12. 22.1 二次函数的图像和性质 22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质-【一飞冲天·同步训练】2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

一 冲天 22.1.4二次函数y=a.x2+bx+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+br十c的图象和性质 1.B2.C 3.解：(1)y=x2+2x-1=(x十1)2-2， ∴.二次函数y=x2+2x一1的对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1，一2）： (2②：y=含+x-是-(+1-2， 31 二次函数y=?产十x一号的对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1，一2)。 4.B5.A6.A 7.Dy=x2-2x+m2-3=(x-1)2+m2-4, .当一1≤x≤2时，函数值y的最小值为一3， 根据题意，当x=1时，有m2一4=一3， 解得m=1或m=一1. 8.A:一次函数y=x与二次函数y2=a.x十bx十c图象相交于P,Q两点， ∴.x=a.x2十b.x十c有两个根，即ax2十(b一1)x+c=0有两个根， 由图象可知，交点P和Q均位于第一象限， ∴.函数y=ax2十(b一1)x十c与x轴的交点都在x轴的正半轴，故选项A正确. 9.B 10.B:-会=24a十6=0，放①正确： .x=-3时，y<0,.9a-3b+c<0, ∴.9a十c<3b,故②错误； 由图象可知抛物线经过（一1,0）和(5,0)， 25a+56+c=0解得/么-红 /a-b+c=0 c=-5a ∴.8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a .a<0,.8a十7b十2c>0,故③正确； :点A(-3,),点B(-2),点C(2) 名-2=2-(-=8…2< 点C离对称轴的距离近>y, “a<0,-3<-2<2dy<g ∴.y<y2<y⅓，故④错误。 ∴.正确的结论有2个. 11.(0,3)12.013.(1+√2,2)或(1-√2,2) 14.5或1-17 y=x2十2ax十a=(x十a)2十a一a,对称轴为x=一a,分三种情况： 2 ①当-a<-1,即a>1时，二次函数y=x2十2ax十a在-1≤x≤2上，y随x的增大 而增大， .当x=一1时y有最小值-4， 把(-1，-4)代入y=x2+2a.x十a中解得a=5; ②当-a>2,即a<-2时，二次函数y=x+2a.x十a在-1≤x≤2上，y随x的增大 而减小， .当x=2时，y有最小值-4， 把(2，-4)代入y=x2+2a.x十a中， 解得a=一8>-2，合去： ③当一1≤一a≤2，即一2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点， .当x=-a时，y=a-a2=-4, 解得a=17或a=1+)厘>1，合去. 2 2 综上a的值为5或 2 15.解：(1)当m=1时， y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, ∴.顶点坐标为(2,1)： (2)由抛物线y=一x2十4x十m一4(m为常数)可知：开口向下 x=2. .当3≤x≤3十m时，y随x的增大而减小， ∴.当x=3十m时，y有最小值-7， ∴.-(3+m)2十4(3+m)+m-4=-7, 解得m1=2,m2=一3（舍去）， .m=2; (3)-子<m<2M3.0.N0,-2. 直线MN的解析式为y=号-2， :抛物线与线段MN有公共点， 则方程-2+4十m-4=号一2， 即x2-10 -3x-m十2=0中4≥0，且-m+2≥0， ∴(-9)2-4(-m+2)≥0. 3 解得-号<m≤2 16.解：1)抛物线y=子2-2x+6=(红-4)+2， .顶点A的坐标为(4,2)； (2),AB∥x轴，.B点的纵坐标为2， 代入y=x2+1得，2=x2+1,解得x=±1， 点B在第一象限，.B(1,2),.AB=4-1=3, 56m=2×3X2=3. 17.解：(1)，y=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∴.抛物线上的点到x轴的最短距离为1， ∴.抛物线y=x2-2x十2与x轴的“和谐值”为1： (2)如图，P点为抛物线y=x2一2x+2上任意一点，作PQ∥ 点Q, 设P(t,t2-2t+2),则Q(t,t-1), ∴PQ=f-2+2-4-1)=f-3+3=4-号)+， 当1=号时，PQ有最小值，最小值为子， “抛物线y=2-2x十2与直线y=x一1的“和谐值”为子. y=x2-2x+2 yx-1 0 0 参考答案 第2课时求二次函数的解析式 1.A2.B 3.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x一1)(x一3)， 把(0,3)代入得3a=3,解得a=1, ∴.y=(x-1)(x-3), 即抛物线的解析式为y=x2一4x十3； (2)把x=-1代入y=x2-4.x+3得，y=8≠6， 函数的对称轴为直线 .点A(一1,6)不在该抛物线上 4.D5.B6.D7.C8.D 9.y=x2-1 10.1=-2m2+8m十12把x=m代入抛物线y=-x2+6.x中，得AD=-m2+6m, .抛物线的对称轴为x=3, .C的横坐标是6一m,故AB=6-m-m=6-2m, ∴.矩形的周长是1=2（一m2+6m)十2(6-2m)=-2m2+8m+12. 山y2r+2x或y=-言+号 ,图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4， .这个交点坐标为（一4,0）或(4,0)， 设二次函数解析式为y=a.x2+bx十c, ①当这个交点坐标为（一4,0）时， c=0 1 4a-2b十c=-2,解得 b=2 16a-4b+c=0 c=0 1 二次函数解析式为y=2+2, ②当这个交点坐标为(4,0)时， (c=0 4=- 6 4a一2b+c=-2,解得 b= 2 16a+4b+c=0 c=0 ∴.二次函数解析式为y=一 综上所述，二次函数解析式为y=号r+2红或y=一合+号x 12.解：(1)抛物线与y轴交于点A(0,2),顶点为B(1,一3)， ∴.可设抛物线解析式y=a(x-1)2一3， 轴交直线y=x一1于 代入点A(0,-2)得a=1, ∴抛物线解析式y=(x-1)2-3=x2一2x-2: (2)设点A(0,一2)关于x轴的对称点为A'(0,2), 连接A'B交x轴于点P,则此时△PAB的周长最小， 设直线A'B的解析式为y=kx十h, 代人点A0,2,B1,-3)得：+=3 解得k=一5，h=2, ∴直线A'B的解析式为y=-5.x十2， 当y=0时=号P(号0). 一冲天 参考答案 8 4567x 13.解：(1)：抛物线m:y=x2-2x一3过(0，-3)， .设其衍生抛物线为y=ax2一3， ,y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 衍生抛物线y=a.x一3过抛物线y=x一2x-3的顶点(1，一4)， .a-3=-4, 解得a=一1， ∴衍生抛物线为y=一x2一3. 设衍生直线为y=kx十h, :y=kx十h过(0，-3)，(1，-4) :/h=-3 任3-阳会二子 ∴衍生直线为y=一x一3： (2):衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线n与衍生抛物线的交点， ∴.将y=-2x2+1和y=一2x+1联立， 得/=-2r2+1 y=-2x+1 :衍生抛物线y=一2x2+1的顶点为(0,1)， ∴.原抛物线的顶点为(1，一1). 设原抛物线n为y=a(x一1)2-1， :y=a(x-1)2-1过(0,1)， 1=a(0-1)2-1,解得a=2, .原抛物线n为y=2(x-1)2-1=2x2-4x十1.一冲天 22.1.4二次函数y=a 第1课时二次函数y 基础过关 1.抛物线y=一x2十4x十7的顶点坐标为() A.(-2,3) B.(2,11) C.(-2,7) D.（2,-3) 2.关于抛物线y=x2一2x一1，下列说法中错误 的是 A.开口方向向上 B.对称轴是直线x=1 C.当x>1时，y随x的增大而减小 D.顶点坐标为(1，一2) 3.求下列二次函数的对称轴及顶点坐标. (1)y=x2+2x1; （2y=2+ 3 第二十二章 二决函数国 x2十bx十c的图象和性质 x2十bx十c的图象和性质 随堂检测 4.要将抛物线y= 平移后得到抛物线y 合-6r+21,下列平移方法正确的是( A.向右平移6个单位长度，再向下平移3个单 位长度 B.向右平移6个单位长度，再向上平移3个单 位长度 C.向左平移6个单位长度，再向下平移3个单 位长度 D.向左平移6个单位长度，再向上平移3个单 位长度 5.若点（一2，y1),(-1,y2),(3,y3)在二次函数y =一x2十x一3的图象上，则y1,y2,y3的大小 关系是 () A.y3=y1<y2 B.y3≤y2≤y1 C.y2<y1=y8◆ D.y1<y2<y3 6.二次函数y=ax十bx十c的图象如图所示，那 么一次函数y=ax一bc的图象大致是() 同步训练九年极数学（全一册) 7.已知二次函数y=x2一2x十m2-3(m为常 数)，当一1≤x≤2时，函数值y的最小值为 一3，则m的值为 ) A.1 B.0或-1 C.0或1 D.-1或1 8.如图，一次函数y1=x与二次函数y2=a.x2+ bx+c的图象相交于P,Q两点，则函数y= ax2+(b一1)x+c的图象可能是 () 0 9.已知点(x,y)是二次函数y=ax2+bx十c(a <0)上的一个点，且x。满足关于x的方程 2a.x十b=0,则下列选项正确的是 A.对于任意实数x都有y≥y B.对于任意实数x都有y≤yo C.对于任意实数x都有y>y。 D.对于任意实数x都有y<yo 10.二次函数y=a.x2+bx十c (a≠0)的部分图象如图所 示，图象过点（一1,0），对称 轴为直线x=2,下列结论： -1 ①4a+b=0;②9a+c>3b; ③8a+7b+2c>0;④若点A(-3,y1),点B (一)，成C(子以)在该两数图象上则 y1<y3<y2·其中正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 一冲天习 11.抛物线y=x2+bx十c的顶点为(1,2)，则它 与y轴交点的坐标为 12.抛物线y=a.x2+b.x十c经过点A(-5,0),对 称轴是直线x=一2，则a十b十c= 13.如图，抛物线y=-x2+2x十3与y轴交于点 C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若 △PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 y D /0 14.二次函数y=x2+2a.x十a在-1≤x≤2上有 最小值一4，则a的值为 15.如图，平面直角坐标系中， y 抛物线y=一x2+4x十m 4(m为常数)与y轴的交点 为C,M(3,0)与N(0,-2) 分别是x轴、y轴上的点， (1)当m=1时，求抛物线顶点坐标； (2)若3≤x≤3+m时，函数y=-x2+4x十 m一4有最小值一7，求m的值； (3)若抛物线与线段MN有公共点，直接写出 m的取值范围是 >》 一冲天 16.如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y= 女-2x十6的顶点A作x轴的平行线交 抛物线y=x2+1于点B,点B在第一象限. (1)求点A的坐标； (2)点P为x轴上任意一点，连接AP,BP, 求△ABP的面积. 第二十二章 二决函数 能力提升 17.我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向 上的最短距离为这两个函数的“和谐值”， (1)求抛物线y=x2-2x十2与x轴的“和谐 值”； (2)求抛物线y=x2一2x+2与直线y=x-1 的“和谐值”. × >>0 兴 同步训练九年极数学（全一册) 第2课时求 A 基础过关 1.抛物线y=3.x2先向下平移1个单位长度，再 向左平移2个单位长度，所得的抛物线是 A.y=3(x+2)2-1B.y=3(x-2)2+1 C.y=(x-2)2-1D.y=3(x+2)2+1 2.用配方法将二次函数y=x2一8.x-9化为y a(x一h)2+k的形式为 ( A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 3.已知抛物线经过(1,0)，(3,0)，(0,3)三个点. (1)求该抛物线的解析式： (2)判断点A(1,6)是否在该抛物线上. B 随堂检测 4.已知二次函数的图象经过点（一1，一5），(0，一4) 和(1,1)，则这个二次函数的表达式为() A.y=-6x2+3x+4B.y=-2x2+3.x-4 C.y=x2+2x-4 D.y=2x2+3x-4 5.一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4)，且 过另一点(0，一4)，则这个二次函数的解析式 为 () A.y=-2(x+2)2+4B.y=-2(x-2)2+4 C.y=2(x+2)2-4D.y=2(x-2)2-4 一冲天 次函数的解析式 6.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x= 一1，则这个二次函数的表达式为 A.y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x+3 C.y=-x2+2x-3 -3-1:0 D.y=-x2-2x+3 7.抛物线的形状，开口方向与y=22-4x十3 相同，顶点为（一2,1），则解析式为 ( ) Ay=2(x-2)2+1B.y=号x+2)2-1 1 C.y=2(x+2y+1D.y=-(x+2)+1 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物 线的解析式可能是 A.y=x2-x-2 B.y=-2 1 1 2x+2 C.y=- 121 2x2 -x+1 D.y=-x2十x+2 () 第8题图 第9题图 9.如图，抛物线的顶点M在y轴上，抛物线与直 线y=x+1相交于A,B两点，且点A在x轴 上，点B的横坐标为2，那么抛物线的函数表 达式为 一冲天 10.如图，四边形ABCD是矩 形，A,B两点在x轴的正 半轴上，C,D两点在抛物 /A 线y=-x2+6.x上.设OA=m(0<m<3), 矩形ABCD的周长为l,则l与m的函数解 析式为 11.已知二次函数的图象经过原点及点（一2， 一2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距 离为4，那么该二次函数的解析式为 12.抛物线y=a.x2+bx-2与y轴的交点为A, 抛物线的顶点为B(1,一3). (1)求抛物线的解析式；◆ (2)点P为x轴上一点，当△PAB的周长最 小时，求点P的坐标.人 > 第二十二章 二决函教国 能力提升 13.已知抛物线l的解析式为y=a,x2+bx十c(a, b,c均不为0)，顶点为M,与y轴的交点为 N,现定义：以点N为顶点，对称轴是y轴且 过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线， 直线MN为抛物线L的衍生直线， (1)如图，抛物线m的解析式为y=x2一2x 3,分别求出抛物线m的衍生抛物线的解 析式和衍生直线的解析式： (2)若一条抛物线n的衍生抛物线和衍生直 线分别是y=-2x2+1和y=-2x+1, 求这条抛物线n的解析式， × ※