11. 22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质-【一飞冲天·同步训练】2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

一冲天 22.1.3 二次函数y=a( 第1课时二次函数y A 基础过关 1.关于二次函数y=一2x2+1,下列说法中正确 的是 ( A.它的开口方向是向上 B.当x<一1时，y随x的增大而增大 C.它的顶点坐标是（一2,1） D.当x=0时，y有最大值是 2.抛物线y=1-3.x2的顶点是◆ A.(1,-3) B.(-3,1) C.(1,0) D.(0,1) B 随堂检测 3抛物线y=一2x+的对称轴是 A直线x=司 B直线x=一司 C.直线x=0 D.直线y=0 4.巴知抛物线y=+1具有如下性质：抛物 线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴 的距离相等，点M的坐标为(3,6)，P是抛物 线y=2+1上一动点，则△PMr周长的最 小值是 A.5 B.9 C.11 D.13 第4题图 第5题图 第二十二章二决函教□ x一h)2十k的图象和性质 a.x2十k的图象和性质 5.如图，抛物线y=ax2十1与y轴交于点A,过 点A作与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于 点B,C,则线段BC的长为 6.如图，抛物线y= 是r+3与x轴交于A,B 两点，与直线y=一 x+6相交于B,C两点， 连接A,C两点. (1)写出直线BC的解析式： (2)求△ABC的面积. 能力提升 7.一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2十c的 图象的一个交点坐标为(1,2)，另一个交点是 该二次函数图象的顶点， (1)求k,a,c的值： (2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的 直线与二次函数y=a.x2十c的图象相交于 B,C两点，点O为坐标原点，记W=OA+ BC2,求W关于m的函数解析式，并求W 的最小值. 同步训练九年级数学（全一册) 第2课时 二次函数y 基础过关 1.二次函数y=(x十1)2图象的对称轴是( ) A.直线x=-1 B.直线x=1 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.抛物线y=一2(x一3)2的顶点坐标是() A.(2,-3) B.(3,0) C.(-2,-3) D.(-3,0) B 随堂检测 3.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x一h) (a≠0)的图象可能是 4.已知函数y=(x一1)2，下列结论正确的是 () A.当x>0时，y随x的增大而减小 B.当x<0时，y随x的增大而增大 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.当x<一1时，y随x的增大而增大 5.下列抛物线中，开口最大的是 A.y=√/2x B.y=2x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=-(x+1) 6.已知二次函数y=(2-a)x-3,在其图象对称 轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为 A.√5 B.±√5 C.-√5 D.0 一冲天 a(x一h)的图象和性质 7.若函数y=(m-1)x2是二次函数，且开口 向下，则m= 8.下列函数：①y=3x2;②y=-3(x十3)2；③y= 3.x2-1;④y=-2.x2+5;⑤y=-(x-1)2. 其中函数图象形状、开口方向相同的 是 9.已知函数y=(m十2)x"+m-4是关于x的二次 函数，求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个 最低点的坐标，同一条件下，x为何值时，y 随x的增大而增大？ (3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是 多少？同一条件下，x为何值时，y随x的 增大而减小？ ]能h提升 10.对于实数c,d,min{c,d}表示c,d两数中较小 的数，如min{3,一1}=-1.若关于x的函数 y=min{2x,a(x-t)2}(x≠0)的图象关于直 线x=3对称，则a的取值范围是 对应的t值是 一冲天 第3课时 二次函数y=( 基础过关 1.二次函数y=号(x-4)°+5的图象的开口方 向、对称轴、顶点坐标分别是 A.向上，直线x=4,(4,5) B.向上，直线x=一4，（一4,5） C.向上，直线x=4,(4,-5) D.向下，直线x=-4,(-4,5) 随堂检视 2.关于二次函数y=一5(x十2)一6，下列说法 中错误的是 A.开口向下 B.最大值为一6 C.顶点坐标为(2，一6) D.x<一2时，y随x的增大而增大 3.在函数y=(x一1)2+3中，当y随x的增大而 减小时，x的取值范围是 A.x≥1 B.x>0 C.x<3 D.x≤1 4.已知二次函数y=一(x一1)2十m(m是常数)， 当x分别取一1,1,2时，对应的函数值y1,y2, y3的大小关系是 A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y<y1 5.二次函数y=(x十2)2-1的图象大致为 第二十二章 二决函数 (x一h)2十k的图象和性质 6.已知二次函数y=2(x一3)2十1，下列说法： ①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线 x=一3；③当x=3时，函数有最大值1；④当 x<3时，y随x的增大而减小.其中正确说法 的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7,对于二次函数y=一(x2+3,使≥1成 立的x的取值范围是 A.-1≤x≤4 B.x≤0 C.x≥1 D.0≤x≤4 8.抛物线y=2022(.x一20)2+18的顶点坐标是 9.已知二次函数y=(x一1)2+1，当2≤y<5 时，相应x的取值范围为 10.已知二次函数y=(x一h)2+3,当自变量x 满足1≤x≤3时，函数有最小值2h,则h的 值为 11.已知二次函数y=一(x一2)2十c,当x=x1时， 函数值为y;当x=x2时，函数值为必，若 1x1一2>|x2221,则y,y2的大小关系 是 12.二次函数y一（红一2》+是的图象与x轴围成 的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数 的点有 个 -(x-1)2+1(x≤4) 13.已知函数y= ,且使y (x-7)2+1(x>4) =k成立的x值恰好有2个，则k的取值范围 是 同步训练九年极数学（全一册) 14.已知的数y=一吉红一4)-1， (1)指出函数图象的开口方向是 ,对 称轴是 ,顶点坐标为 (2)当x 时，y随x的增大而减小； (3)怎样移动抛物线y=一2：就可以得到 抛物线y=-(x一4)2-1. 15.(1)已知二次函数y1=△(x1)2+4的图象 如图所示，请在同一坐标系中画出二次函 数y2=-(x2)2+1的图象； :升 4 2 1H 43-2-012345x -2 y=-(x+1)2+4'-3 -4 -5 (2)平行于x轴的直线y=k在抛物线y2 一(x一2)2+1上截得线段AB=4,求抛 物线y2=一(x一2)2十1的顶点到线段 AB的距离； (3)当一1<x<2时，利用函数图象比较y1 与y2的大小. 冲天 能力提升 16.小东根据学习函数的经验，对函数y= 4 (x-1)2+1 的图象与性质进行了探究.下面 是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关 问题： (1)函数y= (x-1)2+1 的自变量x的取值 范围是 (2)下表是y与x的几组对应值. 2 2 2 2 16 16 16 16 4 4 2 5 13 5 135 表中m的值为 ,n的值为 (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上 表中各对对应值为坐标的点，根据描出的 4 点，画出函数y=(x1)+的大致 图象； 3 2 3-2-19123456元 (4)结合函数图象，请写出函数y= 一1)2+1的一条性质： ⑤)解决问题：若关于x的方程十予 2a-1无解，求a的取值范围.一心冲天 22.1.3二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.B2.D3.C4.C5.1 6.解：1令-子2+3=0， 解得x=士2， ∴点A的坐标为（一2,0），点B的坐标为(2,0)， 将B20)代人y=-是x十6得，-是×2+6=0， 解得6=受· 六直线BC的解析式为y=一子+2： y=- 2+3 (2)联立 解得32=一1 y=- 3 3 4x+2 “点C的坐标为(-1，号， .AB=2-(-2)=4, ∴△ABC的面积=号×4X号=号 7.解：(1)由题意得，k十4=2，解得k=一2， 又二次函数顶点为(0,4)，.c=4. 把(1,2)代入二次函数表达式得a十c=2, 解得a=一2： (2)由(1)得二次函数解析式为y=-2x2十4， 令y=m,得2x2+-4=0, 4一m x=士√2 设B,C两点的坐标分别为(x1,m),(x2,m), 则BC=1x十1x=2V√2 4-m w=0A+BC=m+4X2”=m2-2m+8 =(m-1)2+7, ∴.当m=1时，W取得最小值7. 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.A2.B3.D4.C5.B6.C 7.-28.②③ 9.解：(1)根据题意得m十2≠0且m2十m一4=2， 解得m1=2,m2=一3， ∴.满足条件的m的值为2或一3： (2)当m十2>0时，抛物线有最低点， .m=2,抛物线解析式为y=4x2, ∴.抛物线的最低点为(0,0)，当x≥0时，y随x的增大而增大； (3)当m=一3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y=一x2, .二次函数的最大值是0，当x≥0时，y随x的增大而减小. 10.a=2或a<06或3设y=2x2,y2=a(x-t)2, ①当y与y2关于x=3对称时，可得a=2,t=6, ②在y=min{y,y2)(x≠0)中，y与y2没有重合部分，即无论x为何值，y=y2 即y恒小于y,那么由于y关于x=3对称，也即y2关于x=3对称，得a<0, 综上所述，a=2或a<0,对应的t值为6或3. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 1.A2.C3.D4.B5.D6.A7.D 8.(20,18)9.-1<x≤0或2≤x<3 10.号或6“y=(x-0+3中a=1>0 .当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大： ①若1<h≤3，则当x=h时，函数取得最小值2h,即3=2h,解得h=多： ②若h<1,则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h, 即(1-h)2+3=2h,解得h=2>1(舍去)； ③若h>3,则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h, 即(3一h)2+3=2h,解得h=2(舍)或h=6, 综上，h的值为或6. 11.y<2 12.7”二次函数y=-(红-2P+号的二次项系数为-1， “函数图象开日向下，顶点坐标为(2，号)， 当y=0时，-(x-2)+号=0， 解得马=名。=子 7 图象如图所示： 图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，分别为 (2,0),(2,1),(2,2),(1,0),(1,1),(3,0),(3,1). 13.k=1或k<一8y=-(x一1)2+1的顶点坐标为(1,1)，y=一(x一7)2十1的顶点坐 标为(7,1)， 解方程-(x-1)2+1=-(x-7)2+1得x=4, 则抛物线y=一(x一1)2+1和抛物线y=一(x一7)2+1相交于点(4，一8)， 如图， 直线y=一8与函数图象有三个交点， 当k<一8时，直线y=k与函数图象有2个交点， 当k=1时，直线y=k与函数图象有2个交点， ∴.使y=k成立的x值恰好有2个时，k=1或k<一8. 14.解：(1)向下直线x=4（4,一1)： (2)≥4： (3)将抛物线y=一？向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度就可以得 到抛物线y=一之（x-4)-1. 参考谷案 15.解：(1)图象如图所示： 3 2 1 -43-2-0 245x 1-27 y1=-(x+1)2+4 3 -41 -5 y2=-(x-2)}2+1 (2)由题意得=6 y=-(x-2)2+1' 解得x=2+或红2--5】 y=k y=k 设A(2十√I-E,k),B(2-√I-k,k), .AB=4, .2√1-k=4, k=-3, :抛物线2=一(x一2)2+1的顶点坐标为(2,1)， .抛物线2=一(x-2)2+1的顶点到线段AB的距离为1一(-3)=4； (3)当-1<x<1时，y>y;当x=1时，y=2: 当1<x<2时，1<y2· 16,解：1全体实数：(2)-1号： (3)如图所示： 165 3 -3-2-19123456x (4)当x=1时，该函数有最大值：（答案不唯一） (5)根据图象可得：0<y≤4. 4 当x-中>4或一干≤0时方程无解， 4 即2a-1>4或2a-1≤0， 解得a>号或a<号