暑假作业07 分式方程（要点梳理+7大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 分式方程 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【注意】 1. 分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数. 2. 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. 3. 分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. （2）解分式方程的一般步骤： 方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）. 解这个整式方程，求出整式方程的解. 检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 （1）方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. （2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【注意】 1. 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘上（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. 2. 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要就是列方程解应用题. （2）列分式方程解应用题按下列步骤进行：审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；设未知数；找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；解这个分式方程；验根，检验是否是增根；写出答案. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、分式方程的定义 1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 3．下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 题型二、解分式方程 5．分式方程的解是 ． 6．若分式的值为2，则 ． 7．解方程： (1)． (2)． 8．解方程： (1) (2) 题型三、根据分式方程解的情况求值 9．已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（   ） A． B． C． D． 10．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 11．关于的方程的解是非正数，则的取值范围是 ． 12．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 题型四、分式方程增根问题 13．关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A． B． C． D．5 14．关于的分式方程有增根，则的值是 ． 15．已知关于x的方程，若方程有增根，求m的值． 16．（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 题型五、分式方程无解问题 17．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 18．已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 19．若关于的方程无解，求的值． 20．已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 题型六、列分式方程 21．李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件，已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件？设张师傅每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（   ） A． B． C． D． 22．如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 23．某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，他们同时到达，设自行车的速度是，可列方程 ． 24．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为 ． 题型七、分式方程的实际应用 25．电商经济的蓬勃发展，物流配送体系建设的不断完善，推动我国快递行业迅速崛起．某快递公司的甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2400米和1000米的两地派送快件，甲快递员的速度是乙快递员速度的1.2倍，乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点．若设乙快递员的速度是x米/分，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 26．某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是 天． 27．某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为 元． 28．小华计划购买A，B两种型号的笔记本，已知A，B两种型号笔记本的单价比是3：2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价． 29．洛阳牡丹花会在全国享有盛誉，小张和小李约定各自驾驶一辆汽车从他们各自驻地同时沿高速公路驶向洛阳来观赏牡丹，已知小张的驻地与洛阳相距，小李的驻地与洛阳相距，小张开车的速度比小李开车的速度快，结果两人同时到达洛阳，求两人开车的速度． 30．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 1．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 2．若关于x的方程有增根，则a的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 3．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 5．周末，王芳和李华相约去图书馆看书．王芳家距离图书馆5千米．李华家距离图书馆8千米．王芳骑自行车前往．李华坐公交车前往，李华坐公交车的平均速度是王芳骑自行车平均速度的两倍，他们同时出发，且李华比王芳先3分钟到达图书馆．设王芳的速度为x千米/小时，则可列方程： ． 6．若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 7．解方程： (1)； (2) 8．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同． (1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价； (2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？ 9．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 1．阅读材料：一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称是使成立的“倒立数对”，请完成下列问题： (1)数对，中，使成立的“倒立数对”是______； (2)若是使成立的“倒立数对”，求的值； (3)若是使成立的“倒立数对”，且，，求代数式为整数时，的值． 2．观察下列方程以及解的特征： ①的解为； ②的解为； ③的解为； … (1)猜想关于x方程的解，并利用“方程解的概念”进行验证； (2)利用（1）结论解分式方程： ① ②． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 分式方程 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【注意】 1. 分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数. 2. 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. 3. 分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. （2）解分式方程的一般步骤： 方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）. 解这个整式方程，求出整式方程的解. 检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 （1）方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. （2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【注意】 1. 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘上（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. 2. 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要就是列方程解应用题. （2）列分式方程解应用题按下列步骤进行：审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；设未知数；找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；解这个分式方程；验根，检验是否是增根；写出答案. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、分式方程的定义 1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 2．下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式方程的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项错误； B、，是一元一次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项错误； D、，是分式方程，正确． 故选：D． 3．下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案． 【详解】解：是一元一次方程，故A不符合题意； 是二元一次方程，故B不符合题意； 是一元一次方程，故C不符合题意； 符合分式方程的定义，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键． 4．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：依题意，②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； ∴是分式方程的是②④， 故答案为：②④ 题型二、解分式方程 5．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解是， 故答案为：． 6．若分式的值为2，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意得分式方程，再求解方程即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得，， 经检验：是原方程的解, 故答案为：9． 7．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根． （1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可； （2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的增根；原方程无解． 8．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程．去分母，把分式方程正确化成整式方程是解决问题的关键． （1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解； （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：； （2）解： ， 解得：， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 题型三、根据分式方程解的情况求值 9．已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程．解分式方程，得，因为分式方程的解是正数，所以且，进而推断出且．进一步可得出结论． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， ∴符合条件的非正整数为0，， 和为． 故选：A． 10．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程，再根据题意列不等式即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为正数， ，解得， 当时，，此时分式方程无解， 故， a的取值范围是且， 故选：C． 11．关于的方程的解是非正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法和利用分式方程的解的情况列式是解题的关键．先解方程得方程的解，再根据分式方程的解是非正数，以及分母不为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， 得， ∵解是非正数， ∴， ∴， 得， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 12．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键． 原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得，解得：． 原式的解为正数，得且， 且． 题型四、分式方程增根问题 13．关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，准确判断无解的情况是解题的关键．先解分式方程，用m表示x，再根据方程有增根可求出x的值，就可以得到结果． 【详解】解：， 去分母得， 解得：， ∵方程有增根， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 故选：A． 14．关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了解分式方程、分式方程的增根，首先解分式方程可得：，根据分式方程有增根，可得：或，继续解关于的分式方程即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为得：， 分式方程有增根， 或， 当时，， 经检验是分式方程的解， 当时，， 经检验是分式方程的解． 综上所述，的值是或 ． 故答案为：或 ． 15．已知关于x的方程，若方程有增根，求m的值． 【答案】0 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 即或， 把代入整式方程得：，即； 把代入整式方程得：，无解， 综上，m的值为0． 16．（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况； （1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出的值即可． 【详解】解：（1）∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 去分母得：， 移项得：， 解得： ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 题型五、分式方程无解问题 17．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键． 先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解：， ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：或时，分式方程无解， 故选：D． 18．已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 19．若关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握“分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0”是解题的关键； 解分式方程得出，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 20．已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法． 对于（1），代入数值求出解即可； 对于（2），先去分母，再根据分式方程无解时x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：把代入分式方程，得 ， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：去分母，得． 整理，得． 当，即时，方程无解，则原分式方程无解； 当时，由分式方程无解，得到，即， 把代入整式方程，得， 解得． 综上所述，m的值为1或． 题型六、列分式方程 21．李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件，已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件？设张师傅每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得：， 故选：D． 22．如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程，设边衬的宽度为米，根据题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设边衬的宽度为米，根据题意得： ， 故选：D． 23．某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，他们同时到达，设自行车的速度是，可列方程 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系，正确列式方程是关键． 根据题意，汽车速度为，由此汽车行驶的时间加上自行车提前走的时间等于自行车行驶的时间，由此列式即可． 【详解】解：设自行车的速度是，则汽车速度为， ∴，或， 故答案为：或 ． 24．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】设规定时间为x天， 根据题意得，． 故答案为：． 题型七、分式方程的实际应用 25．电商经济的蓬勃发展，物流配送体系建设的不断完善，推动我国快递行业迅速崛起．某快递公司的甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2400米和1000米的两地派送快件，甲快递员的速度是乙快递员速度的1.2倍，乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点．若设乙快递员的速度是x米/分，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据时间、路程、速度之间的关系，表示出乙快递员、甲快递员所用时间，再根据“乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点”建立方程，即可解题． 【详解】解：由题知，乙快递员的速度是x米/分，甲快递员的速度是乙快递员速度的1.2倍， 甲快递员的速度是米/分， 甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2400米和1000米的两地派送快件， 可列方程为， 故选：A． 26．某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是 天． 【答案】6 【分析】首先设规定的工期是天，则乙队单独施工需要天，根据题意可得等量关系：甲、乙两队的工作效率乙的工作效率，根据等量关系列出方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲和乙工作效率，再找出等量关系，列出方程． 【详解】解：设规定的工期是天， 由题意得， 解这个方程得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：规定工期是6天． 故答案为：6 27．某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为 元． 【答案】0.2/ 【分析】设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元，再结合题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再检验，即可求出A款电动汽车平均每公里充电费用． 【详解】解：设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元， 根据题意有：， 解得：， 经检验该解是原方程的解， ∴A款电动汽车平均每公里充电费用为（元）． 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 28．小华计划购买A，B两种型号的笔记本，已知A，B两种型号笔记本的单价比是3：2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价． 【答案】A笔记本的单价为30元/本，则B笔记本的单价为20元/本 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A笔记本的单价为3x元/本，则B笔记本的单价为2x元/本，根据用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，列出分式方程，解方程，即可 【详解】解：设A笔记本的单价为3x元/本，则B笔记本的单价为2x元/本． 由题意，得，解得． 经检验，原分式方程的解是，且符合题意． 元/本，元/本 答：A笔记本的单价为30元/本，则B笔记本的单价为20元/本． 29．洛阳牡丹花会在全国享有盛誉，小张和小李约定各自驾驶一辆汽车从他们各自驻地同时沿高速公路驶向洛阳来观赏牡丹，已知小张的驻地与洛阳相距，小李的驻地与洛阳相距，小张开车的速度比小李开车的速度快，结果两人同时到达洛阳，求两人开车的速度． 【答案】李开车的速度为，小张开车的速度为 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设小李开车的速度为，则小张开车的速度为，根据二人同时出发且同时到达终点建立方程求解即可． 【详解】解：设小李开车的速度为，则小张开车的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：小李开车的速度为，小张开车的速度为． 30．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)的值为或 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出x的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 1．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 2．若关于x的方程有增根，则a的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边都乘以：得：， ∵分式方程有增根， ，即 将代入整式方程，得：，即． 故选：D． 3．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人．根据两次每人分得的钱数相同列方程，即可得解． 【详解】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人， ∴第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：D． 4．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，结合题意可得且，求解即可． 【详解】解：解分式方程可得， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 5．周末，王芳和李华相约去图书馆看书．王芳家距离图书馆5千米．李华家距离图书馆8千米．王芳骑自行车前往．李华坐公交车前往，李华坐公交车的平均速度是王芳骑自行车平均速度的两倍，他们同时出发，且李华比王芳先3分钟到达图书馆．设王芳的速度为x千米/小时，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，设王芳的速度为x千米/小时，则李华的速度为千米/小时，根据“他们同时出发，且李华比王芳先3分钟到达图书馆”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设王芳的速度为x千米/小时，则李华的速度为千米/小时， 由题意可得：， 故答案为：． 6．若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的步骤是解本题的关键． 先解分式方程得到，根据分式有意义的条件和有整数解确定或2或，再解得，根据关于的不等式组至少有两个整数解，得到，继而即可求解． 【详解】解： ， 解得：， ∵为整数，且， ∴或或， ∴或2或， 解得：， ∵关于的不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得：， ∴舍， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 7．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． （1）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案； （2）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得到，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； （2）解：， 去分母得到，， 解得：， 当时，， ∴是增根，分式方程无解． 8．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同． (1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价； (2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元 (2)当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质；根据题意建立方程，不等式是解题的关键． （1）设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元，用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本，关于《阅读的艺术》的数量的函数关系式，再根据购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，可以列出相应的不等式，然后根据一次函数的性质求的最小值即可． 【详解】（1）解：每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元， ∴设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元， ∵用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴， ∴每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元； （2）解：学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本， 设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本， ∴， 解得，， 设费用为元， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为元， ∴当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元． 9．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【答案】(1)人工每人每小时分拣60件 (2)至少需要安排5台这样的分拣机 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程和一元一次不等式，是解题的关键： （1）设人工每人每小时分拣x件，根据由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可； （2）设需要安排y台分拣机，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件， 根据题意得，，解得， 检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件． （2）解：设需要安排y台分拣机， 由题意，得：，解得， ∵y为正整数， ∴y的最小值为5， 答：至少需要安排5台这样的分拣机． 1．阅读材料：一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称是使成立的“倒立数对”，请完成下列问题： (1)数对，中，使成立的“倒立数对”是______； (2)若是使成立的“倒立数对”，求的值； (3)若是使成立的“倒立数对”，且，，求代数式为整数时，的值． 【答案】(1) (2)的值为 (3)或 【分析】本题考查了分式方程在新定义运算下的应用，理解新定义运算是解题的关键． （1）将两点分别代入，即可找到答案； （2）将点代入，然后解方程即可； （3）由题意可知，，，，那么有，，得到，那么代数式可化简为，当其为整数时，可知或，从而解得答案． 【详解】（1）解：将，分别代入，得到，， 使成立的“倒立数对”是； 故答案为：； （2）解：是使成立的“倒立数对”， ， 解得，， 经检验，是的根， ； （3）解：是使成立的“倒立数对”， ， ，， ，， ，， ， ， ， 代数式为整数， 或， 或． 2．观察下列方程以及解的特征： ①的解为； ②的解为； ③的解为； … (1)猜想关于x方程的解，并利用“方程解的概念”进行验证； (2)利用（1）结论解分式方程： ① ②． 【答案】(1)解为，验证见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了解分式方程，理解新方法是解题的关键． （1）猜想得到方程的解，验证即可； （2）①利用（1）的结论确定出方程的解即可．②设，则，原方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：关于x方程的解为， 验证：把代入得：左边右边， 把代入得：左边右边； （2）解：①∵， ∴， ∴或， 解得：； ②设，则， 原方程变形为， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴或 解得：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$