暑假作业01 三角形内角和定理与倒角模型（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以三角形内角和定理为核心，构建"定理证明-推论应用-模型拓展"的递进式训练体系，融合方程思想与几何直观，培养逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形内角和|5知识点+6题型|作平行线证定理、方程思想求角度、外角定理优选策略|从定理证明到直接推论，再到与平行线/角平分线/折叠结合的应用| |多边形性质|1知识点+4题型|内角和公式推导（分三角形法）、外角和恒定应用|由三角形内角和扩展到n边形，建立边数与角度关系| |倒角模型|8类模型+综合题|A字/8字/飞镖等模型角度关系结论、角平分线组合推导|基于基本图形提炼模型结论，提升复杂图形转化能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 三角形内角和定理与倒角模型 【知识点1 三角形内角和定理的内容及证明】 1. 定理表述 (1) 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°。 (2) 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 2. 证明（标准写法：作平行线转移角） 已知：△ABC。 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°。 证明：过点A作直线EF∥BC。 ∵EF∥BC（作图） ∴∠B＝∠EAB（两直线平行，内错角相等） ∠C＝∠FAC（两直线平行，内错角相等） 又∵∠EAB＋∠BAC＋∠FAC＝180°（平角定义） ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180° 即∠A＋∠B＋∠C＝180°。 【知识点2 三角形内角和定理的两条直接推论】 1. 推论①：外角定理（最重要） (1) 定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角。 (2) 每个顶点处有2个外角（互为对顶角，度数相等），所以一个三角形共有6个外角、3对相等的外角。 (3) 推论1（外角等于不相邻两内角和）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 1 在△ABC中，∠ACD是∠C的外角，则 2 ∠ACD＝∠A＋∠B 3 证：∠ACD＝180°－∠ACB＝∠A＋∠B（∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°） (4) 推论2（外角大于不相邻内角）：三角形的一个外角大于​任何一个与它不相邻的内角。 1 ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B 2. 推论②：直角三角形两锐角互余 (1) 在直角三角形中，两个锐角互余：∠A＋∠B＝90°（∠C＝90°）。 (2) 逆用：一个三角形中若有两个角互余，则第三个角＝90°，该三角形为直角三角形。 【知识点3 内角和定理的直接应用类型】 1. 已知两角求第三角：∠C＝180°－∠A－∠B 2. “方程思想”：已知角的关系，列方程求角度 (1) 角度比（如∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3）：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，列x＋2x＋3x＝180° (2) 倍数关系（如∠A＝2∠B，∠C＝∠B＋30°）：统一用一个未知数表示三个角，代入和为180° (3) 角平分线介入（如AD平分∠BAC）：∠BAD＝∠DAC＝∠A，放入某个小三角形再用内角和 (4) 折叠问题（如△ABC沿某线翻折）：折叠⇒对应角相等，在新旧三角形中分别用内角和/外角定理 3. 与平行线联用：平行线⇒同位角/内错角/同旁内角关系⇒转移到三角形中⇒用内角和或外角定理求未知角 4. 外角定理的优选策略：遇到“求一个角，它恰好是某个三角形的外角”或“已知两个远处的角求夹角”，优先用外角定理，往往比“先求第三个内角再求补角”少一步计算。 【知识点4 多边形内角和与外角和】 1. n边形内角和公式：n边形内角和＝180°×（n－2）（n≥3，n为整数） 2. 推导思路（教材标准方法——从一个顶点引对角线）： (1) 从n边形的一个顶点出发，可以向除了自身及其相邻两顶点以外的所有顶点连对角线； (2) 可连（n－3）条对角线，把n边形分成（n－2）个三角形； (3) 每个三角形内角和180°，故总内角和＝180°×（n－2）。 3. 多边形外角和定理：任意凸n边形的外角和＝360°（与边数无关） 【知识点5 三角形的倒角模型】 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 图例 结论 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 图例 结论 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 图例 平分，平分 结论 双垂直模型 高分模型 图例 平分 结论 向内翻折 向外翻折 图例 结论 双内角平分线型 双外角平分线型 图例 平分，平分 平分，平分 结论 内外角平分线型 图例 平分，平分 结论 题型01 三角形内角和定理的证明 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，上有一点满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点在上方作，射线交于点；在射线上截取线段使，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明：．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和中， ， ，（_②_）， ， ∴_③_， 在中，， _④_， ． 【答案】(1)作图见解析 (2)①；②全等三角形对应角相等；③；④ 【分析】（1）根据题干信息要求作，即可； （2）根据题干信息要求逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】（1）解：作图如图所示． （2）解：在和中， ， ， ，（②全等三角形对应角相等）， ， ∴， 在中，， ， ． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，，然后结合角平分线求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则_ ；若，则_ ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 题型04 三角形内角和定理的应用 1．（25-26七年级下·新疆伊犁·期中）如图，将一张长方形纸片折叠后，点，分别落在点，的位置上，与的交点为．若，则_____． 【答案】 【分析】由矩形的性质结合平行线的性质得到，再由折叠的性质可知，最后根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， 由折叠可知，， ． 2．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为_． 【答案】(1)解：且 理由: 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，，三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用SAS判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 题型05 三角形折叠中的角度问题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型06 三角形的外角的定义及性质 1．（2026·福建厦门·三模）如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系，两直线平行，同旁内角互补，以及三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：由图和题意，可知： ∵， ∴， ∴， ∴. 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图在中点DE分别在边AB和AC上点是BC延长线上的一点若，则_______°． 【答案】 【分析】根据平行线的性质求出 的度数再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】解：， ， 是 的外角， ， ， ． 题型07 多边形的概念与性质 1．（2026·山东滨州·二模）正六边形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2．像这样连续翻转，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正六边形边长和周长，再计算2026与起始点F的距离，利用周期性确定对应点． 【详解】解： 点，对应的数分别为， 正六边形边长 正六边形周长为 初始位置点对应数为，且每翻转6次为一个循环，向右移动12个单位 计算与的距离： 数轴上对应的点相当于从点开始顺时针翻转，移动个单位长度所对应的点 数轴上2026这个数所对应的点是 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法中，①单项式的系数为，次数为2；②一个棱柱有10个面，它的棱数是24；③各边相等的多边形是正多边形；④正方体的截面可能是七边形；⑤把一个直角边是3和4的直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积最小是；其中正确的序号是______； 【答案】②⑤ 【分析】根据单项式系数与次数的定义，棱柱的结构特征，正多边形的定义，正方体截面的性质，圆锥体积公式，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】①对于单项式，其系数为，次数为所有字母的指数和，即，因此①错误； ②棱柱有个底面，个侧面，总面数为，总棱数为，若该棱柱有个面，则，解得，因此棱数为，因此②正确； ③正多边形的定义是各边相等且各内角相等的多边形，仅各边相等不能判定是正多边形，因此③错误； ④正方体共有个面，用平面截正方体时，最多与个面相交得到六边形，不可能得到七边形，因此④错误； ⑤直角三角形绕直角边旋转一周得到圆锥，分两种情况讨论： 当绕长为的直角边旋转时，底面半径，高，体积； 当绕长为的直角边旋转时，底面半径，高，体积； 所以立体图形的最小体积为，因此⑤正确． 题型08 多边形的周长与面积问题 1．（2026·甘肃白银·二模）中国古典窗框不仅是建筑的采光构件，更是“借景抒情”的艺术载体．明清时期，窗的形制丰富多样，其中正八边形窗因其对称精美，被广泛应用于园林连廊和厅堂轩榭．图1为正八边形窗框的实物图，图2为其几何示意图，已知正八边形的边长为20，并过顶点，分别作支架，，则制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得：，分别过点F，G作，垂足分别为点M，N，则四边形为矩形，结合正八边形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，同理，进而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 如图，分别过点F，G作，垂足分别为点M，N，则四边形为矩形， ∴， ∵正八边形的边长为20， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理， ∴， ∴制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【答案】28 【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】由题意得，这块幕布的周长为． 题型09 多边形的内角和问题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据五边形内角和求出的度数，再利用角平分线性质求出的度数，最后在中求解． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴的度数是． 2．（2026·河北廊坊·二模）如图，正五边形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据正多边形及多边形内角和可进行求解． 【详解】解：由题意可知：正五边形的每个内角度数为， 由图并根据对顶角相等和四边形内角和为可知：该正n边形的每个内角度数为， ∴， ∴． 题型10 多边形的外角和问题 1．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，． 1．（2026·安徽滁州·二模）如图，经过正五边形顶点，的两条直线，，分别交，于点，，且．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，则，根据正多边形内角公式得到，进而得到，根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，作，则， ∵正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·期末）一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用内角和相邻外角互补的关系求出外角度数，再根据多边形外角和为计算边数． 【详解】解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， ∵内角与相邻外角互补， ∴， 解得， ∵任意多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此． 4．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 5．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【答案】/125度 【分析】根据三角形的内角和定理，求出和的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】解：∵中，为边上的高，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，由是的高即可得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在三角形中，，，，点在上运动，是上一定点．将三角形沿所在直线折叠，点的对应点为．当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的右边时，当点在的左边时，分别利用平行线的性质求出的度数，再结合折叠的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当点在的右边时，如图 ∵，， ， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ，， ， ， ， ； ②当点在的左边时，如图， ，， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ，， ， ∴， ； 综上所述，为或． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（点D不与点A，B重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的外角定理即可求解； （2）根据三角形的角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，为角平分线，， ∴（角平分线的定义）， ∵为高， ∴， ∴， 则的度数为； （2）解：， ∵在中，为角平分线，为角平分线， ∴，（角平分线的定义）， ∴， 在中，． 9．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ， ． (2)102° 【分析】(1) 由利用等式的性质得，结合已知和，利用判定，得到对应角，再通过内错角相等证明． (2) 由全等性质得，结合求得，再利用三角形外角定理得． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， ． 10．（2026·广西南宁·二模）如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 是和的外角， ， ． 1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①45；② (3)或 【分析】（1）先求出，，再根据求解即可； （2）①根据，只要求出即可； ②由已知条件和角平分线的定义可得，，再根据计算即可； （3）首先证明，，再分，，，四种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，平分， ，， ，即的度数为． （2）解：①， 平分，平分， ，， ， ； ②， ． ， ． 平分，平分， ，， ， 点、在运动的过程中，． （3）解：由题意得，， ， ， 又， 则， ①当时，， ； ②当时． ，即， ； ③当时，即，， （不合题意舍弃）； ④当时，， （不合题意舍弃）， 综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是的4倍． 2．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）已知：三角形，点M是平面上一点，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，过点A作，与所在的直线交于点F． (1)如图1，当，时，证明； (2)若，． ①如图2，当点M在三角形内部时，探究与之间的数量关系； ②如图3，当点M在三角形外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的与之间的数量关系． 【答案】(1)证明：，， ∴， ，， ， 又， ， ． (2)①；②； 【分析】(1)根据同角的余角相等得到，再由平行线的性质得到，从而得出结论； (2)①先推导出，，得到，继而推导出，得到，即可解答； ②先推导出，，得到，推导出，得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①，理由为： 是的外角 ， 是的外角， ， ∴， 即， ， ， ∴； ②补全图形见下图，，理由如下： 是的外角 ， 即， 是的外角， ， 即， ， 即 ， ， ． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中． (1)如图1，点F在上，，过点D作，平分，平分，直线与直线交于点G，求的度数； (2)如图2，若点F在延长线上时，D在直线下方，其他条件不变，画出图形，求的度数； (3)如图3，若点F在延长线上时，D在直线下方，条件改为其他条件不变，画出图形，直接写出的度数_（用a表示）． 【答案】(1)的度数为或 (2)当点在下方时，如图所示： 此时的度数为； 当点在上方时，如图所示： 此时的度数为． (3)当点在射线上时，如图所示： 此时为； 当点在射线上时，如图所示： 此时为． 【分析】（1）当点在下方时，根据角分线的性质设，，先根据得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时； （2）设，，此时与第一种情况是大致相同的，先根据同样得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时； （3）当点在射线上时，设，，先根据得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时． 【详解】（1）解：当，点在下方时，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∵，即， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴在中，； 当，点在点上方时，延长交于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴在中，， ∴，即， ∴在中，， ∴，即， ∴； 综上：的度数为或． （2）解：当，点在下方时，延长交与点，交与点，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴在中，， ∴， ∴； 当，点在上方时，延长交延长线于点，延长交延长线于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴在中，， ∴，即， ∴在中，， ∴，即， ∴； 综上：的度数为或． （3）解：当，点在射线上时，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴ ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即； 当，点在射线上时，延长交直线于点，交于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴在中，，即， ∵在中，，即， 又∵， ∴， ∴； 综上：为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 图恩恩 暑假作业01三角形内角和定理与倒角模型 知识复盘卡 【知识点1三角形纳角和定理的内容及证明】 1. 定理表述 (1)三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。 (2)几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 2.证明（标准写法：作平行线转移角） 已知：△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 E 证明：过点A作直线EF∥BC。 EF∥BC(作图) ∴.∠B=∠EAB(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠FAC(两直线平行，内错角相等) 又，∠EAB十∠BAC+∠FAC=180°（平角定义） ..∠B+∠BAC+∠C=1809 即∠A+∠B+∠C=180°。 【知识点2三角形纳角和定理的两条直接推论】 1.推论①：外角定理（最重要） (1)定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角。 (2)每个顶点处有2个外角（互为对顶角，度数相等），所以一个三角形共有6个外角、3对相等的外 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 角。 (3)推论1（外角等于不相邻两内角和）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 ①在△ABC中，∠ACD是∠C的外角，则 ② ∠ACD=∠A十∠B ③ 证：∠ACD=180°-∠ACB=∠A+∠B(,'∠A+∠B+∠ACB=180°) (4)推论2（外角大于不相邻内角）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ①∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 2. 推论②：直角三角形两锐角互余 (1)在直角三角形中，两个锐角互余：∠A十∠B=90°（∠C=90°）。 (2)逆用：一个三角形中若有两个角互余，则第三个角=90°，该三角形为直角三角形。 【知识点3内角和定理的直接应用类型】 1.已知两角求第三角：∠C=180°一∠A-∠B 2. “方程思想”：己知角的关系，列方程求角度 (1)角度比（如∠A:∠B:∠C=1:2:3):设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,列x+2x+3x=1809 (2)倍数关系（如∠A=2∠B,∠C=∠B+30°）：统一用一个未知数表示三个角，代入和为180° (3) 角平分线介入（如AD平分∠BAC):∠BAD=∠DAC=)∠A,放入菜个小三角形再用内角和 (4)折叠问题（如△ABC沿某线翻折）：折叠一对应角相等，在新旧三角形中分别用内角和/外角定理 3.与平行线联用：平行线同位角/内错角/同旁内角关系→转移到三角形中一用内角和或外角定理求 未知角 4.外角定理的优选策略：遇到“求一个角，它恰好是某个三角形的外角”或“已知两个远处的角求 夹角”，优先用外角定理，往往比“先求第三个内角再求补角”少一步计算。 【知识点4多边形纳角和与外角和】 1.n边形内角和公式：n边形内角和=180°×(n-2)(n≥3，n为整数) 2.推导思路（教材标准方法一一从一个顶点引对角线）： (1)从n边形的一个顶点出发，可以向除了自身及其相邻两顶点以外的所有顶点连对角线： (2)可连(n-3)条对角线，把n边形分成(n一2)个三角形： (3)每个三角形内角和180°，故总内角和=180°×(n-2)。 3. 多边形外角和定理：任意凸n边形的外角和=360°（与边数无关） 【知识点5三角形的倒角模型】 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图例 B B /D E D 0 结论 ∠DBC+∠BCE=180°+∠A ∠DBO+∠ECO=∠A+∠O 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 B 小 图例 0 D AP平分∠BAD,PC平分∠BCD 结论 LA+∠B=∠C+∠D P<B+cD 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 A A 0 图例 内 D B B OB平分∠ABD,OC平分∠ACD 结论 LBDC=∠A+∠B+∠C AB+AC>BD+CD 20-24 双垂直模型 高分模型 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图例 A D B D OE平分∠BAC 结论 ∠B=∠DAC,∠C=∠BAD DE=2c-∠® 向内翻折 向外翻折 A 图例 D E B 结论 2∠C=∠BEC'+∠ADC' 2∠C=∠BEC'-∠ADC' 双内角平分线型 双外角平分线型 A B 图例 0 B C OB平分∠ABC,OC平分∠ACB OB平分∠DBC,OC平分∠ECB 结论 2∠0=90+号4 ∠0=90°-1∠4 21 内外角平分线型 0 图例 B OB平分∠ABD,OC平分∠ACD 结论 04 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 培优拓展训练 ★巩固提升练 题型01三角形纳角和定理的证正明 1.(25-26七年级下·重庆期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC上有一点D满足BD=AC. B方 (I)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点D在BD上方作∠BDM=∠CAB,射线DM交AB于点F;在 射线DM上截取线段DE使DE=AB,连接BE,(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)中的条件下，证明：BF⊥DE,请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据， 解：在ABC和△DEB中， AC=DB ① AB=DE △ABC≌△DEB(SAS, ∠DBE=∠ACB=90°，∠BED=∠CBA(②)， :∠DBE=∠CBA+∠EBF=90°， ③+∠EBF=90°， 在△BEF中，LBEF+∠EBF+LBFE=180°， :④_， .BF⊥DE. 2.(25-26八年级下·辽宁沈阳·期中)课堂上，为了证明“三角形的内角和是180°”，四名同学给出了如图所 示四种作辅助线的方法 E F ②延长AC到点F,过 ①过点C作EF∥AB 点C作CE∥AB ③过AB上一点D作 ④过点C作CD⊥AB DE∥BC,DF∥AC 于点D D D 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是 (请填写序号)； (2)在(1)的方法中，请任选其中一种方法进行证明. 题型02与平行线有关的三角形纳内角和问题 1.(25-26七年级下.安徽合肥期中)如图，直线a∥b、∠1=50°，∠3=100°，则∠2的度数为(). 2 3 A.20° B.30° C.35° D.40° 2.(25-26七年级下陕西成阳·阶段检测)如图，在ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D,∠ABC 的平分线BF交CD于点F,过点D作DE∥BC交AC于点E.已知LAED=80°，∠A=52°，求∠BFC的 度数. 题型03与角平分线有关的三角形内角和问题 1.(25-26八年级下·陕西宝鸡期中)如图，在ABC中，∠B=40°，AE是∠BAC的平分线，外角 ∠ACD=110°，求∠AEC的度数. B 2.（24-25七年级下山西临汾期末)综合与探究 【感知】如图I,在ABC中，BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 【应用】 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)若∠ABC=50,∠ACB=70°，则∠BPC=_;若LBAC=70°，则∠BPC=_; (2)求∠BPC与∠A之间的关系并证明： 【拓展】 (3)如图2，在四边形ABCD中，BP,CP分别是∠ABC和LBCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数 量关系 题型04三角形纳角和定理的应用 1.(25-26七年级下·新疆伊犁期中)如图，将一张长方形纸片ABCD折叠后，点D,C分别落在点M, N的位置上，EM与BC的交点为G,若LEFG=54,则LEGF=一· G M 2.(25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测)综合题 (I)如图1，AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点 B运动，同时，点Q以相同的速度在射线BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为(s,当点P到 达点B时，点Q也停止运动.当t=1s时，猜想：线段CP与PQ之间的关系，并说明理由. C D B 图1 (2)【拓展】如图2，在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且 ∠BDA=∠AEC=∠BAC猜想：线段DE、BD、CE之间的关系，并说明理由. A 图2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)【应用】如图3，在ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD>∠CAE, ∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与BC的延长线交于点F,若BC=2CF,ABC的面积是12，则 △ABD与△CEF的面积之和为_： B C 图3 题型05三角形折叠中的角度问题 1.(25-26七年级下·重庆期中)如图，在ABC中，∠A=90°，D,E是边AB,BC上两点，将ABC沿 DE翻折，使点B落在点F处，DF交BC于点G.若AC∥DF,∠B=a,则∠CEF的度数为() D B A.2a B.90°-2a C.45°+a D.45°-a 2.(25-26七年级下，吉林长春期中)【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容. 如图，在ABC中，∠ABC=80°.∠ACB=50,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠BPC的度数. B 图1 图2 解：BP平分∠ABC(已知)， ∠PBC=∠ABC=x80°=40， 2 同理可得∠PCB= :∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°( ∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB(等式的性质)= ()对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）· (2)【拓展延伸】如图1，在ABC中，∠ABC、LACB的平分线交于点P,将ABC沿DE折叠，使得点 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A与点P重合，若∠1+∠2=100，求∠BPC的度数； (3)如图2，在ABC中，角平分线BO、C0交于点O,OD⊥OB,交边BC于点D,点E在CB的延长 线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.若∠F=24°，则LD0C=°. 题型06三角形的外角的定义及性质 1.(2026福建厦门三模)如图，将直尺与含45°角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边 上.若∠1=20°，则∠2的度数是() A.45° B.55° C.650 D.75° 2.(25-26八年级下.宁夏银川期中)如图在ABC中点DE分别在边AB和AC上DE∥BC点F是BC延 长线上的一点若∠A=50°，∠ADE=72°，则∠ACF= D B 题型07多边形的概念与性质 1.(2026山东滨州·二模)正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点E,F对应的数分别为-2,0. 现将正六边形ABCDEF绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为2.像 这样连续翻转，数轴上2026这个数所对应的点是() D E EL -4-3-2-1012345 A.E B.B C.C D.D 2.24-25七年级下黑龙江大肤期中)下列说法中，①单项式-2写的系数为号次数为2：②一个棱 9 柱有10个面，它的棱数是24；③各边相等的多边形是正多边形；④正方体的截面可能是七边形；⑤把 一个直角边是3和4的直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 最小是12π；其中正确的序号是 题型08多边形的周长与面积问题 1.(2026甘肃白银二模)中国古典窗框不仅是建筑的采光构件，更是“借景抒情”的艺术载体.明清时期， 窗的形制丰富多样，其中正八边形窗因其对称精美，被广泛应用于园林连廊和厅堂轩榭.图1为正八边 形窗框的实物图，图2为其几何示意图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为2O,并过顶点A,H分别 作支架AD，HE,则制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为() 图1 图2 A.160+40W2B.200+40√2 C.160+60√2 D.200+60√2 2.(25-26八年级下·河南许昌·期中)如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为4√20dm,宽为2√45dm, 则这块幕布的周长为dm。 题型09多边形的内角和问题 1.(25-26七年级下·吉林长春·期中)如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=290°，CP平分∠BCD, DP平分∠CDE,则∠P的度数是() A.459 B.50 C.55 D.60° 2.（2026河北廊坊·二模)如图，正五边形和正n边形的两条邻边相交，若+B=112°，则n的值是() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.7 B.8 C.9 D.10 题型10多边形的外角和问题 1.(25-26八年级下·河南新乡·期中)如图，若4B=50°，则∠1+∠2+∠3的度数为() A B A.130° B.230 C.270° D.310° 2.(25-26八年级下河北保定·期中)图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为冰裂纹”.图2是从左图冰 裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为() 3 图1 图2 A.270 B.300° C.320° D.360° ★能力培优练 1.(2026安徽滁州二模)如图，经过正五边形ABCDE顶点B,C的两条直线4，Z,分别交AE,DE于 点F,G,且l∥1.若∠a=22°，则∠B的度数是() h B A.54° B.58° C.62° D.64° / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下·全国·期末)一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边 数是() A.7 B.8 C.9 D.10 3.(25-26八年级下·山东临沂期中)如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围 成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则∠的度数为() A.108° B.120° C.132° D.135° 4.(25-26七年级下·河南南阳·阶段检测)如图，己知ABC,下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角 和为180°的是() A.I∥AB B.1∥AB A C.I∥AC D.1/BC 5.(25-26七年级下·重庆阶段检测)如图，△ABC中，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC,分别交CD、 AC于点F、E.若∠A=30°，∠ACB=80°，则∠CFB的度数 D B 6.(2026七年级下·江苏专题练习)如图，在ABC中，∠BAC的平分线交BC于点E,若∠B=70°， ∠C=30°，DE是△AEC的高，则∠AED= 7.(25-26七年级下·河南周口期中)如图，在三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，点D在 AB上运动，E是AC上一定点.将三角形ABC沿DE所在直线折叠，点A的对应点为F.当EF∥BC 时，∠BDF的度数为 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 8.(2O26七年级下·江苏.专题练习)如图，在ABC中，BE是ABC的角平分线，点D在边AB上（点D 不与点A,B重合)，CD与BE交于点O. B (1)若LABC=62°，CD是高，求∠BOC的度数； (2)若LA=80°，CD是角平分线，求∠B0C的度数 9.(25-26七年级下·广东揭阳阶段检测)如图，点B,C,E,F在同一直线上，点A,D在BC的异侧， AB=CD,BF=CE,∠B=LC. (I)求证：AEDF. (2)若∠A+∠D=144°，∠C=30°，求∠AEC的度数. 10.(2026广西南宁·二模)如图，点E在△BCD的边CD上，BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD, ∠1=∠2. A 10 C☑ 3 E (I)求证：△ABE≌△CBD; (2)若∠1=62°，求∠3的度数. ★7创新拓展练 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26七年级下·河南南阳期末)直线MN与PQ相互垂直，垂足为点0，点A在射线0Q上运动，点B 在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合. M M M B B D A PO P O A N PON 图1 图2 图3 (1)如图1，A平分LBA0,BI平分∠AB0,若∠BA0=40°，求∠AIB的度数； (2)如图2，AⅡ平分LBAO,BC平分LABM,BC的反向延长线交AⅡ于点D; ①若∠BA0=40°，则∠ADB= 度（直接写出结果，不需说理） ②点A、B在运动的过程中，若LBAO=m°，试求∠ADB的度数. (3)如图3，已知点E在BA的延长线上，LBA0的角平分线、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平 分线所在的直线分别相交于点D、F,在△ADF中，如果某一个角是∠D的4倍，请直接写出∠ABO 的度数 2.(24-25七年级下·北京朝阳期中)已知：三角形ABC,点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于 点D,射线CM与直线AB交于点E,过点A作AF∥CE,AF与BC所在的直线交于点F. E D M B 图1 图2 图3 (I)如图1，当BD⊥AC,CE⊥AB时，证明∠ABD=∠CAF; (2)若∠BAC=80°，∠BMC=120°. ①如图2，当点M在三角形ABC内部时，探究∠ABD与∠CAF之间的数量关系； ②如图3，当点M在三角形ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与LCAF 之间的数量关系 3.(25-26七年级下·辽宁大连期中)如图，在△ABC中. H八M A D B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，点F在AC上，DF⊥AC,过点D作DE∥AB,AP平分∠BAC,DQ平分∠EDF,直线 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AP与直线DQ交于点G,求∠AGD的度数； (2)如图2，若点F在AC延长线上时，D在直线AC下方，其他条件不变，画出图形，求∠AGD的度数： (3)如图3，若点F在CA延长线上时，D在直线AC下方，DF⊥AC条件改为∠MFD=a其他条件不变， 画出图形，直接写出∠AGD的度数（用a表示）·