精品解析：江苏省镇江市丹徒区茅以升学校集团五校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度八年级（下）数学阶段性课堂练习 总分：120分 时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句描述的事件为随机事件的是（ ） A. 通常加热到时，水沸腾 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 从三张扑克牌J，Q，K中取出一张是A 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点．则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 地到地的铁路长千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由地到地的行驶时间缩短了小时，设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形：④一组邻边相等的矩形是正方形，其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E，F分别为AC和AB中点，则EF=　(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，正方形边长为4，对角线上有一动点，过作于，于，连结，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，的平分线交对角线于点E，且，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线 x 0经过D点，交AB于E点，且OB∙AC=160，则点E的坐标为（ ）． A. （3，8） B. （12，） C. （4，8） D. （12，4） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 式子①，②，③，④，是分式的有________． 12 当_____________时，方程会产生增根． 13. 已知近视眼镜的度数y（单位：度）与镜片焦距x（单位：m）成反比，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则当镜片焦距为时，近视眼镜的度数应为_______度． 14. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为______. 15. 如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BE⊥AD于点E，F是AC的中点，连接EF．若AB＝6，BC＝10，则EF＝_____． 16. 若关于y的分式方程有解，且关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 三、解答题（共 72 分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 解分式方程：（1）； （2）． 18. 先化简，再求值：；从，1，2中选一个代入求值． 19. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形平行四边形． 20. 如图，中，D、E分别是边的中点，点F是上一点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形，说明理由． 21. 某商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克．问第一次购进这种商品多少千克？ 22. 在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且． （1）四边形如图1所示，四边形是______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；____（填“”或“”）； （2）四边形如图2所示，且，四边形是_____（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． 23. 平面直角坐标系中，横坐标为点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点． （1）设，点在函数的图象上． ①分别求函数的表达式； ②直接写出使成立的的范围； （2）如图，设函数的图象相交于点，点的横坐标为，的面积为16，求的值． 24. 问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______． 学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度八年级（下）数学阶段性课堂练习 总分：120分 时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列语句描述的事件为随机事件的是（ ） A. 通常加热到时，水沸腾 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 从三张扑克牌J，Q，K中取出一张是A 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A. 通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意； B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意； C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意； D. 从三张扑克牌J，Q，K中取出一张是A是不可能事件，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 4. 正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点．则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点的坐标同时满足相交的所有图象的解析式，求交点时可以把这些解析式联立，构造方程组，进而得解．首先将点代入，求出点的坐标，再将点代入求出的值，联立即可得解． 【详解】解：将点代入得：， 解得：， 将点代入得：， ， ， 解得：，， 点， 故选：B． 5. 地到地的铁路长千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由地到地的行驶时间缩短了小时，设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意找出数量关系，再利用“动车从地到地的时间缩短了小时”找出等量关系列方程即可求得正确的选项． 【详解】解：设原来火车的平均速度为千米/时，则可得动车的平均速度是千米/时，根据题意 可得方程：； 故选． 【点睛】本题考查了分式的方程应用，审清题意找出等量关系是解题的关键． 6. 下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形：④一组邻边相等的矩形是正方形，其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题； ②一组邻边相等的平行四边形是菱形，故②不是真命题； ③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题： ④一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题， 故选：B． 7. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E，F分别为AC和AB的中点，则EF=　(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴． ∵点E、F分别为AC、AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴． 故选：A． 8. 如图，正方形边长为4，对角线上有一动点，过作于，于，连结，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接PB，由矩形性质可知EF=BP，由垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最小，利用正方形性质求得AC长，从而利用三角形面积求得BP的长即可即可． 【详解】解：连接PB，∵，，正方形ABCD中，∠ABC=90° ∴四边形PFBE是矩形 ∴EF=BP 当BP⊥AC时，BP最小，即EF最小 在正方形ABCD中， ∴， 解得： ∴EF的最小值为 故选：A． 【点睛】 本题主要考查的是矩形的判定与性质，正方形性质的应用，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，的平分线交对角线于点E，且，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，由矩形的性质推出，，，得到，，判定是等边三角形，由等边三角形的性质得到，关键是得到是等边三角形． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， 平分， ， ，， ． 故选：B． 10. 已知：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线 x 0经过D点，交AB于E点，且OB∙AC=160，则点E的坐标为（ ）． A. （3，8） B. （12，） C. （4，8） D. （12，4） 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作轴于点，由可求出菱形的面积，由点的坐标可求出的长，根据勾股定理求出的长，故可得出点的坐标，对角线相交于D点可求出点坐标，用待定系数法可求出双曲线的解析式，与的解析式联立，即可求出点的坐标. 【详解】过点B作轴于点, ,点的坐标 又 菱形的边长为10， 在中， 又 点是线段的中点， 点的坐标为 又 直线的解析式为 联立方程可得： 解得： 或， 点的坐标为 故选：B. 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数以及菱形综合，熟练的掌握菱形面积求法是解决本题的关键. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 式子①，②，③，④，是分式的有________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据分式的定义对选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式， 分式有①③， 故答案为①③． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题关键是掌握分式和整式的区别，分母中含有未知数的为分式． 12. 当_____________时，方程会产生增根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为的根． 先把方程化为整式方程得到，根据题意得到，，代入求出． 【详解】解：把方程化为整式方程得， 方程有增根， ， ， 把代入得， ， 故答案为：． 13. 已知近视眼镜的度数y（单位：度）与镜片焦距x（单位：m）成反比，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则当镜片焦距为时，近视眼镜的度数应为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握反比例函数的应用是解题的关键．设近视眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为，根据题意求出解析式，然后镜片焦距为时，求出的值即可． 【详解】解：近视眼镜的度数y与镜片焦距x成反比， 设， 近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为， ， ， 当镜片焦距为时， 则， 近视眼镜的度数应为度， 故答案为：． 14. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为______. 【答案】##度 【解析】 【分析】根据题意可知，等量代换求出，再根据平行线的性质求出． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 15. 如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BE⊥AD于点E，F是AC的中点，连接EF．若AB＝6，BC＝10，则EF＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意求出DC，根据等腰三角形的三线合一得到DE＝AE，根据三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵BD＝AB，BE⊥AD， ∴DE＝AE， ∵ F是AC的中点，E是AD的中点， ∴是中位线， ∴， ∵BD＝AB=6，BC＝10， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 若关于y的分式方程有解，且关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】26 【解析】 【分析】根据分式方程有解，确定，根据有解且至多有2个整数解，，确定计算即可． 【详解】∵解分式方程， 解得：， ∵， ∴， ∵的解集为；的解集为， ∵有解且至多有2个整数解， ∴， 解得， 故a整数解为7，8，9，10， ∵， 故符合题意a的整数解为7，9，10， ∴， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了解分式方程，不等式组整数解，正确理解题意是解题的关键． 三、解答题（共 72 分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 解分式方程：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1） 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验，当时，， 所以是原方程的根， 即原方程的解是； （2）， ， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是能把分式方程转化成整式方程进行求解． 18. 先化简，再求值：；从，1，2中选一个代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】先利用分式的运算法则和顺序把原式化简为最简分式，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入求值即可． 【详解】解： ， 又根据分式有意义的条件，得：， 在，1，2中，x只能为2， 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形． 【详解】∵AD//BC （两直线平行，内错角相等） 又∵AE//CF （两直线平行，内错角相等） 在与中， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 20. 如图，中，D、E分别是边的中点，点F是上一点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当满足条件时，四边形是菱形．（答案不唯一），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得，然后证明，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得出，推出即可． 【小问1详解】 证明：点D、E分别是边的中点， 是的中位线． ． ． 又  ． ． ． ，  四边形是平行四边形． 【小问2详解】 答案不唯一，如． 是的中位线， ，， ， ， 是菱形． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键． 21. 某商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克．问第一次购进这种商品多少千克？ 【答案】第一次购进这种商品10千克 【解析】 【分析】根据“商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克”列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第一次购进这种商品x千克，则第二次购进这种商品（x+5）千克， 由题意，得， 解得x＝10． 经检验：x＝10是所列方程的解． 答：第一次购进这种商品10千克． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意得出分式方程的解之后要验根． 22. 在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且． （1）四边形如图1所示，四边形是______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；____（填“”或“”）； （2）四边形如图2所示，且，四边形是_____（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． 【答案】（1）菱形， （2）正方形，成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据轴对称的性质，得到，，，又因为，即可证明四边形是菱形，得到再证明，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理，即可得到与之间的数量关系； （2）根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形是正方形，过点P作，先根据平行线的性质，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，然后根据轴对称的性质得到，推出，最后利用三角形内角和定理和平角的性质，求出，即可得到与之间的数量关系； 【小问1详解】 解：设、相交于点F， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：菱形， 【小问2详解】 解：正方形，成立，理由如下： 同理可证，四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 过点P作交于点M，交于点N， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 23. 平面直角坐标系中，横坐标为的点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点． （1）设，点在函数的图象上． ①分别求函数的表达式； ②直接写出使成立的的范围； （2）如图，设函数的图象相交于点，点的横坐标为，的面积为16，求的值． 【答案】（1）①，；②；（2）k=6 【解析】 【分析】（1）①先求出a的值，然后由待定系数法即可求出答案；②根据图像，即可得到不等式的解集； （2）过点、作轴于点，轴于点，连，利用反比例函数的几何意义，即可求出答案 【详解】（1）①由已知，点在的图象上 ， ， 点坐标为，坐标为 把，代入 ， 解得：； ； ②由图象可知，使y1＞y2＞0成立的x的范围是； （2）分别过点、作轴于点，轴于点，连 为中点 点、在双曲线上 由已知点、坐标都表示为 解得：； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．有一定难度． 24. 问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______． 学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值． 【答案】； 【解析】 【分析】问题解决：将绕点逆时针旋转至，连接、，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可得出答案；学以致用：将绕点逆时针旋转，得到，则易知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值． 【详解】解：问题解决： 将绕点逆时针旋转至，连接、， ，， ， 为腰长为，顶角为的等腰三角形， 如下图，在中，过点作，垂足为， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 当、、、共线时，有最小值，最小值为， 故答案为：； 学以致用： 如图，将绕点逆时针旋转，得到， ，，， 为等边三角形，为等边三角形， ， 作于点，交于点， ， ， ， ， 当点、、、四点共线且垂直时，有最小值为， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$