22.1．4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质同步练习2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》 题型一、把一般式化成顶点式 1.将二次函数y=x2-4x+6化为y=a(x-h)2+k的形式，正确的是() A.y=(x-2)2+2 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x-4)2+2 D.y=(x-4)2+4 2.将二次函数y=】x2-6r+21化为y=ax-M2+k的形式为() Ay46-3 B.=x-o-3 c.=+6+3 D.y=2x-6+3 3.将二次函数y=x22x+4化为y=(x-h)2+k的形式，结果为() A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4 C.y=(x+1)2+3 D.y=(x-1)2+3 题型二、画二次函数y=ax2+bx+c的图象 1.已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： 65-4-321012345衣 X -3 -2 -1 y 0 -3 -4 (1)这个二次函数的解析式是_； (2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象. 2.已知抛物线y=x2-2x-3. -1 0 1 2 y 0 -3 -4 -3 米 6 5 双 L- 3-2-1■ o12345x 2 4 (1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)在平面直角坐标系x0y中画出函数图象. 3.已知二次函数y=x2+2x-3. -4 -3 -2 y 。· 0 3 y 34 2 1 4-3-2-101234d 一 -2 -4 (1)将y=x2+2x-3化成y=a(x-h)2+k的形式； (2)在所给的平面直角坐标系x0y中，画出它的图象. 题型三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.已知抛物线y=-x2+2x+1,下列结论错误的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线x=1 C.当x=1时，y取最大值2 D.当x>1时，y随x的增大而增大 2.下表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法 正确的是() X -2 -1 0 1 2 -5 0 3 3 A.对称轴为直线x=-1 B.当x=3时，y=-5 C.当x<2时，y随x的增大而增大D.此函数有最小值4 3.对于二次函数y=2x2+8x-3,下列说法错误的是() A.图象开口向上 B.对称轴是直线x=-2 C.当0<x≤2时，y的最大值为21 D.将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的项点坐标为(1，-12) 题型四、根据二次函数的图像判断系数符号 1.二次函数y=a.rD+bx+c(a≠0的图象如图所示，给出四个结论：①abc<0;②2a+b>0;③ a+c=1;④a>1.其中正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1,顶点在 第一象限，给出下列结论：①ab<0;②4a+2b+c>0;③3a+c>0;④若Ax,y)、B(x2,y2)(其 中x<x)是抛物线上的两点，且x+x,=2,则”=y2.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点-1,2)，(1,0)，如图所示，给出四个结论：①abc<0; ②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2.下列说法：①abc<0;②c-3a>0; ③当x>-1时，y随x的增大而减小；④4a2-2ab≥a2t2+abt(t为任意实数).其中正确的个数 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为() 2.在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ar+C与二次函数y=ar2+8x+c的图象可能是( 米“： 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为( 4.当a≠0时，y=ax+b和y=ax2+bx+c大致图像可能是() 酒将次 题型六、待定系数法求二次函数解析式 1.选择最优解法，设出下列二次函数的表达式： (1)已知抛物线的图象经过点(1,1)，(-1，-1，(0，-2)，设抛物线的表达式为 (2)已知抛物线的顶点坐标(-2,3)，且经过点(-1,0)，设抛物线的表达式为 (3)已知二次函数有最大值6，且经过点(2,3)，（-4,5)，设抛物线的表达式为 2.根据下列条件，分别求出二次函数的解析式 (1)已知图象过点(6,0)，顶点坐标为(4，-8). (2)已知图象经过点A(-1,0),B(0,3),且对称轴为直线x=1. 3.求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点(0,0)，(1,1)和2,5)； (2)图象项点坐标为(1,6)，且经过点(2，-8). 题型七、根据二次函数的对称性求函数值 1.若抛物线y=2(x-1)经过(m,m和(m+4,)两点，则m=一 2.当x=a与x=b(a≠b)时，代数式x2-2x+3的值相等，则x=a+b时，代数式x2-2x+3的值 为一 3.已知抛物线y=-x2+bx-5b>0)上有A(t,y),B(3,y),C(t+2,)三点，且1>y2>-5,则t的取值 范围是 题型八、利用二次函数的对称性求最短路径 1.如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0 ·点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，则点P的坐标为一· A70 B 2.如图所示，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且OA=OC,点M 、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2(点N在点M的上方)，则BM+CN的最小值是一· B 3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点，直线1是抛物线的 对称轴，点M是直线1上的一个动点，当MA+MC最短时，点M的坐标为 B 题型九：二次函数的对称问题 1.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为 (-1,4),二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是一· (-1,4. 730 2.二次函数y=x2+ax+b(ab≠0)，当x=a和x=b时，y的值相等. (1)b=;(用含有a的式子表示) (2)无论a,b为何值，二次函数y=x2+ax+b与y=2x交于点P(x,y),当x<x时，总存在y随x 的增大而减小，则代数式a2-2b+3的最小值为 3.已知抛物线y=x2+b.x+c经过点（-1，m),(3,m, (1)抛物线的对称轴为； (2)点(t,y),(t+2,2)在抛物线上，且y2-片<8，则t的取值范围是 题型十、二次函数压轴问题（线段、周长、面积、四边形） 1.已知抛物线y=ar2+bx+6a≠0)交x轴于点A(6,0),B(-1,0),交y轴于点C. E (1)求抛物线的解析式和顶点坐标. (2)如图，P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点E, 当PE的长度最大时，求点P的坐标. 2.如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A1,0),B(-3,0). (1)求此二次函数的解析式； (2)将(1)中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的 解析式和顶点坐标； (3)点C,D为(2)中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P,使△CDP的 面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由.