暑假专项作业：不等式与不等式组-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 以“概念-性质-应用-创新”为逻辑主线，通过分层题型系统整合不等式与不等式组知识，渗透抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2、填空11|二次根式有意义条件、不等式性质判断|从概念生成到性质推导| |性质应用|单选4-7、填空12-13|函数图象解不等式、程序框图参数范围|性质与数形结合的融合| |实际建模|单选3、8、填空14、解答20|利润问题、收费方案、服务优化的不等式建模|实际情境到数学模型的抽象| |综合创新|单选9-10、解答21-22|参数最值、行程综合、相依方程新定义|跨知识模块的推理与应用|

暑假专项作业：不等式与不等式组-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 4．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．若都是实数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．小明的体重是，小亮的体重是，小明的肺活量是，小亮的肺活量是，肺活量体重指数公式是肺活量体重，小明比小亮的肺活量体重指数至少大1，则下列不等式表达正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知三个非负数，，之间满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．若，则__________（填“”或“”）． 12．如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是________． 13．按照如下程序，输入x的值并计算，规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 14．小林开车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场，已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长：（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时1元（不足1小时按1小时收）． 若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为_______小时． 15．已知关于x、y的方程的解满足，则a的取值范围是___________． 16．对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： （1）________ （2）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是________． 三、解答题 17．解不等式并求出所有负整数解： 18．求不等式组的解集，并用数轴表示解集，写出最大整数解． 19．已知与成正比例关系，且当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若，求的取值范围． 20．某酒店为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台共需万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台共需万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知台甲型和台乙型机器人每天服务的客人数量分别是人和人，该酒店计划用不超过万元的资金购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，如何购买才能使每天服务客人的人数最大？ 21．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于的“相依方程”中的值； (3)若方程和都是关于的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 22．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． 列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为 ； 描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； 连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： 当 时，函数有最大值，最大值为 ； 写出该函数的其它性质（写一条即可） ； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：不等式与不等式组-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B C C A C B B 1．A 【分析】根据二次根式的被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负，即． 解得：． 2．A 【分析】根据不等式性质逐项判断即可．不等式的性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A． ∵ ，不等式两边同时减，不等号方向不变，∴ ，本选项符合题意； B． ∵ ，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴ ，本选项不符合题意； C． ∵ ，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴ ，本选项不符合题意； D． ∵ ，当时，，此时，∴ 不成立，本选项不符合题意； 3．C 【分析】根据利润率不低于的条件，列不等式，求解即可得到最大折扣． 【详解】解：设该耳机打折销售，则售价为元，根据题意，得 ， 整理得， 解得， 即该耳机最多可以打折． 4．B 【分析】图象法求不等式的解集即可. 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 5．C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出、的值，再把、的值代入求出结果． 【详解】解：， ， ， ， ． 6．C 【分析】本题主要考查二次根式的估算，根据，，可得，结合不等式的基本性质，即可求得答案． 【详解】先展开原式，得 ． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴ 的值在和之间． 7．A 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为：处为实心点向右，处为空心圈向左，取中间部分． 观察选项，A选项符合． 8．C 【分析】先根据公式分别计算小明和小亮的肺活量体重指数，再根据“小明比小亮的肺活量体重指数至少大1”的不等关系列出不等式，即可选出正确选项． 【详解】解：∵肺活量体重指数公式：肺活量体重， ∴小明的肺活量体重指数为：， 小亮的肺活量体重指数为：， ∵小明比小亮的肺活量体重指数至少大1， 小明的肺活量体重指数小亮的肺活量体重指数， ∴， 故选C． 9．B 【分析】已知两个等式三个未知量，可将其中一个变量作为参数，用该参数表示另外两个变量，再结合，，是非负数得到参数的取值范围，最后将目标式表示为参数的一次函数，根据一次函数单调性求最大值． 【详解】解：设， ∵， 整理得， 得， ∴， 把代入得， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， 把，代入得， ， ∵随的增大而增大， ∴当取最大值时，取得最大值， ∴． 10．B 【分析】先根据函数图象提取A、B两城距离，计算甲、乙的速度，再逐一分析5个结论：通过行程公式验证两城距离、出发与到达时间差、第一次相遇位置、图象中a和b的值，最后分5个时间段列方程求解两人相距时的t值，统计正确结论的个数． 【详解】解：由图象可知，A、B两城相距，故①正确． 乙去程的速度， 乙去程行驶所用时间为， 甲的速度， 甲到达B城的时间， 乙比甲晚出发1h，第一次到达B城的时间为，比甲早到，但乙返回接甲后，两人最终同时到达B城（），故②错误． 由图可得两人第一次相遇时， 此时距出发点，故③正确． 乙返回时的速度为， 设相遇时间为，则， 解得，即， 又，故④正确． 分情况讨论相距， 乙出发前（）： ，解得 乙追上甲之前（）： ，解得 乙超过甲（）： ，解得 乙返回接甲（）： ，解得 相遇后（）： 两人同速同向，距离为0，不可能相距． 综上，的值为或或或，故⑤正确． 正确的结论为①③④⑤，共4个． 11． 【分析】根据不等式两边同时乘以同一个负数时不等号方向改变的性质即可求解． 【详解】解：，不等式两边同时乘以，不等号方向改变， ． 12． 【详解】解：根据函数图象得，关于的不等式的解集是． 13．15 【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的正整数的最大值为，最小值为， ，， ． 14．23 【分析】正确理解题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：若，乙收费元，大于甲收费元，不符合要求； 若，乙收费最多元，甲收费5元，，符合要求，区间最大； 若，乙收费最多元，甲收费10元，，符合要求，区间最大； 若，乙收费最多元，甲收费15元，，符合要求，区间最大； 若，乙收费最多元，甲收费18元，，符合要求，区间最大； 若，乙收费最多23元，甲收费24元，，符合要求，区间最大； 若，乙收费为元，等于甲收费，不满足要求， 因此该区间符合条件的最大； 综上，小林停车时间最长为小时． 15． 【分析】通过方程组构造出 即 a的表达式．熟练掌握整体代换思想和不等式的变形规则，是快速求出 a 取值范围的关键． 【详解】解：， 将方程①与方程②相加： ， ， ∵， ∴， ∴a， ∵已知，在不等式两边同时加1， ， ∴， 在不等式两边同时除以3， 1， ∴． 16． 【分析】（1）根据新定义代入求值； （2）先根据新定义，变形不等式组，再求出不等式组的解，根据已知得出关于的不等式组，即可求出的范围． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：， ∵不等式组只有个整数解， ∴个整数解为，， ∴，解得：． 17． 不等式的解集为，所有负整数解为，，． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即不等式的解集为， 所有负整数解为，，． 18．，数轴见解析，它的最大整数解是． 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示解集为： 则它的最大整数解是：． 19．(1) (2) 【分析】（1）设，然后利用待定系数法求解； （2）根据，得到，解得． 【详解】（1）解：设， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 20．(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意列出不等式组求出，设6台机器人每天服务客人的人数为，表示出，然后根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大． 21．(1)②③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个“相依方程”的解，然后求出不等式组的解，然后根据“相依方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：，不是一元一次不等式组的解， ②， 解得：，是一元一次不等式组的解， ③， 解得：，是一元一次不等式组的解， ∴不等式组的“相依方程”是②③； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为或， 若是的解，则 ，解得：； 若是的解，则 ，解得：； 综上所述，或； （3）解：解方程得：， 解方程得：， 解关于的不等式组得：， ∵方程和都是关于的不等式组的“相依方程”， ∴和是的解， ∴， ∴的取值范围是． 22．(1)①1； ②③描点作图如图： (2)①，2；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①把代入函数表达式即可求解； ②③，先描点，再连线即可； （2）①根据函数图象即可求解；②可以从对称性、增减性等方面分析； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①由表可知，当时，，代入解析式， 可得， ②略 ③略 （2）解：①由图知，当时，函数有最大值，最大值为2； ②由图知，函数图象关于直线对称（答案不唯一）； （3）解：由图象可得，不等式的解集是 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $