课时分层训练(6) 22.3实际问题与二次函数-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（人教版）

课时分层训练(六)　实际问题与二次函数 知识点一　面积问题 1．用总长为a m的材料做成如图(1)所示的矩形窗框，设窗框的宽为x m，窗框的面积为y m2，y关于x的函数图象如图(2)，则a的值是(　B　) 第1题图 A．16 B．12 C．8 D．4 2．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为14 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(　B　) A．50 m2 B．49 m2 C．46 m2 D．48 m2 3．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一条直角边长为x，则另一条直角边长为(20－x)，其面积为y，则y＝x·(20－x)＝－x2＋10x＝－(x－10)2＋50． 因为－<0， 所以当x＝10时，面积y取最大值，y最大＝50． 知识点二　利润问题 4．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，当销售单价定为13.5元时，销售量是500件，而销售单价每降低1元就可多售出200件．若销售单价为x元时，获得的利润为y元，则y关于x的函数解析式为(　D　) A．y＝(6－x)(500＋x) B．y＝(13.5－x)(500＋200x) C．y＝(6－x)(500＋200x) D．y＝(x－7.5)[500＋200(13.5－x)] 5．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价定为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．当销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大． 6．某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数y＝－x＋26． (1)求这种产品第一年的利润w1(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式； (2)如果该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润w2至少为多少． 解：(1)w1＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236． (2)由题意，得20＝－x2＋32x－236， 解得x1＝x2＝16． 答：该产品第一年的售价是16元． (3)由题意，可知销售量无法超过12万件，即－x＋26≤12，解得x≥14．∴14≤x≤16． w2＝(x－5)(－x＋26)－20＝－x2＋31x－150， ∴抛物线的对称轴为x＝15.5． 又∵14≤x≤16， ∴当x＝14时，w2有最小值，最小值为88万元． 答：该公司第二年的利润w2至少为88万元． 知识点三　抛物线形问题 7．如图，若被击打的小球飞行高度h(单位： m)与飞行时间t(单位： s)满足函数关系h＝24t－4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为(　D　) A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s 8．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A处的水平距离为1 m处达到最高点C，高度为3 m，水柱落地点D距离池中心A处4 m，则水管的顶端B距离水面的高度AB为(　D　) A．2 m　B． m　C． m　D． m 9．如图，某大学的校门是一个抛物线形的水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环间的水平距离为6 m．求校门的高．(结果精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计) 解：以大门地面为x轴、以它的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点． ∵抛物线关于y轴对称，∴设解析式为y＝ax2＋c．∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋． ∴抛物线的顶点坐标为， 即校门的高为 m≈9.1 m． 10．已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数h＝－t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是(　C　) A．点火后1 s和点火后3 s的升空高度相同 B．点火后24 s火箭落于地面 C．火箭升空的最大高度为145 m D．点火后10 s的升空高度为139 m 11．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙(墙足够长)，其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为50 m，门宽为2 m．这个矩形花圃的最大面积是(　C　) A．169 m2 B．288 m2 C．338 m2 D．312.5 m2 12．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位： m)．有下列结论： ①AB＝24 m； ②池底所在抛物线的解析式为y＝x2－5； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8 m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中，正确的是(　B　) A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 13．如图，利用135°的墙角修建一个梯形的储料场，并使∠C＝90°．如果新建的墙BCD总长为24 m，那么当BC＝ 16 m 时，储料场的面积最大． 14．一名女生投掷实心球，实心球行进的路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处． (1)求y关于x的函数解析式； (2)根据体育考试(女生)评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70 m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分？请说明理由． 解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝a(x－3)2＋3． 把代入解析式，得＝a(0－3)2＋3，解得a＝－． ∴y＝－(x－3)2＋3． (2)该女生在此项考试中得满分．理由如下： 令y＝0，即－(x－3)2＋3＝0， 解得x1＝7.5，x2＝－1.5(不合题意，舍去)． ∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5 m，大于6.70 m． ∴该女生在此项考试中得满分． 15．某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ和Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图(1)，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1 m 的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长； (2)方案二：如图(2)，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问：BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ (1) (2) 第15题图 解：(1)∵(21－12)÷3＝3(m)， ∴Ⅰ和Ⅱ两块矩形的面积和为12×3＝36(m2)． 设水池的长为a m， 则水池的面积为a×1＝a(m2)． ∴36－a＝32，解得a＝4． ∴DG＝4 m． ∴CG＝CD－DG＝12－4＝8(m)， 即CG的长为8 m，DG的长为4 m． (2)设BC的长为x m，则CD的长为(21－3x)m， 总种植面积为(21－3x)•x＝－3(x2－7x)＝－3＋． ∵－3＜0， ∴当x＝时，总种植面积有最大值，最大面积为 m2， 即BC应设计为 m，此时总种植面积最大，最大面积为 m2． 【创新运用】 16．某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品(销量＝产量)，年销量不超过30万件．年销量y(万件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图(1)所示．为提高该产品的竞争力，投入研发费用P万元(计入成本)，P与x之间的函数关系如图(2)所示，AB是一条线段，BC是抛物线P＝－4x＋m的一部分． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当售价为多少时年利润最大？最大利润是多少？ (1) (2) 第16题图 解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b． 把(5，30)，(15，10)代入， 得解得 ∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋40(5≤x≤15)． (2)由题意，得当5≤x≤10时，P＝60． 设年利润为w， 则w＝(x－5)y－P＝(x－5)(－2x＋40)－60＝－2x2＋50x－260． ∵－2＜0，5≤x≤10，对称轴为x＝12.5， ∴当5≤x≤10时，w随x的增大而增大． ∴当x＝10时，w最大，最大值为40． 当10≤x≤15时，P＝x2－4x＋m． 把x＝10，P＝60代入P＝x2－4x＋m，得60＝×102－4×10＋m， 解得m＝75． ∴P＝x2－4x＋75． ∴w＝(x－5)y－P＝(x－5)(－2x＋40)－＝－x2＋54x－275＝＋49． ∵－＜0，10≤x≤15， ∴当x＝12时，w有最大值，最大值为49． 综上所述，当x＝12时，年利润w最大，最大利润为49万元． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $