22.1.3 第2课时 二次函数y=a (x-h) 2的图象和性质-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

数学九年级上册第二十二章二次函数 第2课时 二次函数y 知识梳理ZHISHI SHUU 1.一般地，二次函数y=a(x一h)2的图象是抛 物线，它与抛物线y=ax2的 相同， 不同，将抛物线y=a.x2沿x轴 平移 个单位长度便得到抛 物线y=a(x-h)2. 2.对于抛物线y=a(x一h)2,当a>0时，开口 ,对称轴是 ,顶点为 当x>h时，y随x的增大而 ,当x< h时，y随x的增大而 ；当a<0时， 开口 ,对称轴是 ,顶点为 ;当x>h时，y随x的增大而 当x<h时，y随x的增大而 对点练习DUIDIAN LANXI 知识点一 二次函数y=a(x一h)2的图象和 性质 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x 2)2(a≠0)的图象可能是( 女 2.函数y=一3(x十1)2，顶点坐标是 当x 时，函数值y随x的增大而减 小.当x= 时，函数取得最 值，最 值y= 3.抛物线y=a(x十h)2的对称轴是直线x 一2，且过点(1，一3). (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； 3 a(x一h)2的图象和性质 (3)当x为何值时，y随x的增大而增大？ 知识点二二次函数y=a(x一h)2的图象与 y=ax2的图象的关系 4.把抛物线y=一2x向右平移2个单位长度， 则平移后所得抛物线的解析式为( ) Ay=-2+2 Ry=-x+2》 Cy--22-2 D.y=-2(x-202 5.顶点坐标为(6,0)、开口向下、开口大小与函 数y一3的图象相同的抛物线所对应的函 数解析式是 6.已知抛物线y=ax2经过点A(2,8),将此抛物 线向右平移1个单位长度得到新抛物线。 (1)求新抛物线对应的函数解析式； (2)写出新抛物线的开口方向、对称轴及顶点 坐标； (3)根据(1)中所得，当x在什么取值范围内 时，y随x的增大而减小？ 课后作业KEHOU ZUOYE 1.已知抛物线y=5(x一1)2，下列说法中，你认 为不正确的是() A.顶点坐标为(1,0) B.对称轴为直线x=0 C.当x>1时，y随x的增大而增大 D.当x<1时，y随x的增大而减小 2.若点(5,3)在抛物线y=a(x-2)2上，则下列 各点也一定在抛物线上的是( ) A.(-5,3) B.(-1,3) C.(-9,3) D.(1,3) 3.已知二次函数y=一(x十h)2,当x<一3时， y随x的增大而增大，当x>一3时，y随x 的增大而减小，当x=0时，y的值为( A.-1B.-9 C.1 D.9 4.若将抛物线向左平移2个单位长度后，所得 抛物线的解析式为y=2x2,则原来抛物线的 解析式为() A.y=2x2+2 B.y=2x2-2 C.y=2(x+2)2 D.y=2(x-2)2 5.如图，在平面直角坐标系中，函数y=一x十1 与y=一 3 (x一1)的图象大致是( 太米 6.(天津南开区校级期中)将抛物线y=3x2平 移得到抛物线y=3(x十2)2，平移的方法是 将抛物线y=3x的图象 7.已知函数y=一(x-1)2的图象上两点A(2, y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关 系是y1 y2.（填“<”“>”或“=”) 22.1二次函数的图象和性质 8.二次函数y=a(x十h)2的图象如图所示，已 知a-2,0A=0C,试求该抛物线的解析式。 能力提升ENGU TSHENG今 9.如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B, A,B两点的坐标分别为(3,0)，(0,4). (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)将y轴向右平移6个单位长度，写出此时 抛物线对应的函数解析式； (3)抛物线上是否存在一点P,使得AB= AP？若存在，请直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由、 2 B(0,4) A3,0)x7.解(1)由题意，可得当售价为22万元/辆时， 故日销售利润心（元）与销售单价x(元/件)之间的函数 平均每网的错得量：2502×1+8=14（辆）。 解析式为：=(x-10)y=(x-10)(-10x+400)= -10x2+500x-4000. 平均每周的销售利润：(22一15)×14=98（万元）. 1x>0, (2)设每辆汽车降价x万元， (2)由 -10x+400≥0， 根据题意得(25-x-15)(8+2x)=90, 解得0<x≤40， 解得x1=1,x2=5, ,.自变量x可以取值的范围是0<x≤40 当x=1时，销售数量为8十2×1=10（辆）； 当x=5时，销售数量为8十2×5=18（辆）. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 为了尽快减少库存，则x=5, 知识梳理 此时每辆汽车的售价为25一5=20（万元）. 1.y轴原点向上低高小 答：每辆汽车的售价为20万元. 2.(1)减小增大最小0 第二十二章二次函数 (2)增大减小最大0 对点练习 22.1二次函数的图象和性质 1.C2.A 3.列表如下： 22.1.1二次函数 x 3 知识梳理 y=- 4 3 -3 33 0 3 1.y=ax2十bx十c自变景二次项系数 一次项系数 常数项 0 2 2.(1)整式 (2)2(3)0 y=3x2 6 对点练习 描点、连线，画图如下： 1.A2.B3.C4.a≠2 5解(1y=(x-1+号是二次函数，二次项系数是1， =3x2 一次项系数是一2，常数项是 3 (2)s=3一2t2是二次函数，二次项系数是一2，一次项系 数是0，常数项是3 -4-3-2 234 (3)y=2x(x2十3x-1)不是二次函数. 6C-9是 4.C5.m<26.(2,-20) 课后作业 7.解(1)：抛物线y=ax2经过点A(-2,-8), 1.B2.C3.C4.5-31 .a·(-2)2=-8. 5.(1)0(2)≠0≠1 .a=-2. 6.S=t2-6t+720<t<6 ,此抛物线对应的函数解析式为y=一2x2 7.解根据题意可得m2十m一4=2，且m十2≠0， (2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口向下. 解得m=一3或m=2. (3)把x=-1代入y=-2x2, 故满足条件的m的值为一3或2. 得y=-2×(-1)2=-2. 能力提升 -2≠-4，.点B(-1,-4)不在此抛物线上. 8.解(1)由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设 (4)把y=-6代入y=-2x2,得-6=一2x2, 解析式为：y=x十b, 115k+b=250, 1k=一10， 解得x1=√3，x2=-√3. 则 解得 18k+b=220, b=400, ∴抛物线上纵坐标为一6的点的坐标分别为（√3，一6）， .y与x之间的函数解析式为：y=一10x+400. (-√3，-6)」 课后作业 6.解因为抛物线y=ax2十k与y=一5x2的形状相同、开 1.C2.C3.C4.A5.D 口方向也相同，所以a=一5. 6.-27.m>2 又因为抛物线的顶，点坐标为(0,3)，所以=3. 8.解法一由题意知，y1=4a,y2=9a,y3=a. 所以其解析式为y=一5x2+3.它是由抛物线y=一5x2 又a>0,故y2>y1>y3. 向上平移3个单位长度得到的 解法二因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴，点 课后作业 C(-1,ya)在函数y=ax2(a>0)的图象上，所以点 1.B2.B3.C4.D5.2-46.67.④ (1,y)也在该抛物线上. 8.解(1)因为点(2，b)在直线y=2x上，所以b=4. 因为a>0,所以当x>0时，y随x的增大而增大. 又因为(2，b)即(2,4)在抛物线y=ax2十3上， 又因为3>2>1，所以y2>y>y: 所以4如十3=4.所以a=子 能力提升 9.解：四边形ABCD是平行四边形， (2)在y=2x中，令y=2,则x=1,所以A(1,2). ∴.DC∥AB,DC=AB. 又因为抛物线y=是+3的项点B为0,3。 又点A,B的坐标分别为（一5,0），(3,0)， ∴.DC=AB=|-5|+3=8. 所以5am=0B14=号×3X1=2 ,y=ax2图象的对称轴是y轴， 能力提升 CE-DE-CD-4. 9解（①）设P点的坐标为(e,子+1)， 又，点E的坐标为(0,6)， 点F的坐标为(0,2)， ∴.，点C的坐标为(4,6). .OF=2, 把x=4,y=6代入y=ax2, “当△P0F的西积为4时，号×2Xz=4 得6=42a, 解得a=是 解得x=士4， y=}×(士40+1=5， 22.1.3二次函数y=a(x- ∴.点P的坐标为（一4,5）或(4,5). h)2十k的图象和性质 (2)如图，过，点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y= 第1课时二次函数y=a.x2+k 子+1于点P,比时△PMF的周长取最小值， 的图象和性质 F(0,2),M(W3,3), 知识梳理 ,∴.ME=3,FM=√/(W3-0)2+(3一2)2=2， 1.(0,k)y轴上低减小增大下高增大 ,.△PMF周长的最小值为ME+FM=3+2=5. 减小 2.相同上下 对点练习 1.C2.y<y2<y1 a+k=-1, (a=1, 3.解(1)根据题意，得{ 解得 第2课时二次函数y=a(x一h)的图象和性质 4a+k=2. k=-2. ∴二次函数的解析式为y=x2一2. 知识梳理 ∴这个二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点1.形状位置向左或向右h 坐标为(0，一2). 2.向上直线x=h(h,0)增大减小向下 (2)点（一3,7）在这个二次函数的图象上 直线x=h(h,0)减小增大 理由：当x=一3时，y=x2-2=(-3)2-2=7, 对点练习 点（一3,7）在这个二次函数的图象上. 1.D 4.C5.D 2.(-1,0)>-1-1大大0 42 3.解(1)，抛物线y=a(x十h)2的对称轴是直线x=一2， 此抛物线对应的函数解析式为y= (x-3 .一h=一2，解得h=2, .抛物线的解析式为y=a(x十2)2， 4(x+3). (2)y= 抛物线过(1，一3)， (3)存在，点P的坐标为(6,4) .-3=9a,解得a=一3， 1 第3课时二次函数y=a(x一h)2+k 的图象和性质 把物线的解折式为)=一号(x十2识 (2)由(1)可知其顶点坐标为（一2,0） 知识梳理 1∠0 1.形状位置 (3)ra=- 2.(1)向上最低点向下最高点(2)(h,0)y .抛物线开口向下， x=h(3)(h,k)(4)减小增大增大减小 对称轴为x=一2， 对点练习 .当x<一2时，y随x的增大而增大. 1.B2.C3.D 4.D 4.解(1)根据题意，设二次函数的解析式为y=a(x一1)2一4. 5.=-3x-6 因为二次函数的图象过点B(3,0),所以0=4a一4，解 得a=1,所以二次函数的解析式为y=(x一1)2-4，即 6.解(1)把，点A(2,8)代入y=ax2,得8=22·a, y=x2-2x-3. 解得a=2. (2)由题意知，原抛物线的顶点为A(1,一4)，因此只需 .抛物线对应的函数解析式为y=2x2. 将原抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移4个 ∴.将此抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线对 单位长度，即可使平移后所得图象的顶点为坐标原点。 应的函数解析式为y=2(x一1)2. 课后作业 (2)由(1)知，新抛物线对应的函数解析式为y=2(x一1)2， ',该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐 1.B2.D3A4A5D6>7号 标是(1,0). 8.解列表： (3)当x<1时，y随x的增大而减小 x -2-101234 课后作业 y=(x-1)2-4 50-3-4-305 1.B2.B3.B4.D5.D 描点、连线，画出函数图象如图」 6.向左平移2个单位长度7.> 8解a=分y=+A以 当x=0时y=,则A(0,号 4 2 当y=0时，名十=0， 01234x 解得x=一h,则C(一h,0), .OA=OC ·-h=22,解得h=0(舍去)或h=一2， (1)函数y=(x一1)2-4的图象开口向上，顶，点坐标为 抛物线的解析式为y=合（红一2识 (1,一4)，对称轴是直线x=1. 能力提升 (2)当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随 9.解(1)由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为y= x的增大而增大. a(x-3)2 (3)函数y=(x-1)2-4图象上的最低点（即顶点）坐 点B(0,4)在此抛物线上， 标是(1，一4)，函数有最小值，当x=1时，y小位=一4， (4)抛物线y=(x一1)2一4向左平移2个单位长度，再 90=4,解得a=手 向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为y= 43 (x十1)2-5，即y=x2+2x-4. 二次函数的解析式为：y=x2 能力提升 2x或y=x2+2x. 9.解因为y=一（x一m)2十2m2的图象的顶点坐标为 (2),m=2,.由二次函数y x=m, x2-2mx+m2-1得：y=x2-4x十 (m,2m2),即 所以不论m取何值，都有y y=2m2, 3=(x-2)2-1, 2x2.所以不论m为何值时，其顶点总在y=2x2的图象 .抛物线的顶点为D(2,一1)，当x=0时，y=3, 上移动： .C点坐标为(0,3)， 22.1.4二次函数y=ax2+ .C(0,3),D(2,-1) bx十c的图象和性质 (3)存在.连接CD,根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P位于CD与x轴的交点时，PC十PD最短.设 第1课时二次函数y=a.x2+bx+c 经过C,D两点的直线解析式为y=x十b(≠0)，将 的图象和性质 C(0,3),D(2,一1)两点坐标代入解析式中可得 3=b, k=-2, 知识梳理 解得 .y=-2x十3. -1=2k+b, b=3. (1)抛物线(2)x=一2元 b 4ac-b2 2a 4a (3)①上 令y=0,可得-2x十3=0，解得x=号 低减小增大②下高增大减小 对点练习 当P点坐标为（受，0）时，PC+PD最短. 1.B2.B3.14.①③④5.D6.y=x2+2x+1 第2课时 待定系数法求二次函数解析式 课后作业 1.A2.B3.D4.D5.k<46.5 知识梳理 7.0<t<28.4 1.(1)ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 9.解(1)由图象知，抛物线过点（1,0)，(4,0)， (2)a(x一h)2十k(a,h,k为常数，a≠0) 代入函数解析式，得-5+c=0, a=1, (3)a(x一x)(x一x)(x1,x2为抛物线与x轴交点的横 解得 16a-20+c=0, c=4. 坐标，a≠0) 故所求二次函数的解析式为y=x2一5x十4. 2.根据题目中所给的条件设出二次函数的解析式代入 点的坐标，得到方程（组）解方程（组）将求出的待 又因为y=2-5x十4=(x-)°-是，所以函教国 定系数还原到解析式中 象的顶点坐标为（侵，一是） 对点练习 1.D2.y=x2-2x-33.B4.y=x2-3x+2 5 (2)由(1)知，a=1>0,抛物线的对称轴为直线x=2， 5解(1)，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(4,0)， .∴.AB=1+4=5, 由因象知，当x>号时，y的值随x值的增大而增大；当 AB=OC,.OC=5,∴.C点的坐标为(0,5). <号时y的值随x值的增大而减小。 (2)设过这个二次函数的解析式为y=a(x一4)(x+1) (a≠0). (3)由(1)知，y=2-5x十4=(e-吕)广-是，将抛物 点C(0,5)在该二次函数的图象上， 线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长 5=a(0-4)(0+1),解得a三一号 度，则所得抛物线的解折式为y=(。一吕+3)”-号-4， y--0+10=---0=-r+ 即y=x2+x-6. 能力提升 空+5 10.解(1)：二次函数的图象经过坐标原点O(0,0), 课后作业 .代入二次函数y=x2-2mx十m2-1,得出：m2-11.B2.D =0, 3.y=-2(x-2)2+8(或y=-2(x+2)2+8) 解得m=士1， 4.解(1)当b=3时，c=-2-b=-5,y=x2+2x-5=