22.3.2 商品利润问题-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

数学九年级上册第二十二章二次函数 第2课时 商 知识梳理ZHISHI SHULI 利用二次函数求最大利润时，若列出的二次函 数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范 围内，则二次函数的最 值就是所要求的 最大利润；当求得的二次函数图象的对称轴不 在题目限定的自变量的范围内，我们先要搞清 自变量的取值在对称轴侧还是侧，再 结合二次函数的增减性求出最大利润；当在不 同的自变量取值范围内，函数解析式不同时，我 们需要分段讨论，求出每种情况下的 ,然 后综合考虑 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点商品利润问题 1.设销售商品的利润为W元，售价为x元，且 W=-2(x-30)2+200,则( ) A.当售价为30元时，有最大利润200元 B.当售价为200元时，有最大利润30元 C.当售价为30元时，有最小利润200元 D.当售价为200元时，有最小利润30元 2.某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每 天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y= 一x2十70x一800，要想获得最大利润，则销售 单价为() A.30元B.35元C.40元D.45元 3.某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关 系，且二次项系数a=一1，当商品单价为160元 和200元时，能获得同样多的利润，要使销售商 品利润最大，销售单价应定为 元 4.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果， 物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场 42 品利润问题 调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均 每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天 少销售3箱. (1)求平均每天销售量y(单位：箱)与销售价 x(单位：元/箱)之间的函数解析式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（单 位：元)与销售价x(单位：元/箱)之间的 函数解析式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获 得最大利润？最大利润是多少？ 课后作业KEHOU ZUOYE 1.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润 时就会及时停产.现有一生产季节性产品的 企业，其一年中每月获得的利润y和月份n 之间的函数解析式为y=一n2+14n一24，则 该企业一年中应停产的月份是() A.1月、2月、3月 B.2月、3月、4月 C.1月、2月、12月 D.1月、11月、12月 2.(天津和平区期末)某青年企业家准备在某地 投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅 游度假村，并将其全部利润用于当地建设.据 测算，若每个房间的定价为60元/天，则房间 将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天， 则就会有一个房间空闲.度假村对旅客住宿 的房间每间将支出各种费用20元/天（没住 宿的不支出)，则当房价每天定为多少元时， 度假村的利润最大( A.110B.105 C.115 D.120 3.某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600 个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均 每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵 橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增 种 棵橘子树，橘子总个数最多. 4.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售 价110元/件，每天销售20件，每销售一件需 缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30 天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令 促销活动，即从第1天起每天的单价均比前 一天降1元.通过市场调研发现，该时装单价 每降1元，每天销量增加4件.在这30天内， 要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随 天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值 范围应为 5.一名在校大学生利用 y件 “互联网十”自主创业， 30 24 销售一种产品，这种产 品的成本价为10元/ 0 1016x/元/件) 件，已知销售价不低于 成本价，且物价部门规定这种产品的销售价 不得高于16元/件，市场调查发现，该产品每 天的销售量y(单位：件)与销售价x(单位： 元/件)之间的函数关系如图所示 (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变 43 22.3实际问题与二次函数 量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W(单位：元)与销售 价x(单位：元/件)之间的函数解析式，并 求出每件销售价为多少元时，每天的销售 利润最大？最大利润是多少？ 能力提升ase6→ 6.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制 造成本为18元，试销过程中发现，每月销售 量y(单位：万件)与销售单价x(单位：元)之 间的关系可以近似地看作一次函数y=一2x十 100.(利润=售价一制造成本) (1)写出每月的利润之（单位：万元）与销售单 价x(单位：元)之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350万元的利润？当销售单价为多少元 时，厂商每月能获得最大利润？最大利润 是多少？(x十1)2-6. 对点练习 抛物线的顶点坐标是(-1，一6). 1.B2.C3.A (2)由P(-1,-2b),点A在y轴上，PA⊥y轴，可得 4.-16 PA=1. 5.解依题意，设y=a(x十2)(x-3).展开，得y=ax2-ax 又BP=2PA,.BP=2. 6a.-a=4,.a=-4,∴.抛物线y=-4x2十4x十24. 由题图，知点B在点P的左侧， 6.D ,点B的横坐标为一3.由抛物线的对称性，可知其对 7.D8.D 称轴为直线x=一2. 9解函数的对称轴是x=子，开口向上，与x轴的交点是 6,1=-2,解得6=5 2 (一1,0)和(4,0)，与y轴的交点是(0，一4)，顶点坐标 又.b十c=-2, 是（-）则图象是： .c=-7. .这条抛物线对应的函数解析式为y=x2十4x一7. 5.解：抛物线y=ax2十bx十4与y轴交于点C, .C(0,4),.OC=4, A(-3,0),.OA=3,.AC=5, ,AB平分∠CAO,∠BAC=∠BAO :BC∥x轴，∴.∠CBA=∠BAO,∴∠BAC=∠CBA, (1)方程的解是x1=一1，x2=4. ∴.CB=CA=5,∴.B(5,4) (2)当x<一1或x>4时，函数值大于0；当一1<x<4 把A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+bz+4,得 时，函数值小于0. 1 课后作业 9a-3b+4=0, a=- 6 1.A2.B3.B 解得 25a+5b+4=4, 5 16= 6 4y=号红-3》+9 ·抛物线解析式为y三一石x+5 6x+4. 5.5(答案不唯一，满足c>4即可) 6.x1=-2,x2=1 6.解(1)因为抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于，点 7.①④ A(一1,0)和点B(3,0),所以 8.解(1)由题意可知抛物线对应的一元二次方程的判别 1-1-b+c=0, b=2, 解得 式△>0，且m≠0， -9+3b+c=0, c=3. 即b2-4ac=(3-2m)2-4m(m-2)>0,且m≠0， 所以此抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. (2)因为当x=0时，y=3,所以点C的坐标为(0,3). 解得m<,且m≠0， 因为y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4, (2)当x=1时，由题意得m十(3一2m)十m一2=1，符合 所以点D的坐标为(1,4) 函数解析式，.点P(1,1)在抛物线上」 (3)设点P(x,y),则x>0,y>0. 因为5am=号×3X1=号，Sam=号×4=2y, 3)m=1,所以y=+x-1=(e+2）广- Q(合，号)根据对称性可得P(一2,1D。 SAABP=4SACDE, 能力提升 所以2y=4×号，所以)=3，所以-2+2z+3=3, 9.(1)证明由题意，得kx十1=x2一4x,即x2一(4十)x 解得x1=2,x2=0(不合题意，舍去) 1=0,该方程根的判别式△=(4十)2十4， 所以点P的坐标为(2,3) .(4+)2>≥0，.(4+)2+4>0， 22.2二次函数与一元二次方程 .该方程有两个不相等的实数根，即直线（与该抛物 知识梳理 线总有两个交，点。 1.ax2+bx+c=m x=xo (2)解当k=一2时，由(1)得x2一(4一2)x一1=0， 2.(1)两(2)一(3)没有 解得x1=1十√2，x2=1一√2. 45 设点A在点B的左侧，直线1与y轴的交点坐标为C 解得x1=3,x2=12. (0,1), 当x=3时，30一2x=30-6=24>18,故舍去. 则S△AOB=S△c十S△c= ×1×2-1D+号×1× 所以x=12, 2 (2)有.依题意，得8≤30-2x≤≤18， (W2+1)=√2. 解得6≤x≤11.面积 22.3实际问题与二次函数 5=0-2w)=-2(-5}°+2婴6≤≤1 2 第1课时最大面积问题 ①声x-号时，S有我大位，8-受m, 知识梳理 ②当x=11时，S有最小值，S.=11×(30-22)=88(m2). 1.(1)函数解析式(2)最值 (3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0. 对点练习 解得x1=5,x2=10. 1.C2.200cm23.B4.A 又30-2x≤18，解得x≥6，故x的取值范围是6≤x≤10. 课后作业 1.B2.B3.D4.150 第2课时商品利润问题 5.解(I)在□ABCD中，AB∥CD,EF⊥AB,故有DG⊥ 知识梳理 FE,即DG为△DEF中EF边上的高. 大左右最大值 ∠BAD=120°，.∠B=60°. 对点练习 ,.∠BEF=∠CEG=30° 1.A2.B3.180 在R△BEF与R△ECC中，BF=合BE-合，EF 4.解(1)由题意得y=90-3(x一50)，化简得y=-3x十240. (2)0=(x-40)(-3x十240)=-3x2十360x-9600. 号，cG=cE=8-, (3)由(2)得=-3x2+360x-9600. ·DG=CD+CG=11-x 因为a=一3<0， 2 所以抛物线开口向下， 于是S=EF·DG=- 8 x2+1 8 x,其中0x≤3. 当x一22=60时，0有最大值， N2)s=三gx2+113】 又因为当x<60时，心随x的增大而增大，所以当x 8 55时，的最大值为1125元.故当每箱苹果的销售价 11w3 8 11 为55元/箱时，可以获得1125元的最大利润. 对称轴为x= 2x(- 2, 课后作业 1.C2.C3.104.0<a<6 当0<x≤3时，S随x的增大而增大， 5.解(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx十b(k≠0)， 故当x=3,即E与C重合时，S有最大值，且S最大=3W3. ,图象过(10,30)和(16,24)两点， 6.解(1)当BC=x时，AC=2-x(0<x<2) (10k+b=30, (2)S正方形ACDE=(2-x)2,S正本形CBFG=x2, 16k+b=24, 故S=(2-x)2+x2=2x2-4x十4=2(x-1)2+2, 1k=-1, 画出函数S=2(x一1)2十2(0<x< ↑S 解得 ∴y=-x+40(10≤x≤16). b=40. 2)的图象，如图. (2)W与销售价x之间的函数解析式为 (3)由图象可知，当x=1时，S豪小值= W=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400. 2;没有最大值. -101234x .W=-x2+50x-400=-(x-25)2+225, (4)当x=1时，总面积S取得最小 ∴其图象在对称轴的左边，W随x增大而增大. 值，此时点C恰好在AB的中点处. 又，10≤x≤16， 能力提升 .当x=16时，W最大，W大=144（元）. 7.解(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)m. 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大 依题意可列方程x(30一2x)=72,即x2一15x十36=0. 利润是144元. 46 能力提升 辆汽车. 6.解(1)x=(x-18)y=(x-18)·(-2x+100)=-2.x2+ D 136x1800, 所以x与x之间的函数解析式为z=一2x2+136x一1800. (2)由z=350,得350=-2x2+136x-1800,解这个方 程得x1=25,x2=43.所以销售单价定为25元或43元. 本章整合 将x=-2x2十136x-1800配方，得之=-2(x 考点逐项突破 34)2+512, 1.C2.D3.A 因此，当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利 14a+2b-3=-3 润，最大利润是512万元. 4.解（(1)由已知，有 a-b-3=0, 解得1， b=-2. 第3课时建立坐标系解决实际问题 所以所求的二次函数的解析式为y=x2一2x一3. (2)将二次函数的解析式进行配方得y=x2一2x一3= 知识梳理 (x一1)2一4，求出顶点坐标为（1，一4).要使该二次函 原点y轴 数的图象与x轴只有一个交，点，应把图象沿y轴向上 对点练习 平移4个单位长度. 1.C2.15m3.B4.10m 5.D 5.解(1)当y=15时，有-5x2+20x=15,化简得x-4x十3=0， 6解(1)因为y=22+z一是-2(x+2x+1)- 1 因式分解得(x一1)(x一3)=0，故x=1或3， 即飞行时间是1s或者3s, 号=2(x+1)2一2，所以项点坐标为(-1，一2)，对称 (2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y=0. 2 所以有0=一5x2+20x,解得x=0或4， 轴为x=一1. 所以从飞出到落地所用时间是4一0=4($)】 (2)求抛物线与x轴的两个交点坐标，即令 2x2+x 20 (3)当x=一2a=一2×（已-5=2时，小球的飞行高度 =0，解得x=-3,x2=1, 3 最大，最大高度为一5×22十20×2=20(m) 所以线段AB的长为4. 6.B7.3 课后作业 7.C8.249.(4√2-4) 1.C2.B3.0.5 10.解(1)根据题意，得W1=xy一6y一80=（一x十26）x 能力提升 6(-x+26)-80=-x2+26x+6x-156-80, 4.解(1)根据题目条件，知A,B,C的坐标分别是（一10， 故W1=-x2十32x-236. 0),(10,0),(0,6).设抛物线的解析式为y=ax2+c, (2)该产品第一年的利润为20万元， 将B,C的坐标代入y=ax2+c, .-x2+32x-236=20,.x2-32x+256=0, 3 ∴.(x-16)2=0,∴.x1=x2=16. c=6, (a=一50' 解得 即如果该产品第一年的利润为20万元，那么该产品 100a+c=0, c=6. 第一年的售价是16元/件， 所以鹅物线的解折式是)=一品x十6。 (3)依题意得，W2=yx-5y-20=（-x+26)x 5(-x+26)-20, (2)可设F(5,yr), 于是一品x5+6=4.5 ∴.W2=-x2+31x-150. “,“公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， 从而支柱EF的长度是10一4.5=5.5(m). ..x≤16. (3)能.理由：如图，设DN是隔离带的宽，NG是三辆 ,受产能限制，销售量无法超过12万件， 车的宽度和，则点G坐标是(7,0).过点G作GH⊥AB ..一x十26≤12，解得x≥14. 交抛物线于H,则ym=一品×7+6≈3.06>3.根据 ∴.W2=-x2+31x-150(14≤x≤16). 抛物线的特，点，可知一条行车道能并排行驶这样的三 :-1<0,国象的对称轴为x=, 47 ∴.当x=14时，W2有最小值88万元： 当满足条件的点M落在F'D'上时，由图象的平移，知 即该公司第二年的利润W2最少为88万元 DN=D'M,故此时FM十ND最小，理由： 考题聚焦体验 .FM+ND=FM+DM=FD'为最小， 1.A2.C3.D4.D 即FD'=2√10， 5.解(1)40(1+20%)=48（元）， 设y=kx十b, .F'D2=FH2+D'H2=(1-2a)2+4=(2√10)2， 75=5k+b, 根据题意得： 解得飞1， 解得口=子（会去）或-吕， 70=10k+b, b=80, .y=-x+80, 则点D,F的坐标分别为(-2，)，(0，-7)， 1x>0, 根据题意得： 且x为正整数， 由点D',F的坐标，得直线D'F的解析式为 -x+80≥48， 7 '.0<x≤32，x为正整数， y=-3x-2' .y=一x十80(0<x≤32，且x为正整数)， 当y=0时，y=-3z-子=0，解得2=-名=m, (2)设所获利润为P元， 根据题意得： 则m+3=号即点M的坐标为(-石0)，点N的坐 P=(y-40)·x=(-x+80-40)x=-(x-20)2+ 400, 标为（，- 即P是x的二次函数， .a=-1<0, 第二十三章旋转 P有最大值， 23.1图形的旋转 .当x=20时，P大值=400，此时y=60, ∴.当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为 第1课时图形的旋转 400元. 6.解抛物线y=ax2-2ax十c(a,c为常数，a≠0)经过点 知识梳理 C(0,一1)，则c=一1， 1.旋转旋转中心旋转角对应点 (1)当a=1时，抛物线的解析式为y=x2一2x一1= 2.(1)相等(2)旋转角(3)全等 (x-1)2-2, 对点练习 故抛物线的顶点坐标为(1，一2). 1.C2.A3.C4.C5.1 (2)y=a.x2-2a.x-1=a(x-1)2-a-1, 课后作业 故，点D(1,-a一1)， 1.C2.A3.A4.(W2,0)5.N6.37 由DE=2V2DC得：DE=8CD, 7.解(1)如图，△A1B1C1即为所求. 即(1-0)2+(a+1+a+1)2=8[(1-0)2+(-a-1+1)2], (2)如图，△A2B2C2即为所求. 解得a=号或号，故抛物线的解折式为y=号2-x 1 1或y=2-3-1 (3)如图，将点D向左平移3个单位长度，向上平移1 个单位长度得到，点D'(-2,-a), 作点F关于x轴的对称点F,则点F的坐标为(0，a一1)， 0123456 89x 能力提升 8.解(1)把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△A1DF, 即由图1变换为图2. (2)由题意，得∠ADB=90°，AD=AD=3,DB=4, i.Som+Sawr-Smm-X3X4-6.