，y有最大值为4950， .BC边长为90m时，围成的菜园面积最大，最大值为4950m. 3.B4.B5.450 6解：根据题意得B(0,).C3,号. 把B04).C3,号代人y=-言r+br+c得 2 -日×+3+=：解得 (c=4 6公 c=4 2 抛物线解析式为y=一日十2十4， 1 则y=-6(x-6)2+10, .D(6,10), ∴.拱顶D到地面OA的距离为10m: (2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0)， 当x=2或x=10时y=号>6… ∴这辆货车能安全通过： (3)令y=8,则-若(-6)产+10=8， 解得x1=6+2√3，x2=6-2√3， 则x1-x2=4V3, ∴.两排灯的水平距离最小是4√3m. 7解：)把A1,0)和C0,3)代人y=t+br十c,得1+6+c=0, b=-4 ,解得 (c=3 1c=3 ∴.二次函数的表达式为y=x2-4x+3; (2)令y=0,则x2-4x+3=0, 解得x=1或x=3, .B(3,0), ,C(0,3),∴.BC=3√2， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=BC时，PC=32, ∴.OP=OC+PC=3+3√2或OP=PC-OC=3W2-3, .P1(0,3+3√2)，P2(0,3-3√2)： ②当BP=BC时，OP=OC=3, .P2(0,-3): ③当PB=PC时， .OC=OB=3, ∴.此时P与O重合 ∴.P(0,0): 综上所述，点P的坐标为(0,3+3√2)或(0,3一3√2)或(0，-3)或(0,0)： (3)如图2，设点M运动时间为t, 由AB=2,得BM=2-t,则DN=2t, ∴S=×2-0×21=-f+21=-4-1+1. ∴.当t=1,即M(2,0),N(2,2)或(2，一2)时，△MNB面积最大，最大面积是1. P N (P) B 0 A 0 A P2 图1 图2 第2课时利润问题 1.B2.C3.A4.A5.D6.C 7.6设每床每晚收费应提高x个2元，获得利润为y元， 根据题意得：y=(10十2x)(100-10.x)=-20.x2+100x+1000=-20(.x 2 1125, x取整数 ∴当x=2或3时，y最大， 当x=3时，每床收费提高6元，床位最少，即投资少， ∴为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高6元 8.解：(1)当0<x≤5时，设函数的解析式为y=kx十b(k≠0)， b=14 把(0,14)和(5,9)代入得：5k十=9 解得/一1 1b=14 .函数的解析式为y=一x十14： 当5<x≤15时，函数的解析式为y=9: 综上，y与x的函数关系式为 一x+14(0<x≤5，且x为整数) y={9(5<≤15，且x为整数) (2)由表格规律可知：力与x的函数关系是一次函数， ∴.当1≤x≤10时，设解析式为p=kx十b, (k+b=230 把(1,230)和(3,290)代入得： 13k+b=290 解得/=30 916=200-n=30z+20. 同理得10<x≤15时的解析式为p=一100x+1500, 综上，p与x的函数关系式为 (30x十200(1≤x≤10，且x为整数) p={-100x+1500(10<≤15，且x为整数)月 (3)设销售额为元， 参考答案 当0<x≤5时，w=py=(-x+14)(30x+200)=-30x2+220x+2800=-30(x 号+60 3 x是整数， 当x=4时.0有最大值为-30×(4-号+960-320。 3 当5<x≤10时，w=py=9(30.x+200)=270x+1800, .x是整数，270>0， .当5<x≤10时，心随x的增大而增大， .当x=10时，e有最大值为270×10+1800=4500， 当10<x≤15时，0=9(-100.x+1500)=-900x+13500, .-900<0, .心随x的增大而减小， .x=11时，0有最大值为-900×11+13500=3600. 综上所述，第10天销售额最大，最大销售额为4500元。 9.解：(1)设y=k.x+b,把(5,600)，(10,400)代入 得/5k+6=600 10+6=40解得-40 1b=800 .y与x之间的函数关系式为y=一40x十800： (2)设每天的销售利润为元， 当2<x≤5时，=600(x-2)=600x一1200， 当x=5时，wmx=600×5-1200=1800(元)： 当5<x≤10时，=(-40.x十800)(.x-2) =-40(x-11)2+3240, 当x=10时，wmx=-40×1+3240=3200(元)， 综上所述，当销售单价x=10时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元 第3课时建立适当直角坐标系解决问题 1.B 2.解：(1)根据题意，得A(0,9),顶点M(1,12), 设抛物线解析式为y=a(x一1)2+12， 把A(0,9)代入，得a=-3, .抛物线的解析式为y=一3(x-1)2+12=3x2+6.x+9: (2)当y=0时，0=-3x2+6x+9, 解得x1=3,x2=一1， .B(3,0). 水流落地点B离墙的距离OB为3米。 3.B4.B5.B6.A7.38.48 9.5由图可知：A(0,21.2),B(0,9.2),C(0,6.2),D(0,1.2), ,点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同， .E(20.9.2), 设AE的直线解析式为y=kx十b, 19.2=20k+b b=21.2 ∫k=-3 5 (b=21.2 =-号+21.2 A,E,F在同一直线上， .F(25,6.2), 设过D,E,F三点的抛物线为y=ax+br十c, (c=1.2 ∴.9.2=400a+20b+c, 6.2=625a+25b+c 冲天 y=- ++, 水流抛物线向上平移5m,设向左后退了m米， D(0,6.2), 设平移后的抛物线为y=一完(x十m)+号(+m)+1.2+5,经过点256.2. .∴.m=5或m=-25(舍)， 向后退了5米. 10.解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过抛 物线顶点C,则通过画图可得知O为原点， 抛物线顶点C坐标(0,2)，A点坐标（一2,0），B点坐标(2,0)， 设顶点式y=ax2+2,代入A点坐标(-2,0)， 得出a=-0.5, ∴.抛物线解析式为y=一0.5x2+2, 当y=-2.5时代入y=-0.5.x2+2得， -2.5=-0.5x2+2, 解得x=士3， ∴.水面的宽度增加了2×3一4=2（米）. 1 11.解：(1)根据题意，得抛物线的顶点坐标为(5,4)， 且抛物线经过点(0,0)， .设抛物线解析式为y=a(.x一5)2十4， 把(0,0)代入，得25a十4=0，解得a=一25， 4 六抛物线解析式为y=一岩（x一5十4=一云2+ 5 (2)货船能从桥下通过.理由如下： :货船宽为2米，高为3米， 当x=6时y=-嘉(6-5)+4=3.81 3.84>3, 货船能从桥下通过. 12.解：如图所示，建立平面直角坐标系. 依题意可知MN=3,PQ=13,MP=100,AC=600,CE=124,AB=CD,BA⊥AC, DC⊥AC,MN⊥AC,PQ⊥AC 由抛物线的对称性可知，MC=7AC=300, 则可得点坐标：M(0,0),N(0,3),Q(100,13). 设抛物线的表达式为y=ax2十3， 抛物线经过点Q, .将点Q的坐标代入得13=100a+3. 解得a=1000 :抛物线的表达式为y00+3, 当x=800时，得y=0×300+3=93. ∴.DC=93. .DC⊥AC, ∴.∠DCE=90° .DE=√/DC+CE=√/932+1242=155. ∴.索塔顶端D与锚点E的距离为155米. 0 E 参考答紫同步训练九年极数学（全一册) 冲天 22.3实际问题与二次函数 第1课时 几何图形问题 1 2 345 基础过关 0 814 1820 20 18 14 1.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m; 成矩形面积的最大值是 cm2. ②足球飞行路线的对称轴是直线1=？；③足 2.如图，ABCD是一个矩形菜园，为了节省材料， 球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时， 使AD边靠墙，其他三边用总长为200m的竹 距离地面的高度是11m.其中正确结论的个 篱笆围成，墙的长度为90m. 数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O, (1)若菜园的面积为4800m2,求BC边长； 其直径CD,EF均与x轴垂直，以O为顶点的 (2)BC边长为多少时，围成的菜园面积最大？ 两条抛物线分别经过点C,E和点D,F,则图 最大值是多少？ 中阴影部分面积是 ( A.π B.2 cr D.条件不足，无法确定 5.一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如 随堂检测 图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m,门 PQ和RS的宽都是1m,围成的鸡舍最大面积 3.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方 是 平方米. 向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考 虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m) 与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的 关系如下表： 一冲天 第二十二章 二决函数 6.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长 方形的长是12m,宽是4m.建立图中所示的 能力提升 直角坐标系，抛物线可以用y=一石x+x十c 7.如图，关于x的二次函数y=x十bx十c的图 表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距 象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于 离为3m时，到地面OA的距离为号m 点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D. (1)求二次函数的表达式； (2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等 腰三角形？若存在，请求出点P的坐标； (3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位 的速度在AB上向点B运动，另一个点N (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位 D到地面OA的距离； 的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 到达点B时，点M,N同时停止运动，问点 6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道， M,N运动到何处时，△MNB面积最大， 那么这辆货车能否安全通过？ 试求出最大面积. (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它 们离地面的高度相等，如果灯离地面的高 度不超过8m,那么两排灯的水平距离最 N 小是多少米？ M B 0A文D × >>● ※ 同步训练九年级数学（全一册) 冲天 第2课时 利润问题 C.y=- 2x2+10x+1250(0<<60) 基础过关 D.y=一 1.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出 2x2+10x+1250(x≤60) 200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降 4.服装店将进价为每件100元的服装按每件x 价促销.经调研，如果调整书籍的售价，每降价 (x>100)元出售，每天可销售(200一x)件，若 2元，每星期可多卖出40本.设每件商品降价 想获得最大利润，则x应定为 x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y Λ.150 B.160 元，则y与x之间的函数关系为 C.170 D.180 A.y=(30-x)(200+40x) 5.为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具的 B.y=(30-x)(200+20x) 生产，这样某塑料玩具生产公司有时会被迫停 C.y=(30-x)(200-40x) 产，经过调研预测，该公司一年中每月获得的 D.y=(30-x)(200-20x) 利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y =一n2+14n一24，则该公司停产的月份为 随堂检测 ( A.2月和12月 B.2月至12月 2.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本 C.1月 D.1月、2月和12月 为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销 6.某种产品按质量分为10个档次，生产最低档 售单价x(元/件)之间的函数关系式为y= 次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每 4x十440，要获得最大利润，该商品的售价应 件产品利润增加2元.用同样工时，最低档次 定为 ( 产品每天可生产60件，每提高一个档次产量 A.60元/件 B.70元/件 将减少3件.如果获利润最大的产品是第k档 C.80元/件 D.90元/件 次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增 3.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为 加)，那么k等于 ( 每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处 A.5 B.7 理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天 C.9 D.10 可多卖出1件.在确保盈利的前提下，若设每 7.某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元 件服装降价x元，每天售出服装的利润为y 时，客床可全部租出，若每张床位每晚收费提高2 元，则y与x的函数关系式为 ( 元，则减少10张床位的租出；若每张床位每晚收 A.y=-2x+10x+1200(0<x<60) 费再提高2元，则再减少10张床位的租出；以每 次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而 B.y=- 22-10x+1250(0<x<60) 获利大，每张床位每晚应提高 元 一冲天 第二十二章 二决函数 8.小明家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕 猴桃成熟上市后，他记录了15天的销售数量 能力提升 和销售单价.其中销售单价y(元/千克)与时 9.网络销售是一种重要的 间第x天(x为整数)的数量关系如图所示；日 销售方式.某乡镇农贸公 600 销售量（千克）与时间x天(x为整数)的部分 400 司新开设了一家网店，销 对应值如表所示. 售当地农产品.其中一种 0 25 10 当地特产在网上试销售，其成本为每千克2 09 元.公司在试销售期间，调查发现，每天的销售 量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图 6 所示的函数关系（其中2<x≤10）. 432 (1)若5<x≤10，求y与x之间的函数关 0123456789101112131415x 系式； 时间第 (2)销售单价x为多少时，每天的销售利润最 10 12 15 x(天) 大，最大利润是多少元？ 日销售量 230 290 350 410 500 400 300 0 (千克) (1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)从你学过的函数中，选择合适的函数类型 刻画p随x的变化规律，求出p与x的函 数关系式及自变量的取值范围； (3)在这15天中，哪一天销售额达到最大，最 大销售额是多少元？ X >>0 兴 同步训练九年极数学（全一册) 冲天 第3课时 建立适当直角坐标系解决问题 基础过关 B 随堂检测 1.北中环桥由五个高度不同， 3.如图是抛物线形拱桥的剖 跨径也不同的抛物线型钢拱 面图，拱底宽12m,拱高 组成，通过吊桥，拉索与主梁 8m,警戒水位为6m,当拱 -12m 相连，最高的钢拱如图所示， 桥内水位达到警戒水位时，拱桥内的水面宽度 此钢拱（近似看成二次函数的图象一抛物线） 是 ( 在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交 A.3 m B.6m 于A,B两点.拱高为78米（即最高点O到AB C.35m D.6√3m 的距离为78米)，跨径为90米（即AB= 4.如图，桥拱与桥面的交点 y 90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB 为O,B,以点O为原点，水 A B 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物 平直线OB为x轴，建立平 线钢拱的函数表达式为 ( 面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y A.y= 262 752 B.y= 262 400x一80)2+16，桥拱与桥墩AC的交 1 6752 13 13 C.y-1350t D.y-- 1350x 点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10 米，则桥面离水面的高度AC为 ( 2.如图，从某建筑物9米高的 M 窗口A处用水管向外喷水， A.160米 8米 喷出的水呈抛物线状（抛物 C16品米 n.2米 线所在平面与墙面垂直)，如 5.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制 果抛物线的最高点M离墙1 作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛 米，离地面12米，建立平面 物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm,最 直角坐标系，如图. 低点C在x轴上，高CH=1cm,BD=2cm, (1)求抛物线的解析式； 则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为( (2)求水流落地点B离墙的距离OB, 0 A.y= 4(x十3)2 B.y= 4(x3) C.y--i(r+3) D.y=x-3》 一冲天 第二+二幸二谈画教园 6.超市有一种果冻礼盒，内装两个上下倒置的果9.某民房发生火灾.两幢大楼的部分截面及相关 冻，果冻高为4cm,底面是个直径为6cm的 数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现 圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了 乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线 节省成本，包装应尽可能地小，这个包装盒的 上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水 长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤 流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水 压)至少为 流正好经过E,F.若点B和点E、点C和点F 离地的高度分别相同，现消防员将水流抛物线 向上平移5m,再向左后退 m,恰好把 水喷到F处进行灭火。 A.(6+32)cm B.(6+2√3)cm 中B C.(6+25)cm 7% D.(6+3√5)cm 10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当 7.如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12 水面宽(AB)为4m时，拱顶（拱桥洞的最高 米、高6米.车辆双向通行，若规定车辆必须在中 点)离水面2m.当水面下降2.5m时，水面 心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行使，并保 的宽度增加了多少？ 持车辆顶部与隧道有不少于3米的空隙，则通过 隧道车辆的高度限制应为 米 -12米 8.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平 面内，与水平桥面相交于A,B两点，拱桥最高 点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为 拱桥底部的两点，且DE∥AB,点E到直线 AB的距离为7m,则DE的长为 m. ※ 同步训练九年极数学（全一册)】 冲天 11.有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的 最大高度为4m,跨度为10m,如图所示，把 能力提升 它的图形放在直角坐标系中. 12.如图是悬索桥的示意图.小明在游览该大桥 (1)求这条抛物线所对应的函数关系式； 时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引.他通过查 (2)一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥 找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆 下通过？ 索（即图中桥上方的曲线）的形状近似于抛物 线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即 AB=CD,两个索塔均与桥面垂直.主桥AC 10m 的长为600m,引桥CE的长为124m.缆索 最低处的吊杆MN长为3m,桥面上与点M 相距100m处的吊杆PQ长为13m.若将缆 × 索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的 信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔 >>● 顶端D与锚点E的距离 X× 兴