第11讲 八上第1章总复习练习31题-2024年暑期七升八数学新课预习教程（浙教版）

第11讲 八上第1章总复习练习 1．如所示的四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　） A． B． C． D． 2．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3．下面的说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．直角三角形的高只有一条 C．三角形的高至少有一条在三角形内 D．钝角三角形的三条高都在三角形外面 4．若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝5：3：2，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 5．如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（　　） A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠B C． D． 6．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的△ABC的是（　　） A．AB＝2，BC＝3，AC＝5 B．AB＝2，BC＝3 C．AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50° D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50° 7．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 8．如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝5，则PN的长度不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．4 9．如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 10．如图，△ABC，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，若△A1B1C1的面积是13，那么△ABC的面积是（　　）​ A．4 B． C． D． 11．北京、石家庄、唐山三地所在的位置如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到这三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　） A．三边垂直平分线的交点处 B．三边中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边上高的交点处 12．如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，则∠ACF的度数为（　　） A．66° B．52° C．46° D．42° 14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 15．在△ABC中，D是BC边的中点，若AB＝9，AC＝5，则△ABC的中线AD长的取值范围是（　　） A．5＜AD＜9 B．4＜AD＜9 C．2＜AD＜14 D．2＜AD＜7 16．如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 17．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值是（　　） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2 18．若a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|＝　 　． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若BC＝20，则△AEF的周长是 　 　． 20．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35.5°，∠2＝30.5°，则∠3＝　 　度． 21．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D． （1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD＝（∠C﹣∠B）； （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由． 22．如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD． （1）求证：△ABC≌△DEA； （2）若∠ACB＝30°，求∠BCD的度数． 23．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE． （1）求证：△ABD≌△ACE． （2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度数． ​ 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点． （1）∠BIC＝　 　°； （2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝　 　°； （3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由． 25．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD． （1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：AC＝BD． （2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为 　 　，∠APB的大小为 　 　.（直接写出结果，不证明） 26．如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AC上的高线BD与BC上的高线AE相交于点F． （1）求证：△BCD≌△AFD． （2）若BE＝5，求AF的长． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填”大”或”小”）； （2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE可以有两个角相等吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 29．如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，连接BD，延长BD至点E，使得BE＝AC，连接CE． （1）如图1，若AC＝BC，∠A＝80°，∠EBC＝44°，求∠ECD的度数； （2）如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于点F．若BD＝CD，∠A＝2∠DBC，求证：BC＝AB+EF． 30．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为 　 　．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 31．如图，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，∠A＝∠B，AB＝16cm，点D为AC的中点． （1）如果点P在线段AB以6cm/s的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段BC上由点B向C点运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，△APD与△BQP全等？求出此时点Q的运动速度． （2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，请直接写出：①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 八上第1章总复习练习31题 一．选择题 1．如所示的四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意； B、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意； C、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意； D、图形中，线段BD是△ABC的高，符合题意； 故选：D． 2．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵△ACD的周长为10， ∴AC+AD+CD＝10， ∵AC＝4， ∴AD+CD＝6， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AB＝5， ∴△ABD的周长＝AB+AD+CD＝11， 故选：D． 3．下面的说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．直角三角形的高只有一条 C．三角形的高至少有一条在三角形内 D．钝角三角形的三条高都在三角形外面 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可． 【解答】解：A、三角形的角平分线、中线都在三角形内，但三角形的高都不一定在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意； B、直角三角形的高有三条，故本选项说法错误，不符合题意； C、三角形的高至少有一条在三角形内，说法正确，符合题意； D、钝角三角形的三条高不都在三角形外面，至少有一条在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝5：3：2，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【分析】可设三角形的三个内角的度数分别为：5x，3x，2x，再由三角形的内角和进行求解，即可判断三角形的类型． 【解答】解：设三角形的三个内角的度数分别为：5x，3x，2x，依题意得： 5x+3x+2x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝5x＝5×18°＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 5．如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（　　） A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠B C． D． 【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角的性质得到∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，两等式相减即可求解． 【解答】解：如图， ∵∠BAD和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠BEP＝∠1+∠B＝∠3+∠P，∠PFD＝∠2+∠P＝∠4+∠D， ∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D， 即． 故选：D． 6．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的△ABC的是（　　） A．AB＝2，BC＝3，AC＝5 B．AB＝2，BC＝3 C．AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50° D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50° 【分析】根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可． 【解答】解：A、AB+BC＝2+3＝AC，不能构成三形，故A不符合题意； B、AB＝2，BC＝3，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故B不符合题意； C、AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50°，符合SAS，能画出形状、大小确定的三角形，故C符合题意； D、∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故D不符合题意； 故选：C． 7．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， 即BF＝CE， ∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意； 当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意； 当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意； 当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意； 故选：D． 8．如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝5，则PN的长度不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．4 【分析】根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM＝PN，从而得解． 【解答】解：当PN⊥OA时，PN的值最小， ∵OC平分∠AOB，PM⊥OB， ∴PM＝PN， ∵PM＝5， ∴PN的最小值为5． ∴D选项不符合题意． 故选：D． 9．如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题． 【解答】解：设三角形的第三边长是x，周长是l， ∴5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7， ∴3+2+5＜x+2+5＜7+2+5， ∴10＜l＜14， 故选：B． 10．如图，△ABC，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，若△A1B1C1的面积是13，那么△ABC的面积是（　　）​ A．4 B． C． D． 【分析】连接AB1，A1C，BC1，设△ABC的面积为2a，根据已知可得△A1BC的面积＝a，△AB1C的面积＝a，△ABC1的面积＝a，从而可得△A1CB1的面积＝0.5a，△AB1C1的面积＝0.5a，△A1BC1的面积＝0.5a，然后根据△A1B1C1的面积是13，列出关于a的方程进行计算即可解答． 【解答】解：连接AB1，A1C，BC1， 设△ABC的面积为2a， ∵A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA， ∴△A1BC的面积＝△ABC的面积＝a，△AB1C的面积＝△ABC的面积＝a，△ABC1的面积＝△ABC的面积＝a， ∴△A1CB1的面积＝△A1BC的面积＝0.5a，△AB1C1的面积＝△AB1C的面积＝0.5a，△A1BC1的面积＝△ABC1的面积＝0.5a， ∵△A1B1C1的面积是13， ∴△ABC的面积+△A1BC的面积+△AB1C的面积+△ABC1的面积+△A1C1B的面积+△A1B1C的面积+△AB1C1的面积＝13， ∴2a+a+a+a+0.5a+0.5a+0.5a＝13， ∴6.5a＝13， ∴a＝2， ∴△ABC的面积＝2a＝4， 故选：A． 11．北京、石家庄、唐山三地所在的位置如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到这三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　） A．三边垂直平分线的交点处 B．三边中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边上高的交点处 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：∵中转仓到北京、石家庄、唐山三地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上， 故选：A． 12．如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】结合三角形全等的判定条件，依次对三片玻璃进行分析即可． 【解答】解：第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等； 第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等； 第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过ASA判定新三角形与原三角形全等； 故选：D． 13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，则∠ACF的度数为（　　） A．66° B．52° C．46° D．42° 【分析】根据角平分线的定义得到∠CBD＝∠ABD＝26°，∠ABC＝2∠ABD＝52°，根据垂直平分线的性质得到FB＝FC，得到∠FCB＝∠CBD＝26°，计算即可． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝26°，∠ABC＝2∠ABD＝52°， ∴∠ACB＝180°﹣50°﹣52°＝78°， ∵EF是BC的垂直平分线， ∴FB＝FC， ∴∠FCB＝∠CBD＝26°， ∴∠ACF＝78°﹣26°＝52°， 故选：B． 14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　） ​ A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的中垂线， ∴DA＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC， ∵AB＝4，BC＝7， ∴△ABD的周长＝4+7＝11， 故选：B． 15．在△ABC中，D是BC边的中点，若AB＝9，AC＝5，则△ABC的中线AD长的取值范围是（　　） A．5＜AD＜9 B．4＜AD＜9 C．2＜AD＜14 D．2＜AD＜7 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，证明△ADB≌EDC，根据全等三角形的性质得到CE＝AB，根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：如图1，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ADB≌EDC（SAS）， ∴CE＝AB， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴AC﹣AB＜2AD＜AC+AB， ∵AB＝9，AC＝5， ∴4＜2AD＜14， ∴2＜AD＜7， 故选：D． 16．如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，根据角平分线的性质可得EG＝EF＝ED＝3，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G， ∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB， ∴EF＝ED＝3， ∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC， ∴ED＝EG＝3， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积 ＝， ∴AB+BC+AC＝24， 即△ABC的周长为24． 故选：C． 17．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值是（　　） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2 【分析】根据题意得AP＝t（cm），BQ＝tx（cm），则BP＝（8﹣t）cm，由于∠A＝∠B＝60°，根据全等三角形的判定方法，当AC＝BP，AP＝BQ时可判断△ACP≌△BPQ，即8﹣t＝6，t＝tx；当AC＝BQ，AP＝BP时可判断△ACP≌△BQP，即xt＝6，t＝8﹣t，然后分别求出对应的x的值即可． 【解答】解：根据题意得AC＝6cm，AP＝t（cm），BQ＝tx（cm），则BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ（SAS）， 即8﹣t＝6，t＝tx， 解得t＝2，x＝1； 当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP（SAS）， 即xt＝6，t＝8﹣t， 解得t＝4，x＝1.5， 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x的值是1或1.5． 故选：B． 二．填空题 18．若a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|＝　2a﹣2c　． 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可解决问题． 【解答】解：∵a+b＞c，b+c＞a， ∴a+b﹣c＞0，a﹣（c+b）＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b| ＝|a+b﹣c|﹣|a﹣（c+b）| ＝a+b﹣c﹣（c+b﹣a） ＝a+b﹣c﹣c﹣b+a ＝2a﹣2c． 故答案为：2a﹣2c． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若BC＝20，则△AEF的周长是 　20　． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC，然后利用等量代换可得△AEF的周长＝BC，即可解答． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∵BC＝20， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF ＝BE+EF+CF ＝BC ＝20， 故答案为：20． 20．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35.5°，∠2＝30.5°，则∠3＝　66　度． 【分析】由角的和差得∠1＝∠4，边角边证明△ABD≌△ACE，其性质得∠ADB＝∠AEC，再由三角形的内角和定理，邻补角的性质求出∠3＝66°． 【解答】解：如图所示： ∵∠BAC＝∠DAE， ∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4， ∴∠1＝∠4， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC， 又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝114°， ∴∠ADB＝114°， 又∠ADB+∠3＝180°， ∴∠3＝66°， 故答案为：66． 三．解答题 21．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D． （1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD＝（∠C﹣∠B）； （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由． 【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝100°，∠CAD＝40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD； （2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE＝90°﹣（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD； （3）与（2）的方法相同． 【解答】（1）解：∵∠C＝50°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝50°． 在△ACE中∠AEC＝80°， 在Rt△ADE中∠EFD＝90°﹣80°＝10°． （2）∠EFD＝（∠C﹣∠B） 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝＝90°﹣（∠C+∠B） ∵∠AEC为△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C） ∵FD⊥BC， ∴∠FDE＝90°． ∴∠EFD＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C） ∴∠EFD＝（∠C﹣∠B） （3）没变化，∠EFD＝（∠C﹣∠B）． 如图， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝． ∵∠DEF为△ABE的外角， ∴∠DEF＝∠B+＝90°+（∠B﹣∠C）， ∵FD⊥BC， ∴∠FDE＝90°． ∴∠EFD＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C） ∴∠EFD＝（∠C﹣∠B）． 22．如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD． （1）求证：△ABC≌△DEA； （2）若∠ACB＝30°，求∠BCD的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE＝∠BCA，进而利用三角形外角性质得出∠ADE＝∠CAB，利用AAS证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵BC∥AD， ∴∠DAE＝∠BCA， ∵∠CED＝∠DAE+∠ADE，∠BAD＝∠DAE+∠CAB， ∵∠CED＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠CAB， 在△ABC与△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）， （2）解：∵△ABC≌△DEA， ∴∠ACB＝∠DAE＝30°，AD＝AC， ∴∠ACD＝， ∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝75°+30°＝105°． 23．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE． （1）求证：△ABD≌△ACE． （2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度数． ​ 【分析】（1）由已知条件可求得∠BAD＝∠CAE，利用SAS即可判定△ABD≌△ACE； （2）由题意可得∠ABC＝∠ACB，从而可求得∠ACE＝15°，结合（1）即可求得∠ABD的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠BCE﹣∠ABC＝15°， ∴∠BCE﹣∠ACB＝15°， 即∠ACE＝15°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝15°． 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点． （1）∠BIC＝　115　°； （2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝　65　°； （3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）求∠BIC的度数，在△BCI，只要求出∠CBI+∠BCI的度数；角平分线的定义得，∠CBI＝∠ABC，∠BCI＝∠ACB；由三角形内角和定理，∠BAC＝50°，得出∠ABC+∠ACB的度数，推出∠CBI+∠BCI的度数，进而得解； （2）三角形内角和定理求得∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）；由角平分线性质，∠CBD＝∠FBC，∠BCD＝∠MCB，∠CBD+∠BCD＝（∠FBC+∠MCB）；利用三角形外角性质得，∠FBC＝∠A+∠ACB，∠MCB＝∠A+∠ABC，从而得出∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，进而得解； （3）点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点得∠CBE与其它角的关系，∠ECG是△BCE的外角得知，∠ECG＝∠CBE+∠BEC，∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠BEC，从而得∠BAC＝2∠BEC． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝50°， ∵BI是∠ABC的平分线， ∴∠CBI＝∠ABC， ∵CI是∠ABC的平分线， ∴∠BCI＝∠ACB， ∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣50°）＝65°， 在△BCI中，∠CBI+∠BCI+∠BIC＝180°， ∴∠BIC＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115． （2）∵∠FBC是△ABC的外角， ∴∠FBC＝∠A+∠ACB， ∵∠MCB是△ABC的外角， ∴∠MCB＝∠A+∠ABC， ∴∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A＝180°+50°＝230°． ∵BD是∠FBC的平分线， ∴∠CBD＝∠FBC． ∵CD是∠MCB的平分线， ∴∠BCD＝∠MCB． ∴∠CBD+∠BCD＝（∠FBC+∠MCB）＝×230°＝115°． 在△BCD中， ∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°， ∴∠BDC＝180°﹣115°＝65°． 故答案为：65． （3）∠BAC＝2∠BEC．理由如下： ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE＝∠ABC． ∵∠ACG是△ABC的外角， ∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC． ∵CE是∠ACG的平分线， ∴∠ECG＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC． ∵∠ECG是△BCE的外角， ∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC． ∴∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠BEC． ∴∠BAC＝2∠BEC． 25．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD． （1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：AC＝BD． （2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为 　AC＝BD　，∠APB的大小为 　α　.（直接写出结果，不证明） ​ 【分析】（1）由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC＝BD； （2）由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD； （2）解：∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， ∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB， ∴∠OAC+α＝∠OBD+∠APB， ∴∠APB＝α， 故答案为：AC＝BD，α． 26．如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得结论． 【解答】证明：∵∠ACB+∠ACF＝∠ACF+∠AED＝180°， ∴∠ACB＝∠AED， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AB＝AD． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AC上的高线BD与BC上的高线AE相交于点F． （1）求证：△BCD≌△AFD． （2）若BE＝5，求AF的长． 【分析】（1）由AC上的高线BD与BC上的高线AE相交于点F得∠ADB＝∠BDC＝90°，∠AEB＝∠AEC＝90°，由同角的余角相等得到∠AFD＝∠BCD，再证明∠BAC＝∠ABD，则AD＝BD，又因为∠BDC＝∠ADF＝90°，即可证明△BCD≌△AFD； （2）由等腰三角形的性质得到BE＝EC＝5，则BC＝10，由△BCD≌△AFD（AAS）即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AC上的高线BD与BC上的高线AE相交于点F． ∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴∠AFD+∠DAF＝90°，∠DAF+∠BCD＝90°， ∴∠AFD＝∠BCD， ∵∠BAC＝45°， ∴∠ABD＝45°， ∴∠BAC＝∠ABD， ∴AD＝BD， ∵∠BDC＝∠ADF＝90°， ∴△BCD≌△AFD（AAS）； （2）解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AE⊥BC， ∴BE＝EC＝5， ∴BC＝10， ∵△BCD≌△AFD（AAS）， ∴AF＝BC＝10． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　25　°，∠DEC＝　115　°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　小　（填”大”或”小”）； （2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【分析】（1）首先利用三角形内角和为180°可算出∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得∠DEC的度数； （2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE． （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°， ∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°； ∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°， ∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°． ∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°， 当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小， 故答案为：25，115，小； （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， 又∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 又∵AB＝DC＝2， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形， ∵∠BDA＝110°时， ∴∠ADC＝70°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝70°， ∴△ADE的形状是等腰三角形； ∵当∠BDA的度数为80°时， ∴∠ADC＝100°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∴△ADE的形状是等腰三角形． 29．如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，连接BD，延长BD至点E，使得BE＝AC，连接CE． （1）如图1，若AC＝BC，∠A＝80°，∠EBC＝44°，求∠ECD的度数； （2）如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于点F．若BD＝CD，∠A＝2∠DBC，求证：BC＝AB+EF． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BCE和∠ACB的度数，进而解答即可； （2）在BC上取一点G，使CG＝CF，利用全等三角形的性质分别证明CG＝AB，BG＝EF即可证明出结论． 【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣80°﹣80°＝20°， ∵BE＝AC，BC＝AC， ∴BE＝BC， ∵∠EBC＝44°， ∴∠BCE＝， ∴∠ECD＝68°﹣20°＝48°； （2）证明：在BC上取一点G，使CG＝CE，如图2， ∵CF是∠ECB的平分线， ∴∠ECF＝∠GCF， 在△ECF和△GCF中， ∴△ECF≌△GCF（SAS）， ∴EF＝CG，∠E＝∠FGC， ∵BE＝AC，BD＝CD， ∴AD＝DE， 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC，∠A＝∠E， ∴∠A＝∠FGC， ∵∠A＝2∠DBC， ∴∠FGC＝2∠DBC， 又∵∠FGC＝∠DBC+∠GFB， ∴∠DBC＝∠GFB， ∴FG＝BG， ∵BC＝CG+BG， ∴BC＝CE+FG， ∴BC＝AB+EF． 30．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为 　BE+DF＝EF　．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【分析】（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：EF+DF＝BE．如图中，在BE上截取BM＝DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF（SAS），推出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，再证明△AEM≌△AEF（SAS），可得结论． 【解答】解：（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是：BE+DF＝EF． 如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC＝∠D＝90°，∠ABC+∠1＝180°，即：∠ABC+∠D＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠3＝∠2， ∵，∠EAF+∠2+∠4＝∠BAD， ∴∠2+∠4＝∠EAF， ∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF， 在△MAE和△FAE中， ， ∴△MAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EM， ∵EM＝BM+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD； 故答案为：BE+DF＝EF． （2）结论：EF+DF＝BE．理由如下： 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADE＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，则∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵，∠EAF+∠EAM＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AEM与△AEF中， ， ∴△AEM≌△AEF（SAS）， ∴EM＝EF， 即BE﹣BM＝EF， 即BE﹣DF＝EF， ∴EF+DF＝BE． 31．如图，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，∠A＝∠B，AB＝16cm，点D为AC的中点． （1）如果点P在线段AB以6cm/s的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段BC上由点B向C点运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，△APD与△BQP全等？求出此时点Q的运动速度． （2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，请直接写出：①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？ 【分析】（1）①先求得AP＝BQ＝6，PB＝AD＝10，然后根据等边对等角求得∠A＝∠B，最后根据SAS即可证明； ②因为VP≠VQ，所以AP≠BQ，又∠A＝∠B，要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝8，根据全等得出BQ＝AD＝10，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和BQ的长即可求得Q的运动速度； （2）①因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AC+BC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得； ② 【解答】解：（1）①全等， 因为t＝1（秒）， 所以AP＝BQ＝6（厘米）， ∵AC＝20，D为AC中点， ∴AD＝10（厘米）， ∵PB＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（厘米）， ∴PB＝AD， ∵CA＝BC， ∴∠A＝∠B， 在△APD与△BQP中， ， ∴△APD≌△BQP（SAS）； ②因为VP≠VQ， 所以AP≠BQ， 因为∠A＝∠B， 要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝8， 即△APD≌△BPQ， 故BQ＝AD＝10， 所以点P、Q的运动时间：t＝（秒）， 此时（厘米/秒）； （2）①因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AC+BC的路程， 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得， 解得（秒）， 此时P运动了（厘米）， 又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P、Q在AC边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AC边上相遇； ②设第一次相遇经过a秒之后，第2023次相遇， 6a+2022（20+20+16）＝a， 解得：a＝75488（s）， a+t＝75514（s）， SQ＝75514×＝566360（cm）， ＝10113……32， 20＜32＜40， B→C→A， ∴Q点在AC边上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$