2026年山东省聊城市东方初级中学等校中考数学模拟（二）

二〇二六年山东省初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分！共30分．每小题只有一个选项符合题目要求！ 1．实数的相反数是 A． B． C．6 D． 2．中国“二半四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅图分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 3．如图1是一个电风扇的旋钮开关，图2为其示意图，其示意图的俯视图为 A． B． C． D． 4．2023年我国新能源汽车产量达944.3万辆，比上年增长30%．将9443000用科学记数法表示应为 A． B． C． D． 5．下列计算正确的是 A． B． C． D． 6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就，正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 A． B． C． D． 7．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中问题文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x，羊价为y钱，则所列方程组正确的是 A． B． C． D． 8．在边长为6的正方形ABCD中，E，F，G，H为各边的中点，连接EF，GH相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为 A． B． C． D． 9．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 A． B． C． D． 10．如图1是某款煮茶壶，开机加热4min将水匀速加热至100℃后停止加热，此时水温开始下降，此时水温y（℃）与启动加热后通电时间x（min）成反比例函数关系．当水温降至40℃时启动保温功能．图2是开始启动加热过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系图，则下列说法错误的是 A．水温在启动加热到100℃的过程中，y与x的函数关系式是 B．在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃ C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为7min D．在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．使代数式有意义的x的取值范围是________． 12．在平面直角坐标系中，将点，先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点B，则点B的坐标是________． 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为________． 14．一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则，，满足关系式________． 15．如图，在△ABC中，，，，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则线段MN的最小值为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分8分） （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17．（本小题满分8分） 如图，在△ABC中，，请按照要求作答： （1）用无刻度直尺和圆规在AB，BC，AC上分别取点D，E，F，使得四边形DECF为菱形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若，，求菱形的边长． 18．（本小题满分10分） 【问题背景】 某超市员工现利用扶梯将58辆购物车从一层转运到负一层 【相关素材】 素材1：如图1，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系（部分数据不完整）； 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 6 7 … ③ … 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 ① ② … 9.8 … 素材2：如图2，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域AB内． 【问题解决】 （1）根据表格信息，求购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的函数关系式； （2）将表格补充完整：①处应填________，②处应填________，③处应填________； （3）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 19．（本小题满分8分） 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞舞活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩（单位：分）为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩（单位：分）在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数/分 83 83 中位数/分 87 a 众数/分 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）求a，b，m的值； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少． 20．（本小题满分10分） 如图1，石碾是古代用石头和木材制作的一种破碎或去皮工具，如图2为石碾抽象出来的模型，AB是的直径，AC为的切线，点D是上的一点，连接CD并延长，与AB的延长线交于点E，连接DB，已知． （1）求证：CE是的切线； （2）若，，求的半径． 21．（本小题满分9分） 2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德（Alex Honnold）成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．如图，在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为60°，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为45°．已知点A，C，M在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． （1）求攀登难点N的高度（即NM的长）； （2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 22．（本小题满分11分） 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点，，抛物线与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； （3），是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围． 23．（本小题满分11分） 综合与探究 【定义】 如图1，点O是□ABCD的对角线的交点，过点O作，，垂足分别为M，N．若时，我们称是□ABCD的中心距比． 【概念理解】 （1）如图2，当时，求证：OABCD是菱形； 【性质探究】 （2）在图1中，OABCD的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形ABCD中（），其中心距比，O为对角线BD的中点，E是BC边上一点，连接OE，作交CD边于点F，若，，求CE的值； （4）图4，，，D是射线AP上一动点，点C是平面内一点以A，B，C，D为顶点，AD为边的平行四边形的中心距比．点E在射线AP上，连接AC，BE，当时，直接写出AE的长． 参考答案 二○二六年山东省初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 1．A 【解析】∵只有符号不同的两个数互为相反数，∴的相反数为． 2．D 【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 3．D 【解析】从上面看，是一个圆，且中间有两条竖的实线， ∴俯视图如下： ∴D选项符合题意． 4．C 【解析】． 5．C 【解析】A．与m不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；B．，该选项不符合题意；C．，该选项符合题意；D．，该选项不符合题意． 6．B 【解析】列表如下： 第一张 第二张 美 丽 山 河 美 （美，丽） （美，山） （美，河） 丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河） 山 （山，美） （山，丽） （山，河） 河 （河，美） （河，丽） （河，山） 由表可知共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种， ∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 7．A 【解析】根据“每人出5钱，会差45钱”可得，，即；根据“每人出7钱，会差3钱”可得，；因此可得方程组 8．D 【解析】如图，根据题意得，， ∴③的面积， 又①的面积=②的面积， ∴阴影部分的面积 ． 9．A 【解析】设反比例函数解析式为，由图象可知，函数图象经过点， ∴，∴反比例函数解析式为． ∵配制一副度数小于200度的近视眼镜，∴，即，∵，∴． 10．C 【解析】A．设水温在启动加热到100℃的过程中，y与x的函数关系式是， ∴∴∴y与x的函数关系式是，故不符合题意； B．设水温下降过程中，y与x的函数关系式是，∴，∴， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，当时，， ∴在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃，故不符合题意； C．把代入得，把代入得， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为（min），故符合题意； D．在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃，故不符合题意． 11． 【解析】根据分式有意义的条件，分母不为零，可得，解得． 12． 【解析】∵点先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为． 13．且 【解析】由题意，且，解得且． 14． 【解析】∵，，， ∴，，，∴． 15． 【解析】连接OM，ON，过A点作于点H，如图， 在Rt△ABH中，∵，∴，，∴． ∵，而，∴． ∵，∴，∴当AD的值最小时，MN的值最小． ∵D是边BC上的一个动点，∴当点D在H点时，AD的值最小，即AD的最小值为， ∴MN的最小值为． 16．（8分） （1）解：原式． （2）解： ． 当时，原式． 17．（8分） （1）如图，则四边形DECF即为所求； （2）解：设菱形的边长为x，则，， ∵四边形DECF为菱形，∴，∴， ∴，∴，解得，∴菱形的边长为． 18．（10分） （1）解：根据表格，每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 则，∴车身总长y与购物车数量x之间的关系式为． （2）2，2.2；45 【解析】由（1）知，， 当时，； 当时，； 当时，，解得． （3）解：该超市员工能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 理由：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得（米）， 当时，（米）， ∵，∴该超市员工能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 19．（8分） （1）解：依题意，得八年级20名学生的竞赛成绩在A，B组的共有（名）， 八年级20名学生的竞赛成绩（单位：分）在C组的数据是：81，83，84，87，88，89． ∴把八年级的竞赛成绩按从小到大排序，第10名和第11名的成绩分别为87分，88分， ∴， 观察七年级20名学生的竞赛成绩中88分出现次数最多，且为3次， ∴， 八年级竞赛成绩在D组的学生有（名）， ∴，∴． （2）解：八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： ∵七、八年级学生的成绩的平均数都是83分， 八年级学生的成绩的中位数87.5分高于七年级学生的成绩的中位数87分， 八年级学生的成绩的众数91分高于七年级学生的成绩的众数88， ∴八年级学生的竞赛成绩较好． （3）解：依题意，， ∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是1240． 20．（10分） （1）证明：连接OD．∵AC是的切线，∴，即． ∵，∴，∵，∴，， ∴．在△CAO和△CDO中， ∴，∴，即， 又∵OD是的半径，∴CE是的切线． （2）解：设的半径为r，则， ∵，∴， ∵AC，CE是的切线，∴， 在Rt△EAC中，，∴． 在Rt△EOD中，，∴， ∴，即，解得，故的半径为4． 21．（9分） （1）解：∵在Rt△AMN中，米，， ∴米， 故该攀登难点N的高度为米． （2）解：如图，过点B作于点D，于点E． 又∵，∴四边形BDME是矩形． ∴，． 设米，则米， ∵在Rt△ABD中，，∴米， ∴米． ∵在Rt△NBE中，，∴， 又米，米， ∴，解得． 故观察点B的铅直高度为米． 22．（11分） （1）解：抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 易得点在线段AB上，要使抛物线与线段AB只有一个交点， 则另一个交点需要在线段AB之外，或与点重合， 当交点在线段AB之外时，或，解得或； 当交点与点重合时，，解得； ∴或或． （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，由解析式得抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标，∴的值最小， ∵，，∴，， ∴由得，， 整理得，令， 当时，解得或， 所以m的取值范围是． 23．（11分） （1）证明：方法1：当时，， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴． ∵，．∴． 在Rt△ANO和Rt△CMO中， ∴，∴． ∴，∴四边形ABCD是菱形． 方法2：在平行四边形ABCD中，， ∴，∴． ∵时，，∴，∴四边形ABCD是菱形． （2）解：在□ABCD中，， ∴，∴， ∴． （3）解：如图1，分别过O作，，垂足分别为M，N． ∵，，∴，，，． ∵，∴， ∴，∴， ∴．易得，． 设，则，∵， ∴，解得， ∴． （4）解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2． ①如图2，当时，过点B作于点G，过点A作延长线于点H． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，∴，， 在Rt△ABG中，， ∴设，，∴． 解得，∴，． ∵，同理可得，，， ∴．∵，∴， ∴，∴，∴． ∴； ②如图3，当时，过点B作于点G，过点A作交CD的延长线于点H． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴，， ∴，，∴， ∴，同理可求，，， ∴． 由①可知，，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； ③如图4，当时，连接CD，过点D作于点F． ∵，∴设，， ∴，∴， ∴， ∵，∴，∴，解得． ∵，∴．又∵，∴， ∴，∴，∴， ∴． 综上可知，AE的长为或16或． 学科网（北京）股份有限公司 $