第37讲　空间直角坐标系与空间向量课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间直角坐标系与空间向量”专题，依据高考评价体系梳理了空间向量线性运算、共线共面定理、数量积应用及空间位置关系证明等核心考点，通过教材经典题改编与近5年高考真题分析，明确“空间位置关系证明”占35%、“异面直线所成角”占30%的高频考点分布，归纳出基底法、坐标法等常考题型解法。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”的备考策略，如以2025新高考Ⅰ卷正三棱柱题为例，深入剖析“向量线性表示法”和“法向量判定法”，培养学生的数学思维与空间观念。特设“易错点警示”（如共线向量系数关系）和“答题模板”，通过变式训练让学生熟练掌握空间向量工具，教师可据此精准指导，助力学生高效突破立体几何难点。

第七章 第37讲　空间直角坐标系与空间向量 立体几何 1 1．(教材经典题改编)已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是 (　　) A．(0,0,3)　 B．(0,0,2) C．(0,0，－2)　 D．(0,0，－3) 【解析】 D 【解析】 B 4．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共 面，则实数λ＝______． 【解析】 l∥α或l⊂α 【解析】 10 1．空间向量中的有关定理 (1) 共线向量定理 空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得__________． (2) 共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：___________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量． (3) 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_________________，{a，b，c}叫做空间中的___________． a＝λb p＝xa＋yb p＝xa＋yb＋zc 一个基底 2．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 3．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 4．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面： 目标 1 空间向量的线性运算及共线、共面定理 　　　　　下列说法正确的是 (　　) 1－1 A．①②　 B．②③ C．①③　 D．①②③ 【解析】 【答案】 C 【解答】 1－2 (2) 判断点M是否在平面ABC内． 【解答】 1－2 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 目标 2 空间向量数量积的运算及应用 　　　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． (1) 求AC1的长； 2 【解答】 　　　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． (2) 求证：AC1⊥BD； 2 【解答】 　　　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． (3) 求BD1与AC夹角的余弦值． 2 【解答】 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算． 变式2　(教材经典题)如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为_____． 【解析】 0 目标 3 利用空间向量证明平行与垂直问题 　　　　　已知四面体SABC中，E，F，G，H，M，N分别是对应棱的中点，且EF＝GH＝MN．求证：SA⊥BC，SB⊥AC，SC⊥AB． 【解答】 3－1 　　　　　如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥ AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点． (1) 求证：AG⊥平面ABCD． 【解答】 　　　　因为AE＝AF，G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD． 由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，可得AG⊥平面ABCD． 3－2 　　　　　如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥ AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点． 【解答】 　　　　由(1)得AG⊥平面ABCD，因为AD，AB⊂平面ABCD，所以AG⊥AD，AG⊥AB．又四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG，AD，AB两两垂直． 3－2 线、面位置关系的证明 (1) 基底法证线面垂直：选取合适的基底，直接用数量积判断线线的垂直关系，进而得到线面垂直； (2) 法向量法证平行和垂直：关键是建立恰当的坐标系并准确写出点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素． 1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2，AA1＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，则BC1与CA1所成角的余弦值为 (　　) 【解析】 【答案】 B 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°． (1) 求证：CM∥平面PAD； 【解答】 　　　　由题意知CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°． (2) 求证：平面PAB⊥平面PAD． 【解答】 配套练习题 【解析】 A．－8　 B．－4 C．－2　 D．8 A 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关系正确的是 (　　) A．AD⊥B1C　 B．A1D⊥BD C．AC1⊥A1C　 D．AC1⊥CD1 【解析】 【答案】 D 【解析】 C 4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，设BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为 (　　) 【解析】 A 二、多项选择题 5．(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则 (　 　) A．AD⊥A1C　 B．B1C1⊥平面AA1D C．AD∥A1B1　 D．CC1∥平面AA1D 【解析】 图(1) 对于B，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥B1C1，因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，故AD⊥B1C1，又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面AA1D，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误． 图(1) 图(2) 图(2) 【答案】 BD 【解析】 【答案】 AD 【解析】 图(1) 图(2) 图(2) 图(4) 【答案】 ABD 三、填空题 【解析】 －1 【解析】 2 【解析】 四、解答题 【解答】 　　　　如图(1)，连接BC1，BA1，则B1C，BC1互相平分，而D为CB1的中点，故D为BC1的中点．又E为A1C1的中点，所以DE∥BA1，又DE⊄平面ABB1A1，BA1⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1． (1) 若D，E分别是CB1，A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1； 图(1) 【解答】 (2) 若DE⊥CB1，DE⊥A1C1，求DE的长． 图(2) 12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段DB1上，DH∶HB1＝1∶2． (1) 求线段PQ的长度； 【解答】 12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段DB1上，DH∶HB1＝1∶2． (2) 求证：PQ∥平面CDD1C1； 【解答】 12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段DB1上，DH∶HB1＝1∶2． (3) 求证：点H在平面AD1C上． 【解答】 B组　能力提升练 【解析】 【答案】 BC 向量表示 坐标表示 数量积 a·b ____________________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ____________________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) _______________________ 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 对于B，若λ＝2μ，则＝2μ＋μ＝μ(2＋)＝2μ(N为B1C1的中点)，如图(2)．又因为λ∈，λ＝2μ，所以2μ∈．故点P的轨迹长度为BN＝a，故B正确． 对于C，若μ＝1，则＝λ＋，所以－＝＝λ，λ∈，所以点P在线段CC1上，如图(3)．假设DP⊥A1P，则DP2＋A1P2＝A1D2，即a2＋(λa)2＋a2＋a2＋(1－λ)2a2＝(a)2，化简得λ2－λ＋1＝0，方程无解，所以λ不存在，故C错误． $