暑假作业04 线段垂直平分线与角平分线（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“定义-定理-应用-作图”为主线系统整合线段垂直平分线与角平分线知识，通过5类题型实现性质判定与实际应用的逻辑递进，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段垂直平分线|2知识点+2题型|中垂线性质实现线段等距转化，判定定理结合两点定线|定义→性质（点到两端等距）→判定（等距点共线）→三角形外心| |角平分线|2知识点+3题型|角平分线性质构造垂线段证等距，内心面积公式（S=pr）|定义→性质（点到两边等距）→判定（内部等距点共线）→三角形内心|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 图恩恩 暑假作业04线段垂直平分线与角平分线 知识复盘卡 【知识点1线段的垂直平分线】 1. 定义（必须抓住两件事同时成立） (①)线段的垂直平分线（中垂线）：经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。 (②)强调：它是直线；判定“某直线是不是AB的中垂线”必须同时验证：①过AB中点；②与AB垂 直。 2.性质定理（最常用来“把线段相等平移转化”） (I)定理（中垂线-等距）：如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA=PB(中垂线上的点到 线段两个端点的距离相等) 3.逆定理/判定定理（用“等距”去断定点在中垂线上） (I)定理（等距→中垂线）：在平面内，若一点P满足PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分 线上（换句话说：到线段两端点距离相等的点的集合=这条线段的垂直平分线。） (2)若还能找到另一个点也在同一条中垂线上，则“两点确定一条直线→这条直线就是BC的中垂线” 4. 三角形三边垂直平分线共点：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点到三个顶点的距离相 等。 5.尺规作图（要求：会作、会写“作法”、会检验）：作已知线段AB的垂直平分线，分别以线段 两端点为圆心画等半径弧交于两点，过交点作直线即为垂直平分线。 / 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，己知线段AB,分别以点A和点B为圆心，以大于二AB的长为半径作弧，两弧相较于点C和D, 作直线CD。直线CD(即直线I)就是线段AB的垂直平分线，若点E为直线I上任意一点，则EA=EB 且EO⊥AB 6. 作三角形的高：以底边两端点为圆心画弧交于两点，连接交点与顶点即为高线。 示例：如图，已知三角形△ABC,过点A作△ABC的高。以点A为圆心，以大于△ABC在BC边上高 的长为半径作弧，两弧相较于点D和E。以点D和点E为圆心，以大于号DE的长为半径作弧，两弧相 较于点F和G,作直线FG,交线段BC于点O,则延长FG必定过点A。线段AO则为△ABC在BC边 上高。 【知识点2角平分线】 1.定义 (I)角的平分线：从角的顶点引出，把角分成两个相等角的射线（端点为顶点）。 (2) 三角形的角平分线：一个内角的平分线与对边相交，交点与顶点的连线是一条线段（在三角形内 部)。 2. 性质定理（核心：点到“两边”的距离一一必须是垂线段) (I)定理（角平分线→到两边距离相等）：如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于D, PE⊥OB于E,则PD=PE 3.逆定理/判定定理(“距离相等”断定它在角平分线上) 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)定理（角内部等距→在平分线上）：若点P在∠AOB内部，且PD⊥OA于D,PE⊥OB于 E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB)。 (②)关键词：“在角的内部”不能省。角的外部也能作出到两边（所在直线）距离相等的点，但那些 点不在“平分线射线”上。 4.三角形三条角平分线共点（内心：到三边距离相等） ()三角形的三条内角平分线交于一点（内心)，该点到三边（更准确：到三条边所在直线的距离， 且在内部表现为到三边的垂线段长)相等。 (2)因为内心在内部，所以它到AB、BC、CA的垂线段长度可作“”统一处理：面积法半周长形式 S=pr。 5.尺规作图：作已知角的平分线 ()以角顶点为圆心画弧交两边于两点，分别以这两点为圆心画等半径弧交于一点，连接顶点与交点 即为角平分线 (2)如图，己知，在和上分别截取，使得（即以点O为圆心，以任意半径画孤，交的两边分别为点）， 分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点C,作射线，射线就是的平分 线。 M NC 培优拓展训练 ★巩固提升练 题型01线段垂直平分线的性质 1.(25-26八年级下广东深圳期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D,垂 足为点E,若已知AC=3,BC=5,则△ACD的周长为() DN A.8 B.11 C.13 D.15 2.(2026陕西渭南·二模)如图，在ABC中，∠BAC=90°，点D在AC边上，AB=AD,过点D作 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE∥AB,连接AE,BC=AE. E 求证：LC=LE. 题型02线段垂直平分线的判定 1.(2026贵州遵义·二模)如图，在ABC中，∠A=45°，AC=4,以点A为圆心、AC长为半径画弧， 再以点B为圆心、BC长为半径画弧，两弧在直线AB下方交于点D,连接CD,则CD的长为() A.4 B.42 C.43 D.8 2.(25-26七年级下山东青岛阶段检测)如图，在Rt△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm·动点 P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s;动点Q同时从点B出发，沿BC方向匀速运动，速 度为2cm/s·过点P作PD⊥AB,交AC于点D,点D关于AB的对称点为E,连接PE,BE,PO.设 运动时间为t(s(0<t<3)· B 的 D 解答下列问题： (I)BP的长为 cm;(用含t的代数式表示) (2)当点B在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使BE∥AC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理 由； 题型03角平分线的性质定理 1.(2026内蒙古通辽二模)如图，在ABC中，在CA,CB上分别截取CD,CE,使CD=CE,分别以 / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点D,E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ACB内相交于点F,作射线CF,交AB于点 M,过点M作MN⊥BC于点N.若BM=CM=10,BC=16,则点M到AC的距离为() A M N E A.5 B.6 C.7 D.8 2.(2026湖南长沙三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.以点A为圆心，AB的长为半径作弧；再 以点C为圆心，BC的长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D,连接AD,BD,CD,BD与AC交于 点0. (1)求证：AC⊥BD; (2)若AB=1,BC=2,求BD的长. 题型04角平分线的销判定定理 1.(25-26八年级下，陕西咸阳期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AD⊥BC于点D,点E 在线段BD上，连接AE,过E作EF⊥AB于点F,EF=ED,求证：CA=CE. A F 2.(2026重庆·模拟预测)在学习了三角形和四边形的相关知识后，在对角互补的四边形ABCD中， ∠ABC+LADC=180°，若CB=CD,则有AC平分∠BAD,请根据以下思路完成以下作图和推理填空： D (I)用尺规完成以下基本作图：过点C作AD的垂线，交直线AD于点E(不写作法，保留作图痕迹)； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求证：AC平分∠BAD. 证明：过点C作CF⊥AB于点F :CE⊥AD :① :∠ABC+∠ADC=180° 又：② ZABC ZCDE 在ACFB和△CED中 ∠ABC=∠CDE ∠CFB=∠CED ③ ∴.△CFB≌△CED(AAS) :④ :CE⊥AD,CF⊥AB AC平分∠BAD. 题型05角平分线性质的实际应用 1.(25-26八年级上·河北张家口·期末)计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MN∥P9,小 路AB与MN,PQ均相交.若要在小路MN上修建一个凉亭O,使其到小路AB,PQ的距离相等，关于 如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是() B 甲方案 乙方案 A.只有甲对B.只有乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 2.(25-26九年级下·山东聊城阶段检测)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的 平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且LAEF=50°，连接DE. (I)求LCAD的度数； (2)求证：DE平分∠ADC; (3)若AB=6,AD=4,CD=8,且S4CD=12,求△ABE的面积. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ★7能力培优练 1.(25-26八年级下·辽宁朝阳期中)如图，在ABC中，∠BAC=108°，AB的垂直平分线分别交BC和 AB于点D和点M,AC的垂直平分线分别交BC和AC于点E和点N,连接AD,AE,则∠DAE() B A.72° B.36° C.45 D.30 2.(2026海南三亚模拟预测)如图，在ABC中，∠C=90°.分别以点A、B为圆心，大于】AB的长为 半径画弧，两弧交于点D、E,作直线DE交AC于点F,连接BF,∠CBF=30°，则∠A的度数为() E A.15o B.30° C.45° D.60° 3.(2026四川成都二模)如图，在ABC中，AB:BC=1:2,若以点B为圆心，任意长为半径作弧，分 别交AB,BC边于点D,E;再分别以D,E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F,作射 线BF交AC边于点G.若△ABG的面积为3，则△BGC的面积是() A.3 B.3 C.6 D.12 4.(2026黑龙江哈尔滨·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点A、B为圆心，大于AB的长 为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN,分别交AC、AB于点P、D,连接BP,若点P到 AB、BC的距离相等，则∠APD的度数为() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M女 0 XN A.30° B.45° C.60° D.75° 5.(25-26八年级下·广东佛山期中)如图，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=7cm,BD=4cm,则点D 到AB的距离为cm. 6.(25-26七年级下·山东青岛阶段检测)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于 点E,交BD于点F,连接CF.若LA=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数是 F B E 7.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，连接BD,线段AB的垂直平分线DE 交AB于点E,线段BC的垂直平分线DF交BC于点F,若AD=8,则CD的长为 D B 8.(25-26八年级下·北京期中)如图，在ABC中，AB=10,BC=m,AC=n,且m,n满足 Vm-6+n-8=0,D,E分别是边AC,BC上的动点，连接DE.将△DCE沿直线DE折叠得到 △DFE,点F恰好落在边AB上. B D (I)求证：ABC是直角三角形： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图，若D为AC的中点，求证：∠BFE=∠DEF; 9.(25-26八年级下·广东深圳期中)如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD, BC于点E,F,FG⊥AB,垂足为G. (I)求证：CE=FG; (2)若AC=9,AB=15,求ABC的面积. 10.(25-26七年级下山东青岛阶段检测)如图，BD平分∠ABC,AB=BC,P为BD延长线上一点， PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N,求证：PM=PN. ★创新拓展练 1.(25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测)如图，已知直线1的解析式为y=kx+k+3,经过定点H. C末 A OD 图1 图2 (1)直接写出点H的坐标 (2)当k=1时，直线与x轴，y轴分别交于点A,B: ①如图1，C为x轴正半轴上一点，过C点的直线l2:y= 2x+m经过AB的中点P,点6,0)为x轴上 一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线4、马于M、N,且MN=3MQ,求t的值； 图2，已知点DL0,点E2m,-m24为直线B左侧一点，且满足∠08D=LABE,求点 坐标. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.②5,26八年级下海商海口期中)如图，平面直角坐标系中，宣线48：y=子+b交y轴于点4，交x 轴于点B(8,O). B衣 (1)求直线AB的表达式和点A的坐标： (②)直线I垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线I上一动点，且在点D的上方，设点P 的纵坐标为n. ①用含n的代数式表示△ABP的面积： ②当S。4B即=16时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使得BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？ 若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 3.(2026广西崇左·二模)我们在解决：如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,线段DE经过点C, 且AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证：AD=CE,CD=BE这个问题时，只要证明 △ADC≌△CEB即可解决.这个图形是一个我们常见的一线三垂直模型”，它在我们初中数学中有广泛 的应用. 图1 图2 图3 (I)证明△ADC≌△CEB用到的判定定理是 (填入你选择的选项字母) A.SAS B.SSS C.AAS D.HL (2)应用：在平面直角坐标系中，已知两个点坐标，就可以找到第三个点，与已知两点构成等腰直角三 角形.如图2，ABC在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC,点A的坐标为(2,1)，点C的坐标 为(4,2)，求点B的坐标： (3)如图3，在平面直角坐标系中，若ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,点D是第一象 限AB上方一点，且∠ADB=90°，连接DC. ①求∠CDB的度数； ②若CD长为4，求四边形ACBD的面积. 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 线段垂直平分线与角平分线 【知识点1 线段的垂直平分线】 1. 定义（必须抓住两件事同时成立） (1) 线段的垂直平分线（中垂线）：经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。 (2) 强调：它是直线；判定“某直线是不是AB的中垂线”必须同时验证：①过AB中点；②与AB垂直。 2. 性质定理（最常用来“把线段相等平移/转化”） (1) 定理（中垂线⇒等距）：如果点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，那么PA=PB（中垂线上的点到线段两个端点的距离相等） 3. 逆定理/判定定理（用“等距”去断定点在中垂线上） (1) 定理（等距⇒中垂线）：在平面内，若一点 P 满足 PA = PB，则点 P 在 线段 AB 的垂直平分线上（换句话说：到线段两端点距离相等的点的集合 = 这条线段的垂直平分线。） (2) 若还能找到另一个点也在同一条中垂线上，则“两点确定一条直线 ⇒ 这条直线就是 BC 的中垂线” 4. 三角形三边垂直平分线共点：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点到三个顶点的距离相等。 5. 尺规作图（要求：会作、会写“作法”、会检验）：作已知线段 AB 的垂直平分线，分别以线段两端点为圆心画等半径弧交于两点，过交点作直线即为垂直平分线。 如图，已知线段，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点C和D，作直线。直线（即直线l）就是线段的垂直平分线，若点E为直线l上任意一点，则且. 6. 作三角形的高：以底边两端点为圆心画弧交于两点，连接交点与顶点即为高线。 示例：如图，已知三角形，过点A作的高。以点A为圆心，以大于在边上高的长为半径作弧，两弧相较于点D和E。以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点F和G，作直线，交线段于点O，则延长必定过点A。线段则为在边上高。 【知识点2 角平分线】 1. 定义 (1) 角的平分线：从角的顶点引出，把角分成两个相等角的射线（端点为顶点）。 (2) 三角形的角平分线：一个内角的平分线与对边相交，交点与顶点的连线是一条线段（在三角形内部）。 2. 性质定理（核心：点到“两边”的距离——必须是垂线段） (1) 定理（角平分线 ⇒ 到两边距离相等）：如果点 P 在 ∠AOB 的平分线上，且PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E，则PD=PE 3. 逆定理/判定定理（“距离相等”断定它在角平分线上） (1) 定理（角内部等距 ⇒ 在平分线上）：若点 P 在 ∠AOB 内部，且PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E，且 PD = PE，则点 P 在 ∠AOB 的平分线上（即 OP 平分 ∠AOB）。 (2) 关键词：“在角的内部”不能省。角的外部也能作出到两边（所在直线）距离相等的点，但那些点不在“平分线射线”上。 4. 三角形三条角平分线共点（内心：到三边距离相等） (1) 三角形的三条内角平分线交于一点（内心），该点到三边（更准确：到三条边所在直线的距离，且在内部表现为到三边的垂线段长）相等。 (2) 因为内心在内部，所以它到 AB、BC、CA 的垂线段长度可作“r”统一处理：面积法半周长形式 S＝pr。 5. 尺规作图：作已知角的平分线 (1) 以角顶点为圆心画弧交两边于两点，分别以这两点为圆心画等半径弧交于一点，连接顶点与交点即为角平分线 (2) 如图，已知，在和上分别截取，使得（即以点O为圆心，以任意半径画弧，交的两边分别为点），分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点C，作射线，射线就是的平分线。 题型01 线段垂直平分线的性质 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，若已知，则的周长为（     ） A．8 B．11 C．13 D．15 【答案】A 【分析】根据中垂线的性质，得到，即可求解． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴的周长为． 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，点在边上，，过点作，连接，． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】根据平行线的性质得到，证明，即可得到． 【详解】证明：， 在和中，， ． 题型02 线段垂直平分线的判定 1．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，以点A为圆心、长为半径画弧，再以点B为圆心、长为半径画弧，两弧在直线下方交于点D，连接，则的长为（     ） A．4 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题先得出垂直平分，再根据勾股定理解题． 【详解】解：连接与， ∵以点A为圆心、长为半径画弧，再以点B为圆心、长为半径画弧，两弧在直线下方交于点D， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵垂直平分， ∴． 2．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （3）解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 题型03 角平分线的性质定理 1．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在中，在，上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为（     ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先根据，，得，再运用勾股定理列式计算得，根据作图过程，得出是的平分线，最后结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， 根据作图过程，得出是的平分线， ∵， ∴点到的距离． 2．（2026·湖南长沙·三模）如图，在中，．以点为圆心，的长为半径作弧；再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：由作图可知，，， 垂直平分， 即； (2) 【分析】（1）由尺规作图可知，，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知垂直平分，即； （2）利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式即可求出的长度，根据即可求出的长度． 【详解】（1）略； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ∵垂直平分， ， ． 题型04 角平分线的判定定理 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△中，，过点作于点，点E在线段上，连接，过E作于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，得到，继而证明，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，， ， ，，． ， ，， ， ． 2．（2026·重庆·模拟预测）在学习了三角形和四边形的相关知识后，在对角互补的四边形中，，若，则有平分，请根据以下思路完成以下作图和推理填空： (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，交直线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：平分． 证明：过点作于点 ①______ 又②______ 在和中 ④______ ， 平分． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据垂线的定义及全等三角形的判定和性质补全证明过程即可. 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：过点作于点 又 在和中 ， 平分． 题型05 角平分线性质的实际应用 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 2．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中， ，的垂直平分线分别交和于点和点，的垂直平分线分别交和于点和点，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由内角和定理可得，然后通过垂直平分线的性质可得，，再由等边对等角得，，最后利用即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（2026·海南三亚·模拟预测）如图，在中，．分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线交于点，连接，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据直角三角形两锐角互余建立关于的方程即可求解． 【详解】由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ，， ， ， ． 3．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∴． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点到的距离相等， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，， 平分，，则点 D 到的距离为______． 【答案】3 【分析】根据角平分线的性质即可得出结果. 【详解】解：∵ 平分，， ∴点到的距离等于点到的距离，， ∵，即， ∴点到的距离即为的长，为； 故点 D 到的距离为. 6．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 【答案】 /48度 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数． 【详解】解：∵平分， ． ， ． ∵垂直平分， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得，证明，即可证明结论. 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， . 9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)54 【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）首先利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ∴． 10．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知直线的解析式为，经过定点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)当时，直线与轴，轴分别交于点，． ①如图1，为轴正半轴上一点，过点的直线经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值； ②如图2，已知点，点为直线左侧一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）将直线的解析式整理为：，即可得定点的坐标为； （2）①当时，，求出，，则，将代入直线求出，则，，表示出​，，根据，列方程求解即可； ②在x轴上取一点，连接，作交直线于点K，作轴于  点L，再证出，得到直线的解析式为，将代入，得，可得出； 【详解】（1）解：将直线的解析式整理为：， 无论取何值，当，即时，，与无关， 因此定点的坐标为． （2）解：①当时，， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∵是中点， ∴， 将代入直线得，解得：， 即， ∵，轴， ∴，， ∴​，， ∵， ∴​，化简得， 当时，， 当时，​， 因此的值为或． ②在x轴上取一点，连接，作交直线于点K，作轴于  点L， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，得，解得：， ∴点的坐标为． 2．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 3．（2026·广西崇左·二模）我们在解决：如图1，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：这个问题时，只要证明即可解决．这个图形是一个我们常见的“一线三垂直模型”，它在我们初中数学中有广泛的应用． (1)证明用到的判定定理是__________；（填入你选择的选项字母） A．    B．   C．    D． (2)应用：在平面直角坐标系中，已知两个点坐标，就可以找到第三个点，与已知两点构成等腰直角三角形．如图2，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，若是等腰直角三角形，，点D是第一象限上方一点，且，连接． ①求的度数； ②若长为4，求四边形的面积． 【答案】(1)C (2) (3)①；②8 【分析】（1）根据同角的余角相等，结合已知条件即可求解； （2）过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，垂线交两平行线分别于点，同理可得，即可利用全等三角形的性质求解； （3）①过点C作于点M，，交的延长线于点N，证明，再根据角平分线的判定求解即可；②由全等三角形的面积相等可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴； （2）解：过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，垂线交两平行线分别于点 ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴ 同（1）可得 ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：①过点C作于点M，，交的延长线于点N， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ，， ， ， ，， 平分， ； ② ， ， ， 由①可知，， 和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ． / 学科网（北京）股份有限公司 $