精品解析：江苏镇江市丹徒区宜城中学五校2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

八年级数学当堂作业 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； B．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； C．绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意； D．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列调查方式合适的是（ ） A. 为了解镇江市初中生平均每天的阅读时间，采用普查的方式 B. 为了解一批手机电池的使用寿命，采用普查的方式 C. 为了解某班学生的身高情况，采用普查的方式 D. 为了解“天问一号”零件的质量情况，采用抽样调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】普查适用于调查范围小，调查无破坏性，要求结果准确的情况，抽样调查适用于调查范围大，调查有破坏性，不需要精确结果的情况，据此逐一判断选项即可． 【详解】A选项中，镇江市初中生人数多，调查范围大，适合抽样调查，因此A不合适； B选项中，调查手机电池使用寿命具有破坏性，无法采用普查，适合抽样调查，因此B不合适； C选项中，一个班的学生人数少，调查范围小，适合采用普查，因此C合适； D选项中，“天问一号”零件质量要求精准，必须采用普查，抽样调查不合适，因此D不合适． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形就是因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，由整式乘积得到多项式，不符合因式分解的定义，故A不符合题意； 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求，故B不符合题意； 选项C中，等式右边 是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，故C不符合题意； 选项D中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，故D符合题意． 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 5. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【详解】解： ∵， ∴，且，故A，B错误； ，，故C正确，D错误. 6. 如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，添加的条件不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点四边形可得四边形是平行四边形，进而添加一个直角或者对角先线相等，可得矩形，而添加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， A. 添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意； B. 添加，可得四边形为菱形，符合题意； C. 添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； D. 添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 8. 若，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由变形得，代入整理得到，再整体代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，可得分母不为零，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：分式有意义， 分母， 解得：． 10. 某班一次跳绳测试后，根据测试成绩，将该班40名学生的成绩分为5组，若第一、二、三组的频数和为25，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用所有组的频数和等于总数，先求出第五组的频数，再计算第四组的频数即可． 【详解】解：已知总学生数为， 根据频率公式，可得第五组的频数为， 因为各组频数之和等于总数，因此第四组的频数为． 11. 已知，则多项式的值是_______． 【答案】-20 【解析】 【分析】将因式分解，再将已知等式整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴===-20， 故答案为：-20． 【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，解题的关键是将所求式子合理变形． 12. 不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中红球的个数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先根据摸到红球的频率稳定在0.6左右，得到摸到红球的概率为，设红球的个数为个，根据概率公式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：摸到红球的概率为，设红球的个数为个， ∴， 解得：； 故答案为：6． 13. 如图，在平行四边形中，，点是上的一点，分别平分和，若，则平行四边形的周长为____． 【答案】12 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求得，利用角平分线的定义求得，推出，求得，同理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 14. 已知二次三项式是一个完全平方式，则______． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据完全平方公式的表现形式可得，解得m的值即可． 本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即， 解得：或， 故答案为：3或． 15. 定义新运算：对于正实数a，b，定义．若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 16. 用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意可得，观察图形可知阴影部分的面积等于底为高为的三角形面积减去底为高为的三角形面积，利用整式的混合运算法则化简求值即可 ． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得， 阴影部分的面积为        ． 17. 如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间__秒时，四边形是直角梯形． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及含30度的直角三角形等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．过点作于，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由题意可知，，，利用直角梯形的性质证明四边形是矩形，再列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于， ， ， ， ， ，运动的速度都为每秒，，， ，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：7． 18. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可得点在上，当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接，，设与的交点为，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴当时，此时点与重合，有最小值， 在中， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是本题的关键． 三、解答题（共76分） 19. 从2025年春季学期起，江苏省义务教育学校的课间时间延长至15分钟．某校为了解学生喜欢的课间体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如下所示不完整的两幅统计图，其中A为“匹克球”，B为“羽毛球”，C为“乒乓球”，D为“棒球”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为______； （4）若全校共有1800名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢羽毛球． 【答案】（1）40 （2）图见解析 （3）36 （4）估计全校有720名学生课间喜欢羽毛球 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用项的人数除以所占的比例求出总人数即可； （2）求出项的人数，补全条形图即可； （3）用360度乘以项人数所占的比例进行计算即可； （4）用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； 故本次调查共抽取了40名学生； 故答案为：40； 【小问2详解】 项的人数为：（人）， 补全条形图如图： 【小问3详解】 表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为； 故答案为：36； 【小问4详解】 （名）； 答：估计全校有720名学生课间喜欢羽毛球． 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先将分式方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，再检验所得根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解． 【小问1详解】 解：方程两边同乘最简公分母， 得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 整理得 ， 两边同乘最简公分母，得    解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 23. 如图，菱形的对角线相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，过点作的垂线交于点，连接．求菱形的面积． 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得  、  ，证明  得出，，即可得出，，即可证明四边形是平行四边形，进而根据，即可得证； （2）过点作的垂线交于点，连接．点G在的垂直平分线上，，，由（1）得，则，，，，根据计算即可． 【小问1详解】 解：是菱形， ∴,, 是的中点，则 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：过点作的垂线交于点，连接． ∵，，， ∴点G在的垂直平分线上，，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24. 【项目准备】利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…． （1）题干中，因式分解的最后结果是：______； （2）【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法构造平方差形式后，再用平方差公式分解即可得到最终结果； （2）先对二次三项式配方分解，再整体代入已知条件计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴， ∴． 25. 阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： （1）根据发现的规律，填空：________． （2）利用发现的规律，计算：． （3）类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减法，数字的规律变化，分式的化简求值，读懂题目信息，观察出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律即可求出答案； （3）根据题中给出的规律进行化简，然后将代入即可得出答案． 【小问1详解】 由 可得． 【小问2详解】 ， ． 【小问3详解】 ， ∵， ∴， 原式 26. 如图，矩形中，，，点P在边上，且不与点B，点C重合，直线与的延长线交于点E． （1）当点是的中点时，求证：； （2）将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）①证明见解析，；②12 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，可得，，利用即可得出结论； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； 【小问2详解】 解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 在矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得， ， 的周长， 连接， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学当堂作业 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查方式合适的是（ ） A. 为了解镇江市初中生平均每天的阅读时间，采用普查的方式 B. 为了解一批手机电池的使用寿命，采用普查的方式 C. 为了解某班学生的身高情况，采用普查的方式 D. 为了解“天问一号”零件的质量情况，采用抽样调查的方式 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 5. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，添加的条件不正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 10. 某班一次跳绳测试后，根据测试成绩，将该班40名学生的成绩分为5组，若第一、二、三组的频数和为25，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为__________． 11. 已知，则多项式的值是_______． 12. 不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中红球的个数为________． 13. 如图，在平行四边形中，，点是上的一点，分别平分和，若，则平行四边形的周长为____． 14. 已知二次三项式是一个完全平方式，则______． 15. 定义新运算：对于正实数a，b，定义．若，则__________． 16. 用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________． 17. 如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间__秒时，四边形是直角梯形． 18. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 _______． 三、解答题（共76分） 19. 从2025年春季学期起，江苏省义务教育学校的课间时间延长至15分钟．某校为了解学生喜欢的课间体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如下所示不完整的两幅统计图，其中A为“匹克球”，B为“羽毛球”，C为“乒乓球”，D为“棒球”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中表示“匹克球”的扇形圆心角的度数为______； （4）若全校共有1800名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢羽毛球． 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 23. 如图，菱形的对角线相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，过点作的垂线交于点，连接．求菱形的面积． 24. 【项目准备】利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…． （1）题干中，因式分解的最后结果是：______； （2）【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值． 25. 阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： （1）根据发现的规律，填空：________． （2）利用发现的规律，计算：． （3）类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 26. 如图，矩形中，，，点P在边上，且不与点B，点C重合，直线与的延长线交于点E． （1）当点是的中点时，求证：； （2）将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $