暑假作业09 分式方程（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，系统提炼分式方程判别、求解、增根处理及实际应用方法，适配中考高频题型 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点模块|4个核心知识点|判别三要素、五步法求解、增根双验法、六步应用流程|概念生成→解法推导→特殊情况分析→实际应用拓展| |题型模块|8类典型题型|分类突破解的情况、场景化建模（行程/工程/经济）|基础运算→变式求值→复杂实际问题解决|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 分式方程 【知识点1 分式方程的概念】 1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 判别三要素（学生判断时要逐条对照）： (1) 是等式（有“=”） (2) 含有分母 (3) 分母中含有未知数 【知识点2 解分式方程】 1. 基本思想：把分式方程通过去分母化为整式方程（此处即一元一次方程）来求解。 2. 一般步骤 (1) 找最简公分母：把所有分母因式分解，取各因式最高次幂的乘积，分母是多项式时必须先分解，不能直接瞎猜 (2) 去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到整式方程，必须是每一项都乘最简公分母；常数项也容易漏乘 (3) 解整式方程：按一元一次方程步骤求解 (4) 检验：把求得的解代入原分式方程的最简公分母（或分别代入各分母），看是否使某个分母为0 (5) 下结论：若是增根，写“原方程无解”或“x＝…是增根，舍去” 【知识点3 增根】 1. 增根是什么：去分母后解出来的根，如果代入原分式方程会使某个分母＝0（即不在原方程的定义域内），那么这个根叫做增根，它不是原方程的解。 2. 增根产生的原因：去分母时两边同乘了含未知数的式子，这步运算隐含了“最简公分母≠0”的前提；一旦解出来的x恰好让最简公分母＝0，它就不在原方程的“允许取值范围”里——被乘进来又带不回去，就成了增根。 3. 两种验根方法： (1) 代最简公分母：把解代入最简公分母，看是否＝0；≠⇒是根；＝0⇒增根 (2) 代原分母：把解代入原方程中每个分母，只要有一个分母＝0⇒增根 4. “无解”的两种情况 (1) 整式方程解出来本身就是增根→原方程无解 (2) 整式方程本身无解→原方程也无解 【知识点4 分式方程的实际应用】 1. 审：找已知量、未知量；圈出“速度/效率/单价”等比率量，以及“时间差/多几件/少用几小时”等差量关系 2. 设：通常设速率量（速度x、效率x、单价x）为x，因为“路程＝速度×时间”等关系里，分式天然出现在里 3. 列：根据“时间＝路程÷速度”“时间＝工作量÷效率”“数量＝总金额÷单价”列等式； 4. 解：按分式方程解法去分母求解 5. 验（双重）： (1) 代数验：代回分母≠0（剔除增根） (2) 实际验：结果是否满足“速度＞0、效率＞0、件数为正”等现实意义 6. 答：写完整句子＋单位 题型01 解分式方程 1．（2026·江苏南京·二模）． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）解方程： (1)； (2)． 题型02 根据方程解的情况求值 1．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 2．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若关于x的方程有增根，则m的值为______． 题型03 分式方程无解问题 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 题型04 列分式方程 1．（2026·山东青岛·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 2．（2026·宁夏吴忠·二模）为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________． 题型05 分式方程的行程问题 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）从花溪公园到青岩古镇大约有12公里的路程．打出租车从花溪公园到青岩古镇比骑电动车少用20分钟，已知出租车的平均速度是电动车的2倍，设电动车的行驶速度为每分钟公里，则下列满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南鹤壁·一模）《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 题型06 分式方程的工程问题 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和每小时一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 2．（2026·河南洛阳·二模）为落实“打通断头路、畅通微循环”民生工程，某市计划在一条2000米的断头路段铺设便民步道，通过招标安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天的铺设效率是乙队的2倍，甲队单独完成全部铺设比乙队少用5天． (1)求甲、乙两个工程队每天能铺设的步道长度各是多少米； (2)若甲队铺设一天需支付费用0.8万元，乙队铺设一天需支付费用0.3万元，要求乙队铺设天数不超过甲队的2倍，要使总费用最低，甲、乙两队应分别铺设多少天？（天数取正整数） 题型07 分式方程的经济问题 1．（2026·山东聊城·二模）学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． (1)求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； (2)若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 2．（2026·山东青岛·模拟预测）随着我国科技进步，无人机正在成为文旅表演的“主力军”，某景区跨年夜举行烟花秀与无人机表演活动，与市民游客共迎新年．景区欲投资采购，两种型号的无人机配合烟花秀表演，已知每架型无人机的售价比每架型无人机的售价多元，用万元购买型无人机的数量和用万元购买型无人机的数量相同． (1)求型、型无人机的售价分别是每架多少元； (2)考虑到表演效果，若景区计划采购，两种型号的无人机共架（购进两种无人机的数量都是的整数倍），且型无人机的数量不低于架，则景区采购方案最低费用是多少？ 题型08 分式方程的和差倍分问题 1．（2026·重庆·二模）列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 2．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 1．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若关于的分式方程无解，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 5．（2026·湖北武汉·一模）若分式方程无解，则m的值是______． 6．（25-26七年级下·全国·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 8．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）按要求解答问题： (1)计算：． (2)解方程：． (3)先化简，再求值：，其中． 9．（25-26八年级下·全国·期末）“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等． (1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？ (2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案） 10．（2026·河南新乡·二模）4月23日是世界读书日．某书店决定在世界读书日前购进A，B两类图书，已知1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多5元，用1400元购进A类图书的数量与用1050元购进B类图书的数量相同． (1)求A，B两类图书每本的进价各是多少元； (2)书店计划在4月推出“以租代买”活动，共有两个活动方案． 方案一：每本书租金为3元． 方案二：在书店办理5元/月的阅读卡后每本书租金为2元． 若你想在该书店租书阅读，该如何选择活动方案？ 1．（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 2．（25-26七年级下·全国·期末）某社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． (2)若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 3．（2026·福建厦门·三模）生活中，许多商品都用纸箱进行包装，对于给定数量的商品，如何用更少的包装纸进行包装，对于环保和生产商的利益都是重要的．某综合实践小组针对圆柱体产品单层齐排列时，长方体包装纸箱的卡纸用料最小的问题开展探究活动．图1的长方体是外包装纸箱的示意图，图2是该种圆柱体产品在包装箱中齐排列的底面示意图． 为了方便计算，该小组将圆柱体的底面圆半径记为R，圆柱体的高记为h，排列的列数记为x，排列的行数记为y，每箱产品的个数记为n． (1)请用含R，x，y的代数式表示包装纸箱的底面积； (2)已知某规格的圆柱体产品中，，，若采用单层齐排列的包装方式，请探究如何设计排列的行数和列数，使得包装纸箱的用料最省； (3)根据（2）的探究结果，当n为完全平方数（若整数，其中a为整数，则n是完全平方数），猜想采用单层齐排列的包装方式，包装纸箱的用料最省时，x，y与n的数量关系． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 分式方程 【知识点1 分式方程的概念】 1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 判别三要素（学生判断时要逐条对照）： (1) 是等式（有“=”） (2) 含有分母 (3) 分母中含有未知数 【知识点2 解分式方程】 1. 基本思想：把分式方程通过去分母化为整式方程（此处即一元一次方程）来求解。 2. 一般步骤 (1) 找最简公分母：把所有分母因式分解，取各因式最高次幂的乘积，分母是多项式时必须先分解，不能直接瞎猜 (2) 去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到整式方程，必须是每一项都乘最简公分母；常数项也容易漏乘 (3) 解整式方程：按一元一次方程步骤求解 (4) 检验：把求得的解代入原分式方程的最简公分母（或分别代入各分母），看是否使某个分母为0 (5) 下结论：若是增根，写“原方程无解”或“x＝…是增根，舍去” 【知识点3 增根】 1. 增根是什么：去分母后解出来的根，如果代入原分式方程会使某个分母＝0（即不在原方程的定义域内），那么这个根叫做增根，它不是原方程的解。 2. 增根产生的原因：去分母时两边同乘了含未知数的式子，这步运算隐含了“最简公分母≠0”的前提；一旦解出来的x恰好让最简公分母＝0，它就不在原方程的“允许取值范围”里——被乘进来又带不回去，就成了增根。 3. 两种验根方法： (1) 代最简公分母：把解代入最简公分母，看是否＝0；≠⇒是根；＝0⇒增根 (2) 代原分母：把解代入原方程中每个分母，只要有一个分母＝0⇒增根 4. “无解”的两种情况 (1) 整式方程解出来本身就是增根→原方程无解 (2) 整式方程本身无解→原方程也无解 【知识点4 分式方程的实际应用】 1. 审：找已知量、未知量；圈出“速度/效率/单价”等比率量，以及“时间差/多几件/少用几小时”等差量关系 2. 设：通常设速率量（速度x、效率x、单价x）为x，因为“路程＝速度×时间”等关系里，分式天然出现在里 3. 列：根据“时间＝路程÷速度”“时间＝工作量÷效率”“数量＝总金额÷单价”列等式； 4. 解：按分式方程解法去分母求解 5. 验（双重）： (1) 代数验：代回分母≠0（剔除增根） (2) 实际验：结果是否满足“速度＞0、效率＞0、件数为正”等现实意义 6. 答：写完整句子＋单位 题型01 解分式方程 1．（2026·江苏南京·二模）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，解题的关键是将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后对所得的解进行检验，看是否会使原方程的分母为零． 【详解】解： 化简表达式得： 等式两边同时乘得： 化简得： 解得： 经检验，是原分式方程的解， 所以． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是先分解分母确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得根进行检验，若根使原方程分母为0则为增根，原方程无解，否则为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得 解得 检验：当时，，因此是原方程的解． （2）解：原方程变形为 方程两边同乘最简公分母，得 展开得 移项合并得 解得 检验：当时，，因此是增根，原方程无解． 题型02 根据方程解的情况求值 1．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 【答案】且 【分析】先解分式方程，再结合解为非负数和分母不为零的条件，列不等式组求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得： 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得：且． 2．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若关于x的方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再根据增根的定义确定增根的值，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘得： ， 关于的分式方程有增根， ，即增根为， 把代入得：， 解得． 题型03 分式方程无解问题 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 【答案】C 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 题型04 列分式方程 1．（2026·山东青岛·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的速度，再根据两者速度的倍数关系列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意可得，慢马所需时间为天、快马所需时间为天，则慢马的速度为里/天、快马的速度为里/天， 由快马的速度是慢马的倍，得． 2．（2026·宁夏吴忠·二模）为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵，列出分式方程即可. 【详解】解：设原计划人数为人，则实际人数为人，由题意， . 题型05 分式方程的行程问题 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）从花溪公园到青岩古镇大约有12公里的路程．打出租车从花溪公园到青岩古镇比骑电动车少用20分钟，已知出租车的平均速度是电动车的2倍，设电动车的行驶速度为每分钟公里，则下列满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用行程问题公式时间，分别表示电动车和出租车的行驶时间，再根据题目给出的时间差关系列出方程即可． 【详解】解：∵设电动车速度为每分钟公里，出租车平均速度是电动车的倍 ∴出租车速度为每分钟公里 ∵总路程为公里， ∴电动车走完全程的时间为分钟，出租车走完全程的时间为分钟 ∵出租车比电动车少用分钟， ∴可得方程． 2．（2026·河南鹤壁·一模）《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系表示出甲、乙两人的用时，注意统一单位，再根据时间差列出方程即可． 【详解】甲的速度为里/时，乙骑马速度是甲步行速度的倍， 乙的速度为里/时， 根据时间路程速度， 可得：甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， 乙比甲早到分钟，统一单位得分钟小时，甲用时比乙多小时， 可列方程． 题型06 分式方程的工程问题 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和每小时一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【答案】(1)每小时一台无人机运输脐橙的重量是2000斤，每小时一个果农挑担的重量是400斤 (2)9个 【分析】（1）设每小时一个果农挑担的重量是x斤，则每小时一台无人机运输脐橙的重量是斤，根据“无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时”列分式方程求解即可； （2）设还需m个果农挑担，根据“在3小时内紧急运输22000斤脐橙”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每小时一个果农挑担的重量是x斤，则每小时一台无人机运输脐橙的重量是斤， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每小时一台无人机运输脐橙的重量是2000斤，每小时一个果农挑担的重量是400斤； （2）解：设还需m个果农挑担， 由题意得， 解得． ∵m为正整数， ∴m的最小值为9， 答：至少还需9个果农挑担． 2．（2026·河南洛阳·二模）为落实“打通断头路、畅通微循环”民生工程，某市计划在一条2000米的断头路段铺设便民步道，通过招标安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天的铺设效率是乙队的2倍，甲队单独完成全部铺设比乙队少用5天． (1)求甲、乙两个工程队每天能铺设的步道长度各是多少米； (2)若甲队铺设一天需支付费用0.8万元，乙队铺设一天需支付费用0.3万元，要求乙队铺设天数不超过甲队的2倍，要使总费用最低，甲、乙两队应分别铺设多少天？（天数取正整数） 【答案】(1)甲工程队每天能铺设400米，乙工程队每天能铺设200米 (2)总费用最低时，甲队应铺设3天，乙队应铺设4天 【分析】（1）设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设甲队应铺设天，铺设总费用为万元，则乙队应铺设天，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：甲工程队每天能铺设400米，乙工程队每天能铺设200米． （2）解：设甲队应铺设天，铺设总费用为万元，则乙队应铺设天，由题意得： ， 解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵取正整数， ∴当时，总费用最低， ∴； 答：总费用最低时，甲队应铺设3天，乙队应铺设4天． 题型07 分式方程的经济问题 1．（2026·山东聊城·二模）学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． (1)求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； (2)若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 【答案】(1)60元、40元 (2)40个 【分析】（1）设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号文创书签个，则购买B型号文创书签个，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元． 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 当时，． 答：，两种型号文创书签的单价分别是60元和40元． （2）解：设购买A型号文创书签个，则购买B型号文创书签个． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买40个A型号的文创书签． 2．（2026·山东青岛·模拟预测）随着我国科技进步，无人机正在成为文旅表演的“主力军”，某景区跨年夜举行烟花秀与无人机表演活动，与市民游客共迎新年．景区欲投资采购，两种型号的无人机配合烟花秀表演，已知每架型无人机的售价比每架型无人机的售价多元，用万元购买型无人机的数量和用万元购买型无人机的数量相同． (1)求型、型无人机的售价分别是每架多少元； (2)考虑到表演效果，若景区计划采购，两种型号的无人机共架（购进两种无人机的数量都是的整数倍），且型无人机的数量不低于架，则景区采购方案最低费用是多少？ 【答案】(1)型无人机售价为元，则型无人机的售价为元 (2)元 【分析】（）先设型无人机售价为元，用含的代数式表示型售价，根据相同采购费用可购买的无人机数量相等列出分式方程，求解并检验分式方程的解，最后代入求出型无人机价格； （）设型采购数量为架，得到型采购数量，据此列出总费用关于的一次函数，由一次项系数判断函数增减性，结合的取值范围与整数要求，选取符合条件的最小值，代入解析式算出最低总费用． 【详解】（1）解：设型无人机售价为元，则型无人机的售价为元． 由题意知：， 解得， 经检验得是原方程的解， ∴（元） ∴型无人机售价为元，则型无人机的售价为元． （2）解：设采购型无人机架，则采购型无人机架， 采购方案费用为， ∵， ∴随的增大，增大， ∵，购进两种无人机的数量都是的整数倍， ∴当时，景区采购方案最低费用（元）． 题型08 分式方程的和差倍分问题 1．（2026·重庆·二模）列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 【答案】(1)该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台 (2)每天生产标准机车的增加数量为23台 【分析】（1）设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台. （2）解：设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：每天生产标准机车的增加数量为23台． 2．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【答案】(1)杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份 (2)杂酱小面每小时增产25份 【分析】（1）设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份，根据“2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份”列方程解答即可． （2）设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份，根据“完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份， 根据题意可得， ∴， ∴， 答：杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份． （2）解：设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份， ∴， ∴， 经检验知：是原方程的解， 答：杂酱小面每小时增产25份． 1．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相等，结合时间等于路程除以速度的关系列方程即可． 【详解】解：设提速后平均速度为，则提速前的平均速度为 ， 根据题意得：． 2．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数． 【详解】解：解方程， 得． ∵分式方程有正数解，且， ∴，且． ∴，且． 解不等式组， 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组有解， ∴， ∴． 综上所述，的取值范围是，且． 所以符合条件的整数为，，，共个． 3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的求解，先利用平方差公式分解分母，将分式方程化为整式方程求解，最后检验根是否为增根即可得到结果． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得 解得 检验：当时，，满足分母不为的要求 ∴是原方程的解，故选C． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若关于的分式方程无解，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算即可得到的值． 【详解】解：原分式方程为， 方程两边同乘最简公分母，得 整理得：， 分式方程无解分两种情况： ①整式方程无解， ∵当一次项系数为0时，方程无解， ∴，解得． ②整式方程的解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为和，令分母为0，得增根可能为或， 把代入，得，等式不成立，此种情况不存在； 把代入，得 ，解得． 综上，的值为或． 5．（2026·湖北武汉·一模）若分式方程无解，则m的值是______． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论：一是整式方程本身无解，二是整式方程的解为分式方程的增根，分别计算得到的值即可． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母，得， 移项整理得：， 原分式方程无解，因此分两种情况讨论： 当整式方程无解时，一次项系数为，即，解得； 当整式方程有解，且解为原分式方程的增根时，分式方程的增根使原方程分母为，可得或， 把代入，得，等式不成立，此种情况舍去， 把代入，得，解得； 综上，的值为或． 6．（25-26七年级下·全国·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 【答案】 【分析】设洋槐一天单位面积固碳量是x克，根据题意列出分式方程求解即可 【详解】解：设洋槐一天单位面积固碳量是x克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 所以洋槐一天单位面积固碳量是克． 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 【答案】1 【分析】根据“友好数对”的定义列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：数对是关于的分式方程的“友好数对”， ，，且，即， 根据“友好数对”的定义，得， 解分式方程， 移项得， 解得， 方程的解满足， ， 解得， 检验：当时，各分母均不为，符合定义要求， 故． 8．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）按要求解答问题： (1)计算：． (2)解方程：． (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，1 【详解】（1）解： ； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得， 经检验是分式方程的解； （3）解： ， 当时，原式． 9．（25-26八年级下·全国·期末）“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等． (1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？ (2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案） 【答案】(1)每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元 (2)11种 【分析】（1）设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元，因为两种购买方式对应的花卉数量相等，所以可依据“数量=总价÷单价”的公式列分式方程求解． （2）设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花，结合“A品种销量不高于B品种的2倍”，“销售收入不低于13900元”两个条件，列出一元一次不等式组，求解得到未知数的取值范围，根据未知数为正整数的属性确定取值个数，即可得到售卖方案的数量． 【详解】（1）解：设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元． （2）解：设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花， 根据题意得， 解得， 又为整数，（种）， 答：一共有11种售卖方案． 10．（2026·河南新乡·二模）4月23日是世界读书日．某书店决定在世界读书日前购进A，B两类图书，已知1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多5元，用1400元购进A类图书的数量与用1050元购进B类图书的数量相同． (1)求A，B两类图书每本的进价各是多少元； (2)书店计划在4月推出“以租代买”活动，共有两个活动方案． 方案一：每本书租金为3元． 方案二：在书店办理5元/月的阅读卡后每本书租金为2元． 若你想在该书店租书阅读，该如何选择活动方案？ 【答案】(1)A类图书每本的进价为20元，B类图书每本的进价为15元 (2)当4月租书量小于5本时，选择方案一；当4月租书量大于5本时，选择方案二；当4月租书量等于5本时，两个方案都可以． 【分析】（1）设B类图书每本的进价为元，则A类图书每本的进价为元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设4月租书的数量为本，方案一的费用为元，方案二的费用为元．易得，．然后分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设B类图书每本的进价为元，则A类图书每本的进价为元． 由题意得．解得∶． 经检验，是原方程的根，且符合题意．此时． 答：A类图书每本的进价为20元，B类图书每本的进价为15元． （2）解：设4月租书的数量为本，方案一的费用为元，方案二的费用为元． 方案一：．方案二： ． 当时， ． 解得． 当时，． 解得． 当时，． 解得． 答：当4月租书量小于5本时，选择方案一；当4月租书量大于5本时，选择方案二；当4月租书量等于5本时，两个方案都可以． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形可得 ， 去分母，得，     去括号，得， 移项，得 ， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解． 【点睛】分式方程需检验所得的根是否为增根． 2．（25-26七年级下·全国·期末）某社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． (2)若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是、 (2)甲队施工16天，乙队施工14天 【分析】（1）设乙队每天能完成绿化面积，则甲队每天能完成绿化面积，甲队比乙队少用2天，据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设甲队施工a天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元，据此列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成绿化面积，则甲队每天能完成绿化面积， 由题意得， 解得， 经检验，是该方程的根， ， 所以甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是、； （2）解：设甲队施工a天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：， 解得， 所以（天）， 所以甲队施工16天，乙队施工14天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 3．（2026·福建厦门·三模）生活中，许多商品都用纸箱进行包装，对于给定数量的商品，如何用更少的包装纸进行包装，对于环保和生产商的利益都是重要的．某综合实践小组针对圆柱体产品单层齐排列时，长方体包装纸箱的卡纸用料最小的问题开展探究活动．图1的长方体是外包装纸箱的示意图，图2是该种圆柱体产品在包装箱中齐排列的底面示意图． 为了方便计算，该小组将圆柱体的底面圆半径记为R，圆柱体的高记为h，排列的列数记为x，排列的行数记为y，每箱产品的个数记为n． (1)请用含R，x，y的代数式表示包装纸箱的底面积； (2)已知某规格的圆柱体产品中，，，若采用单层齐排列的包装方式，请探究如何设计排列的行数和列数，使得包装纸箱的用料最省； (3)根据（2）的探究结果，当n为完全平方数（若整数，其中a为整数，则n是完全平方数），猜想采用单层齐排列的包装方式，包装纸箱的用料最省时，x，y与n的数量关系． 【答案】(1) (2)排列为4列4行时，包装纸箱用料最省 (3)． 【分析】（1）根据圆柱体底面直径求出包装纸箱的底面的长和宽，进而根据面积公式计算即可； （2）根据题意求出长方体表面积，可知要让长方体表面积​最小，只需最小即可，根据完全平方公式得到，可知当时，有最小值8，求出x的值即可； （3）根据（2）的结论，，因此猜想：包装纸箱的用料最省时，． 【详解】（1）解：∵圆柱体的底面圆半径记为R， ∴圆柱体底面直径为， ∴列并排的总长度为，行并排的总宽度为， ∴； （2）解：由题意可知， 长方体表面积 可知要让长方体表面积​最小，只需最小即可， ∵， ∴ ∴ ， 可知当时，有最小值8， 由得， 经检验，是原分式方程的解， 可知， 因此排列为4列4行时，包装纸箱用料最省； （3）解：根据（2）的结论可知，， 则包装纸箱的用料最省时，． / 学科网（北京）股份有限公司 $