8. 21.3 实际问题与一元二次方程-【一飞冲天·同步训练】2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

同步训练九年级数学（全一册) 21.3 实际问题 第1课时 传播 基础过关 1.某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长 出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支总 数是43.若设主干长出x个枝干，则可列方程 为 A.(1+x)2=43 B.x(1+x)=43 C.x2+2x+1=43 D.x(x+1)+1=43 2.某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每 一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知 共举行了28场比赛，若设参加比赛的球队数 为x,则可列方程为 A.x(x-1)=28 B.x(x+1)=28 C2rx-1D=28 1 D.2x(x+1)=28 B 随堂检测 3.为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决 定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传 播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀 请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n 个互不相同的好友转发，依此类推.已知经过 两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动， 则n的值为 A.9 B.10 C.11 D.12 一冲天 与一元二次方程 问题与数字问题 4.一个两位数等于它的十位数与个位数的和的 平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5， 则这个两位数是 ( ) A.27 B.72 C.27或16 D.-27或-16 5.在一次数学兴趣小组活动中，每两名学生握手 一次，但小明因中途有事离开，他记得有3人没 有和他握过手，经统计所有握手共42次.若设 参加活动的学生为x名，则可列方程为() A.x(x-1)-3=42 B7(x+1)-3=42 1 C.2x(x-1)-3=42 D.2(x-1D+3=42 6.一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且 这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍， 这个两位数是 ( A.36 B.63 C.36或63 D.-36或-63 7.有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人 患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则x的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 8.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会 有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后， 使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的 知晓率达50%，若设每轮传播中平均一人传播 了x人，则可列方程为 一冲天 9.已知一个数的平方与36的差等于这个数与6 的和，求这个数. 10.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上 可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9 个数（如6,7,8,13,14,15,20,21,22）.若圈出 的9个数，最大数与最小数的积为192，求这 9个数的和. 日一二三四五六 1234 56789101i 12131415161718 19202122232425 262728293031 第二+一章一元二谈方程国 11.某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数 都相同，且每行的座位数比总行数少16，求每 行的座位数. 12.一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位 数的个位数字与十位数字互换得到一个新的 两位数，它与原两位数的积为1458，求原 两位数. × >> ※ 五同步训练九年级裁学（金一册） 13.某校举办中国象棋比赛，比赛形式为单循环 (即每两人之间只比赛一次)，每局比赛胜者 得2分，负者得0分；如果下成平局，则各得1 分.试问：所有参赛选手的得分总和能否为 240分？如果能，参赛人数有多少人？若不 能，说明理由. 14.电脑病毒是可以传播的.调查发现有一台电 脑中了病毒，经过两轮传播后共有25台电脑 中了病毒 (1)试求每轮传播中平均一台电脑传播多少 台电脑中了病毒； (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传播 后共有多少台电脑中了病毒. 冲天 能力提升 15.读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世 时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ >> 一冲天 第2课时变化 基础过关 1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的 关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每 盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使 每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？ 设每盆多植x株，则可以列出的方程是( ) A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5.x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 2.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢 半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意 思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习， 那么学习过的东西就会被遗忘.若每天“遗忘” 的百分比是一样的，且设为x,根据“两天不练 丢一半”，可列方程为 A.(1+x)2=1 B.1+x)=司 C.(1-x)2=1 Dd-)-号 随堂检测 3.某商品原售价是100元，经过连续两次降价后 售价为81元，如果每次降价的百分率均相同， 则每次降价的百分率是 第二十一章 一元二决方程国 区问题与销售问题 A.10% B .-10% C.9.5% D.-9.5% 4.2022年生产某种药品1吨的成本是5000元， 随着生产技术的进步，2024年生产同种药品 1吨的成本是3200元，则这种药品成本的年平 均下降率为 ( A.10% B.15% C.20% D.25% 5.某商品进货价为每件50元，售价每件90元时 平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件 降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若 每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出 的方程为 ( A.(40-x)(20+x)=1000 B.(40-x)(20+2x)=1000 C.(40-x)(20-x)=1000 D.(40-x)(20+4x)=1000 6.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增 长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产 值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度 的产值增长了 ( A.2x% B.1+2x% C.(1+x%)x% D.(2+x%)x% 7.为迎接“双十一”促销活动，某服装店从10月 份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相 同)优惠活动，已知一件原价500元的秋装，优 同步训练九年级数学（全一册) 惠后实际仅需320元.设该店秋装原本打x 折，则有 A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320 C.500(70)2=320 D.500(1-0)=320 8.新世纪百货大楼某品牌童装平均每天可售出 20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童 节，商场决定采取适当的降价措施.经调查，如 果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售 出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200 元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应 降价x元，可列方程为 9.一批上衣，每件原价500元，第一次降价后，销 售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价 后的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结 果这批上衣以每件240元的价格迅速出售，设 第一次降价的百分率为x,则可列方程 为 10.一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干 升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶 液，这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒 出的液体为L. 11.已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产 品从现在的年产量100万台提高到121万 台，那么每年平均增长的百分数是 %. 按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年 产量应为 万台. 冲天 2.某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年 这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格 为81元， (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年 平均下降率； (2)若该制药厂计划2025年对此药剂按此下 降率继续降价，预计2025年该药剂的价 格为多少元？ X >>0 一冲天 13.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行 业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大 学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五 月份完成投递的快递总件数分别为10万件 和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递 总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递总件数的月平均增 长率； (2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件， 那么该公司现有的21名快递投递业务员 能否完成今年6月份的快递投递任务？ 如果不能，请问至少需要增加几名业 务员？ > 第二十一章 一元二决方程国 能力提升 14.藏族小伙小游在九寨沟开店做牛肉生意，根 据协议，每天他会用8880元购进牦牛肉和黄 牛肉240斤，其中牦牛肉和黄牛肉的质量之 比为3：1，已知每斤牦牛肉的售价比每斤黄 牛肉的售价多15元，预计当天可全部售完， (1)若小游预计每天盈利不低于2220元，则 牦牛肉每斤至少卖多少元？ (2)若牦牛肉和黄牛肉均在(1)的条件下以最 低价格销售，但8月份因为九寨沟地震， 游客大量减少，导致牛肉滞销，小游决定 降价销售每天进购的牛肉，已知牦牛肉的 单价下降a%(其中a>0),但销量还是比 进购量下降了号a%,黄牛肉每斤下降了3 元，销量比进购量下降了%，最终每天 牦牛肉的销售额比黄牛肉销售额的5倍 还多350元，求a的值. ※ 同步训练九年极数学（全一册) 第3课时 基础过关 1.在一幅长60dm,宽40dm的庆祝中华人民共和 国成立70周年宣传海报四周镶上相同宽度的 金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的 面积为2800dm,设金色纸片的宽为xdm,则 可列出的方程为 A.x2+100x-400=0 B.x2-100x-400=0 C.x2+50x-100=0 D.x2-50x-100=0 2.如图，靠墙建一个面积为 100平方米的仓库，并在与 墙平行的一边开一道宽1米 的门，现有长28米的木板，设仓库宽为x米， 根据题意，下面所列方程正确的是( A.x(28-2x)=100 B.x(28-2x+1)=100 C.x(28-x)=100 D.x(28-x+1)=100 随堂检测 3.《九章算术》勾股章有一“引葭 赴岸”问题：“今有池方一丈，葭 生其中央，出水一尺，引葭赴 岸，适与岸齐.问：水深，葭长各 几何？”意思是：有一个水池，水 面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央 有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦 苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水 冲天 L何图形问题 面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？（备 注：1丈=10尺)设芦苇长x尺，则可列方程为 ( A.x2+102=(x+1)9 B.(x-1)2+52=x2 C.x2+52=(x-1)2 D.x2+12=(x-1)2 4.如图，把长40cm,宽30cm的长方形纸板剪掉 2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即为 剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长 方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm(纸 板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表 面积是950cm,则x的值是 30 cm 40cm A.3 B.4 C.4.8 D.5 5.如图，某小区在一块长为16m, 16m 宽为9m的矩形空地上新修 9 m 三条宽度相同的小路，其中 一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另 一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花 草区域占地面积为120m2.设小路的宽度为 xm,则下列方程： ①(16-2.x)(9-x)=120 ②16×9-9×2.x-(16-2.x)x=120 ③16×9-9×2x-16x+x2=120 其中正确的是 ( A.① B.② C.①② D.①②③ 一冲天 6.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对 角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平 移，得到△AB'C',若两个三角形重叠部分的面 积为1cm,则它移动的距离AA'等于() A B A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm 7.若一个直角三角形的两条直角边长之和为14， 面积为24，则其斜边的长是 ( ) A.27 B.4√2 C.8 D.10 8.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图 所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A =30°，∠B=90°，BC=6米.当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE= 米时，有 DC2=AE2+BC2. 9.如图，空地上有一段长为a米的旧墙MN,某 人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD. 已知a=20,矩形菜园的一边靠墙，另三边一 共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为 450平方米.求所利用旧墙AD的长. D 9 第二十一章一元二决方程国 10.如图，A,B,C,D为矩形的四 个顶点，AB=16cm,AD 6cm,动点P,Q分别从点A, C同时出发，点P以3cm/s 的速度向点B移动，一直到 达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动. (1)P,Q两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ的面积为33cm; (2)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P和 点Q的距离是10cm. × >>0 ※ 同步创练九年级数学（全一册） 11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC =7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动. (1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几 秒后，△PBQ的面积等于6cm? (2)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几 秒后，PQ的长度等于5cm? (3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于8cm? 说明理由. >> 冲天 能力提升 12.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC= 16cm,AD为BC边上的高，动点P从点A出 发，沿A→D方向以√2cm/s的速度向点D运 动.设△ABP的面积为S,,矩形PDFE的面 积为S2,运动时间为t秒，则t= 时，S=2S2. S2 D 13.在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A (0,2),C(6,0)作矩形OABC,∠AOC的平分 线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒 √2个单位长度的速度沿射线OD方向移动； 同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度 的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为 t秒，当t为多少秒时，△PQB为直角三 角形？冲天 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与数字问题 1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.B 8.3(1+x)2=864×50% 9.解：设这个数是x, 由题意得：x2一36=x十6， 解得x1=7,x2=一6， 这个数为7或-6. 10.解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数 最大数为x+16,根据题意得：x(x+16)=192, 解得无1=8，x2=-24(舍去)， 故最小的三个数为8,9,10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为15,16,17， 第3行三个数比上一行三个数分别大7，即为22,23,24， .这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144. 11.解：设每行的座位数为x,根据题意可得： x(x+16)=1161, 则x2+16.x-1161=0. (.x-27)(x+43)=0, 解得x1=27,x2=一43（舍去）， ∴.每行的座位数为27. 12.解：设原两位数的个位数字为x,则十位数字为9一x.由题意得： [10x+(9-x)][10(9-x)+x]=1458, 整理，得(x一8)(x一1)=0， 解得x=8或x=1, 答：原来的两位数是81或18. 13.解：能，理由如下： 设参赛人数是x人， ·每局比赛的总得分为2分， 则(x21D×2=240, 2 解得1=16，x2=-15(舍去)， ∴.所有参赛选手的得分总和能为240分，参赛人数是16人. 14.解：(1)设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒， 依题意，得：1十x+x(x+1)=25, 整理，得：x2十2x一24=0， 解得x1=4,x2=一6（舍去）. ∴.每轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒； (2)25+25×4=125(台). .经过三轮传播后共有125台电脑中了病毒. 15.解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x一3. 依题意，得10(x-3)+x=x2, 解得x1=5,x2=6. 当x=5时，周瑜的年龄25岁，25<30，非而立之年，不合题意，舍去； 当x=6时，周瑜年龄为36岁，符合题意. ∴.周瑜去世时的年龄为36岁， 第2课时变化率问题与销售问题 1.A2.D3.A4.C5.B 6.D第三季度的产值比第一季度的产值增长了(1+x%)×(1+x%)一1 x%)x%. 7.C 8.(40-x)(20+2x)=1200 9.500(1-x)(1-2x)=240 10.20 设每次倒出的液体为xL, 由题意可列40-x-40工·x-=10. 40 解得x1=60(舍)，x2=20, ∴.每次倒出的液体为201。 11.10146.41 12.解：(1)设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x, 根据题意，得100(1一x)2=81, 解得x1=1.9(舍)，x2=0.1, 为x,则 ∴.2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为10%： (2)81×(1-10%)=72.9(元) .预计2025年该药剂的价格为72.9元. 13.解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x,根据题意，得10(1十x) 12.1, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去). '.该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%： (2)今年6月份的快递投递任务是 12.1×(1+10%)=13.31(万件) 平均每人每月最多可投递06万件， ,∴.21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是0.6×21=12.6<13.31， ∴.该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务. 需要增加业务员13.31-12.6)÷0.6=1马≈2人). 60 ∴.至少需要增加2名业务员. 14.解：(1)设牦牛肉每斤卖x元，则每斤黄牛肉为(x一15)元. ,购进牦牛肉和黄牛肉240斤，其中牦牛肉和黄牛肉的质量之比为3：1， ∴.购进牦牛肉180斤，购进黄牛肉60斤， 依题意得：180x+60(x-15)-8880≥2220， 解得x≥50. ∴.牦牛肉每斤至少卖50元： (2)由(1)知牦牛肉每斤至少卖50元，黄牛肉每斤卖35元. 依题意得：50(1-a%)×180X1-号40)=5×(35-3)×60×(1-9%)+350 解得a=10. .a的值为10. 第3课时几何图形问题 1.C2.B3.B4.D5.C6.B7.D8.4 9.解：设AD=x米，则AB=10,-I米. 2 依题意得：x· 100-x=450, 2 整理得：x2100x十900=0， 解得x1=10,x2=90, .a=20,且x≤a, .x2=90舍去. ∴.利用旧墙AD的长为10米. 10.解：(1)设P,Q两点从出发经过x秒时四边形PBCQ的面积为 38em,0<x<9. =(2+ 则PB=(16-3.x)cm, QC=2x cm, 根据梯形的面积公式得2(16-3x+2x)×6=33, 解得x=5, ∴P,Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为 参考答案 ■■ 33cm: 16 (2)设P,Q两点从出发经过t秒时，点P,Q间的距离是10cm,0<t<3, 作QE⊥AB,垂足为点E, 则QE=AD=6,PQ=10, .PA=3L,CQ=BE=24, .PE=AB-AP-BE=16-5, 由勾股定理，得(16-5)2+6=102， 解得41=4.8，t2=1.6. .从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm. 11.解：(1)设经过x秒后，△PBQ面积为6cm2, 则AP=xcm,BQ=2xcm, ∴.BP=(5-x)cm, 2X(5-x)X2x=6 整理得：x2-5x十6=0， 解得x=2或x=3. .2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6cm: (2)当PQ=5时，在Rt△PBQ中， .BP2+BQ=PQ, ∴.(5-x)2+(2x)2=52, 解得1=0（舍去），2=2， ∴.2秒后，PQ的长度等于5cm; (3)2×(5-)×2z=8 整理得：x2-5.x十8=0， △=25一32=一7<0，此时方程无解， .△PBQ的面积不能等于8cm. 12.6 13.解：作PG⊥OC于点G, 在Rt△POG中，∠POQ=45°，∴.∠OPG=45°， .'OP=√2t,∴.OG=PG=t,∴.点P(t,t), 又Q(2t,0),B(6,2), 根据勾股定理可得：PB2=(6-t)2+(2-t)2, QB2=(6-21)2+22,PQ=(21-t)2+12=2t2, Y D/ B 0 Q C x 要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°， ①若∠PQB=90°，则有PQ十BQ=PB2, 即：22+[(6-2)2+22]=(6-t)2+(2-t)2, 整理得：42一81=0， 解得1=0（舍去），t2=2,∴t=2, ②若∠PBQ=90°，则有PB+QB=PQ, .[(6-t)2+(2-t)2]+[(6-2t)2+22]=22, D 整理得：t2一10t十20=0，解得t=5士√5 综上，当t=2或t=5十√5或1=5-√5时，△PQB为直角三角形.