专题07变量之间的关系期末复习讲义（5大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题07变量之间的关系期末复习讲义 期末复习◆重点 理解并辨析变化过程中的常量、变量、自变量与因变量，掌握其数学定义与依存关系。 熟练掌握变量关系的三种表示方法，明确各类方法的特点、优势与适用场景。 能够结合表格、关系式、图像分析变量变化规律，完成数据推理、数值计算与实际情境应用。 核心题型◆归纳 题型1.常量与变量 题型2.用表格表示变量间的关系 题型3.用关系式表示变量间的关系 题型4.用图象表示变量间的关系 题型5.分层精练 重点知识◆梳理 【知识点一、核心概念梳理】 常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量。 示例：圆的周长公式C=2πR.指出其中的变量与常量。 解：变量是半径R和周长C，常量是2和圆周率π. 自变量：主动发生变化的量。 因变量：随着自变量的变化而变化的量。 判断方法：谁先变，谁主动、谁是原因→自变量， 谁后变，谁被动，谁是结果→因变量。 示例：在“气温随着海拔的升高而降低”中，自变量和因变量分别是什么？ 解：自变量是海拔，因变量是气温。（海拔变化导致气温变化） ★易错点： 自变量与常量混淆：常量的数值不变，变量的数值在变。如公式S=70t中，70是常量，s和t是变量. 自变量与因变量颠倒，误将因变量当自变量，可以辨别：哪个量的变化导致了另一个量的变化. 多个变量时区分不清，需要根据变化过程中的因果关系来判断. 【知识点二、变量之间关系的表示方法】 表格法 定义：用表格列出自变量与对应因变量的取值，直观呈现两组量的对应关系。 优点：数据精准、查找对应值快捷，简单易懂。 缺点：只能列出有限组数据，无法反映整体变化趋势。 示例： 时间/小时 1 2 3 路程/千米 60 120 180 易错点：混淆行列对应的变量；忽略自变量取值范围；无法预判表格外数值。 关系式法（解析式） 定义：用含自变量、因变量的数学式子表示两者关系。 优点：能计算任意取值对应的因变量，规律清晰。 缺点：不够直观，需计算才能得到对应值。 示例：路程 s=60t（t 为自变量，s 为因变量） 易错点：颠倒自变量与因变量；遗漏自变量实际取值限制；列式不符合题意。 图像法 定义：在平面直角坐标系中，用图像描绘变量间的变化规律（横轴自变量，纵轴因变量）。 优点：直观反映整体变化趋势、增减快慢、最值。 缺点：读取数据存在误差，精准取值需估算。 图象法画图步骤： 定变量：确定自变量（横轴x）、因变量（纵轴y），标注坐标轴名称与单位。 定范围：根据数据确定两轴取值范围，划分刻度、标注数值。 描点：依据对应数据，在坐标系内找准位置，逐一描出对应点。 连线：按自变量从小到大的顺序，用平滑曲线/直线依次连接各点（实际问题注意端点，取值间断则不连线）。 完善：补充标题，检查坐标轴、刻度、点位是否准确。 易错点：横纵轴变量看反；误读图像拐点、交点；凭直觉判断数值，忽略误差。 题型解析◆精准备考 题型1.常量与变量 1．腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与水混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量是（     ） A．食盐水的浓度 B．水 C．食盐水 D．食盐量 2．函数中常量是____________． 3．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程（）与时间（）的关系为．指出其中的变量与常量． 题型2.用表格表示变量间的关系 1．水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 2．水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 3．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表两个变量哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当所挂物体质量为时，弹簧的长度为多长？不挂物体呢？ (3)若所挂物体质量为时（在弹簧的允许范围内），说出此时弹簧的长度？ 题型3.用关系式表示变量间的关系 1．跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，tB．，tC．，t D．，T 2．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 3．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 题型4.用图象表示变量间的关系 1．如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行的路程为（千米），与之间的图象如图所示． （1）图中自变量是_____，因变量是_____；（用字母表示） （2）甲、乙两地相距_____千米，轮船在乙地停留了_____小时． 3．2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 分层精练 一、单选题 1．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 2．食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 3．一列高铁列车以的速度在铁轨上飞驰，它行驶的时间为，行驶路程为，下列说法正确的是（    ） A．和是常量，是变量 B．是常量，和是变量 C．和是常量，是变量 D．，和都是变量 4．如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 二、填空题 5．把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 6．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是________，变量是________． 7．如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 8．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 __________________． 三、解答题 9．小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 100 90 75 60 … 录入文字的速度v（字/分） 45 50 60 75 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 10．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了下面的表格，根据下表回答问题： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着的变化，是怎么变化的？ (3)直接写出和的关系式． (4)你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？ 11．一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 12．刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)图象中的自变量是________，因变量是________； (2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点； (3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟； (4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米； (5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07变量之间的关系期末复习讲义 期末复习◆重点 理解并辨析变化过程中的常量、变量、自变量与因变量，掌握其数学定义与依存关系。 熟练掌握变量关系的三种表示方法，明确各类方法的特点、优势与适用场景。 能够结合表格、关系式、图像分析变量变化规律，完成数据推理、数值计算与实际情境应用。 核心题型◆归纳 题型1.常量与变量 题型2.用表格表示变量间的关系 题型3.用关系式表示变量间的关系 题型4.用图象表示变量间的关系 题型5.分层精练 重点知识◆梳理 【知识点一、核心概念梳理】 常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量。 示例：圆的周长公式C=2πR.指出其中的变量与常量。 解：变量是半径R和周长C，常量是2和圆周率π. 自变量：主动发生变化的量。 因变量：随着自变量的变化而变化的量。 判断方法：谁先变，谁主动、谁是原因→自变量， 谁后变，谁被动，谁是结果→因变量。 示例：在“气温随着海拔的升高而降低”中，自变量和因变量分别是什么？ 解：自变量是海拔，因变量是气温。（海拔变化导致气温变化） ★易错点： 自变量与常量混淆：常量的数值不变，变量的数值在变。如公式S=70t中，70是常量，s和t是变量. 自变量与因变量颠倒，误将因变量当自变量，可以辨别：哪个量的变化导致了另一个量的变化. 多个变量时区分不清，需要根据变化过程中的因果关系来判断. 【知识点二、变量之间关系的表示方法】 表格法 定义：用表格列出自变量与对应因变量的取值，直观呈现两组量的对应关系。 优点：数据精准、查找对应值快捷，简单易懂。 缺点：只能列出有限组数据，无法反映整体变化趋势。 示例： 时间/小时 1 2 3 路程/千米 60 120 180 易错点：混淆行列对应的变量；忽略自变量取值范围；无法预判表格外数值。 关系式法（解析式） 定义：用含自变量、因变量的数学式子表示两者关系。 优点：能计算任意取值对应的因变量，规律清晰。 缺点：不够直观，需计算才能得到对应值。 示例：路程 s=60t（t 为自变量，s 为因变量） 易错点：颠倒自变量与因变量；遗漏自变量实际取值限制；列式不符合题意。 图像法 定义：在平面直角坐标系中，用图像描绘变量间的变化规律（横轴自变量，纵轴因变量）。 优点：直观反映整体变化趋势、增减快慢、最值。 缺点：读取数据存在误差，精准取值需估算。 图象法画图步骤： 定变量：确定自变量（横轴x）、因变量（纵轴y），标注坐标轴名称与单位。 定范围：根据数据确定两轴取值范围，划分刻度、标注数值。 描点：依据对应数据，在坐标系内找准位置，逐一描出对应点。 连线：按自变量从小到大的顺序，用平滑曲线/直线依次连接各点（实际问题注意端点，取值间断则不连线）。 完善：补充标题，检查坐标轴、刻度、点位是否准确。 易错点：横纵轴变量看反；误读图像拐点、交点；凭直觉判断数值，忽略误差。 题型解析◆精准备考 题型1.常量与变量 1．腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与水混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量是（     ） A．食盐水的浓度 B．水 C．食盐水 D．食盐量 【答案】D 【分析】根据水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可． 【详解】解：∵水的质量固定不变，食盐量自主增加，食盐水量、食盐水浓度跟着随之升高， ∴食盐量是自变量，食盐水浓度是因变量． 2．函数中常量是____________． 【答案】2和 【详解】解：函数中常量是2和． 3．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程（）与时间（）的关系为．指出其中的变量与常量． 【答案】变量是和，常量是 【详解】解：根据，可知变量是和，常量是． 题型2.用表格表示变量间的关系 1．水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系， 根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，时间时，水的高度； 当时，； 且时间每增加，h增加， ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 2．水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 3．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表两个变量哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当所挂物体质量为时，弹簧的长度为多长？不挂物体呢？ (3)若所挂物体质量为时（在弹簧的允许范围内），说出此时弹簧的长度？ 【答案】(1)所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)物体质量为时，弹簧长，不挂重物时长 (3)此时弹簧的长度为 【分析】本题考查函数的表示方法，自变量与因变量的关系． （1）由题意可直接得出，弹簧的长度与所挂物体质量，所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）由表数据可直接得出； （3）通过观察表格，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加可得结论． 【详解】（1）解：由表可得，弹簧的长度与所挂物体质量，所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：由表直接可得，物体质量为时，弹簧长，不挂重物时长； （3）解：通过观察表格，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加， 则所挂重物为时，长度为． 答：此时弹簧的长度为． 题型3.用关系式表示变量间的关系 1．跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，tB．，tC．，t D．，T 【答案】A 【分析】根据表格信息即可求解． 【详解】解：由表格可得，开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：，此时自变量为t． 2．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，则，即可作答． 【详解】解：∵用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，边的长为米， ∴， ∴． 3．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】(1)45；10 (2) (3)12千克 【分析】（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为时，重量为（千克）； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； （3）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴， 解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为（千克）， （千克）， 答：该顾客一共购买了12千克水果． 题型4.用图象表示变量间的关系 1．如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①在分钟内，②在分钟内，③在分钟内，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用15分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为45； 观察各选项图象，只有D选项符合． 2．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行的路程为（千米），与之间的图象如图所示． （1）图中自变量是_____，因变量是_____；（用字母表示） （2）甲、乙两地相距_____千米，轮船在乙地停留了_____小时． 【答案】 60 6 【分析】本题考查用图象表示变量间的关系，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． （1）根据自变量和因变量的定义进行判断即可； （2）从图象直接观察即可得出答案． 【详解】解：（1）由图象可知：自变量是t，因变量是s； 故答案为：t；s； （2）由图象可知：甲乙两地相距60千米， 轮船在乙地停留了（小时）； 故答案为：60；6． 3．2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)2100 (2)4 (3)2700 (4)在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内 【分析】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米， 故答案为：2100； （2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟， 故答案为：4； （3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米）， 故答案为：2700； （4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； ∵， ∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内． 分层精练 一、单选题 1．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 2．食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 【答案】D 【分析】本题考查了常量与变量，根据表格数据，时间与油温都是变量，且初始温度为；温度随时间的变化呈线性关系，每秒升高，因此加热到秒时预计温度为；但由于食用油有沸点，温度不会无限升高，因此油温不会持续升高，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由从表格数据可知，时间和油温都在变化，原选项正确，不符合题意； 、当时，，原选项正确，不符合题意； 、∵温度变化率恒定，每秒升高，即每秒升高， ∴当时，，原选项正确，不符合题意； 、由与食用油的沸点一般都在以上，温度达到沸点后不再升高，原选项错误，符合题意； 故选：． 3．一列高铁列车以的速度在铁轨上飞驰，它行驶的时间为，行驶路程为，下列说法正确的是（    ） A．和是常量，是变量 B．是常量，和是变量 C．和是常量，是变量 D．，和都是变量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，在变化过程中，数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量，根据定义判断各量即可得到答案． 【详解】解：∵在该问题中，高铁行驶速度，保持不变， ∴是常量； ∵行驶时间可以取不同的数值，行驶路程随的变化而变化，和的数值都会发生改变， ∴和是变量．因此选项B正确． 4．如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器的形状可知，容器下部横截面积大，上部横截面积小；在单位时间内注水量保持不变的情况下，水面高度上升的速度会随着横截面积的减小而变快，即函数图象逐渐增大． 【详解】解：∵容器形状为下宽上窄， ∴随着注水时间的增加，容器内水面的横截面积逐渐减小， ∵单位时间内注水量保持不变， ∴水面高度随时间的变化率（即上升速度）会逐渐增大， ∴在函数图象上，表现为图象越来越陡，观察选项，只有选项的图象符合题意． 二、填空题 5．把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 【答案】 x，y 10 【分析】根据变量与常量的定义，判断在放置书籍的过程中数值发生变化的量和保持不变的量，即可求解． 【详解】解：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量， 由题意可知，书的总数是固定不变的，所以常量为， 第一个抽屉放入的本数和第二个抽屉放入的本数会随着放置情况的不同而变化，所以变量为，． 6．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是________，变量是________． 【答案】 单价 数量，金额 【分析】本题考查常量、变量的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据事物变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量求解即可． 【详解】解：加油过程中，单价×数量=总价，此时，单价是常量，数量和金额是变量． 故答案为：单价；数量，金额． 7．如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 【答案】 【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，即可得出规律，从而可得出y与n之间的关系式． 【详解】解：由题意可得： 1节链条的长度为， 2节链条的总长度为， 3节链条的总长度为， …， ∴n节链条的总长度为， ∴y与n之间的关系式为． 8．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 __________________． 【答案】 【分析】本题侧重考查用图象表示两个变量间的关系，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得，则， ∴， 当时，点P在点D处， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题 9．小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 100 90 75 60 … 录入文字的速度v（字/分） 45 50 60 75 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】(1)4500字 (2)完成录入的时间随着录入文字的速度的增加而减少 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，反比例关系的应用． （1）根据完成录入的时间t乘以录入文字的速度v即可得出答案． （2）根据表格数据即可得出答案． （3）根据反比例关系的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：（字）． 答：这篇社会调查报告共有4500字． （2）解：由表可知，完成录入的时间随着录入文字的速度的增加而减少． （3）解：因为总字数一定，为4500， 所以，t与v成反比例关系． 10．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了下面的表格，根据下表回答问题： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着的变化，是怎么变化的？ (3)直接写出和的关系式． (4)你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？ 【答案】(1)上表反映了温度和距地面高度之间的关系，距地面高度是自变量，温度是因变量 (2)随着h的增加，t逐渐减小 (3) (4) 【分析】本题考查用表格和关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格中获取所需信息是解答的关键． （1）根据自变量、因变量的定义解答即可； （2）根据表中数据解答即可； （3）根据表中数据得出高度每增加1千米，温度下降，即可得答案； （4）将代入中求解即可． 【详解】（1）解：上表反映了温度和距地面高度之间的关系，距地面高度是自变量，温度是因变量； （2）解：由表可知：随着h的增加，t在逐渐减小； （3）解：从表格中可以看出，距地面高度每增加1千米，温度下降， ∴； （4）解：当时，， 答：距离地面6千米的高空温度是． 11．一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 【答案】(1)7.6；10 (2) (3) 【分析】（1）根据每增加一个碗增加的高度相同求解即可； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，1个碗高，2个碗高， ∴每增加1个碗，高度增加． ∴3个碗的高度为，5个碗的高度为． （2）解：由题意得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （3）解：当时，， 这些碗的高度为． 12．刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)图象中的自变量是________，因变量是________； (2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点； (3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟； (4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米； (5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米． 【答案】(1)时间x，路程y (2)1200，乙 (3)320 (4)1008 (5)3.7或4.7或 【分析】本题考查函数图象的实际应用，正确的识图，从图象中有效的获取信息是解题的关键． （1）根据图象中横纵坐标的含义进行作答即可； （2）结合图象，进行作答即可； （3）结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可； （4）设甲队和乙队相遇时用了分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解． （5）分别进行分四种情况进行讨论，结合路程等于速度乘时间进行列式，计算即可作答． 【详解】（1）解：由图象可知，自变量是时间，因变量是路程， 即自变量是时间，因变量是路程； （2）解：由图象可知：这次龙舟的全程是1200米，乙到达终点共用了分钟，甲到达终点共用了5分钟， ∵ 乙队先到达终点； （3）解：由图象可知，甲队和乙队相遇时乙队的速度是： （米分钟）； （4）解：由图象可知，甲的速度为：（米分钟）， 设甲队和乙队相遇时用了分钟，则：， 解得：， 甲队走了：（米． （5）解：如图： 由（4）知道相遇时间为分钟 设时间为分钟，甲乙两队相距40米， ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴当乙停船检查时，两船相距：（米）， ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴， ∴； ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴ ∴； ∵当时，乙船停止运动， 甲的速度为：（米分钟）， ∴， ∴； 综上分析可知：从乙队停船检查开始到比赛结束，经过3.7或4.7或 分钟时，甲乙两队相距40米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $