精品解析：山东聊城市东昌教育集团2025-2026学年第二学期第二次巩固练习八年级数学试题

2025——2026学年第二学期第二次巩固练习 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。 【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。 2. 下列各式中，二次根式的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，形如（其中的式子就是二次根式． 【详解】解：，， 故二次根式有：、、、 ①③⑤⑦共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解定义是关键． 3. 下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 4. 函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数，熟练掌握定义是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：①，当时，不是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 所以是一次函数的有2个． 故选：B． 5. 已知点，都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式判断函数增减性，再结合点的横坐标大小比较对应函数值的大小． 【详解】解：∵直线中， ∴函数值随增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 6. 一组数据，，7，3，5有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数．由众数的定义，得到，再将这组数据从小到大排列，根据中位数的定义，即可得到答案．熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键． 【详解】解：∵一组数据，，7，3，5有唯一的众数7， ∴， 把这组数据从小到大排列为：，3，5，7，7， 一共有5个数据，处于最中间的为第3个数5， 故中位数为5， 故选：C 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解： A．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项A符合题意； B．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项B不符合题意； C．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项C不符合题意； D．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项D不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等边对等角，先由平行线的性质得到，再由旋转的性质可得，，进而根据等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，则可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在菱形中，E、F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为、的中点，连．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定点F的位置是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，线段的中点是，则点的坐标为，例如：点，点，则线段的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，已知点，，线段的中点恰好位于轴的正半轴上，且 到轴的距离是2，则的值为（     ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，中点坐标公式，先求出的中点的坐标，再根据点满足的条件列出方程求出、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：点， ∴线段的中点 ∵点恰好位于轴的正半轴上，且到轴的距离是2， ∴ 解得： ∴ 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则应满足_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列出不等式组求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得． 12. 若一组数据10，，10，10，8的平均数和众数相等，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据众数的定义确定这组数据的众数，再利用平均数的计算公式，结合平均数与众数相等列方程求解． 【详解】解：这组数据中，已经出现次，出现次，无论取何值，都是这组数据中出现次数最多的数， 因此这组数据的众数为 由题意得，这组数据的平均数与众数相等， 因此可得 整理得 ， 解得 ． 13. 已知如图直线与相交于点，则关于的不等式的解集是__． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入中求得，然后结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14. 如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为．若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、新定义 “阶和谐点” 的理解与应用，绝对值方程，掌握新定义的运算规则是解决问题的关键．解题思路是先根据 “ 阶和谐点” 的定义求出点的“ 阶和谐点”的坐标，再根据点到轴的距离为7列方程求解． 【详解】解：根据题意点的“阶和谐点”为： 横坐标：， 纵坐标：， ∵点的“阶和谐点”到轴的距离为7， ∴， ①得 ， ②得 ， 综上所述，值为 或 ． 故答案为： 或 ． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可； （2）先根据有理数的乘方、绝对值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知是同一平面直角坐标系中的三个点，它们的坐标分别为． （1）请在示意图中建立平面直角坐标系． （2）顺次连接点得到，并作出关于y轴对称的． （3）的面积为___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称、网格中求三角形的面积，掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据，即可建立平面直角坐标系； （2）顺次连接点得到，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同得到对应点，再顺次连接即可作出图形； （3）利用割补法求解面积即可． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系，如图： 【小问2详解】 解：如图，和即为所作： 【小问3详解】 解：的面积为：， 故答案为：． 19. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点，，求证：，并求的长． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴； ． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，，则由平行线的性质可得，，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 20. （1）观察图①～图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征： 1. ____________；2. ____________. （2）在图⑤中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征. 【答案】（1）它们都是轴对称图形；面积都等于4个小正方形的面积和；（2）详见解析. 【解析】 【分析】(1) 应从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑; (2) 只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可. 【详解】（1）它们都是轴对称图形；阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和. （2）答案不唯一： 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性;有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同. 21. 根据中国电影观众满意度调查结果，电影《飞驰人生3》以87.3分的成绩位居2026年春节档满意度榜首．某社团为了解学生对《飞驰人生3》的喜爱程度，现从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的评分在组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，100，100． 七、八年级抽取的学生评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.7 93 八年级 91.7 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_____，_____，_____． （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更喜欢《飞驰人生3》？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七、八年级共有3000名学生，请估计该校七、八年级非常喜欢（）《飞驰人生3》的学生人数． 【答案】（1）92.5；100；5； （2）解：七年级的学生更喜欢《飞驰人生3》，理由：因为七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生更喜欢《飞驰人生3》；（答案不唯一） （3）2025名 【解析】 【分析】（1）根据中位线、众数的定义可知a、b的值，根据统计图及八年级20名学生的评分在D组的数据可知m的值； （2）根据中位数和众数判断即可； （3）用3000乘以七、八年级非常喜欢《飞驰人生3》的学生比例即可． 【小问1详解】 解：∵八年级20名学生评分的中位数为从小到大第10、11位的平均值，D组的数据是：91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，99，100，100， ∴； 七年级20名学生评分出现次数最多的为100，故； 八年级20名学生的评分在D组的有12名，A组的有1名，B组的有2名， 故C组的有，即； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：根据题意，七年级评分在的有15名，八年级评分在的有13名， 名． 22. 2025年，我国国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球，某商家看准商机，决定购进A、B两型与此电影有关的网红创意桌面摆件一“我命由我不由天”进行销售．已知1件A型摆件的进价比1件B型摆件的进价多10元，用1200元购进A型摆件的数量与用900元购进B型摆件的数量相等． （1）求A、B两型摆件的进货单价； （2）该商家准备购进A、B两型摆件共75件，且购进A型摆件的数量不少于B型摆件数量的2倍．怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）A型摆件每个的进价为40元，B型摆件每个的进价为30元 （2）商家购买50件A型摆件，25件B型摆件总费用最少，最少费用为2750元 【解析】 【分析】（1）设A型摆件每个的进价为a元，B型摆件每个的进价为元，根据“用1200元购进A型摆件的数量与用900元购进B型摆件的数量相等”列分式方程求解即可； （2）设购买A型摆件x件，则购买B型摆件件，根据“购进A型摆件的数量不少于B型摆件数量的2倍”求出的值，设商家购买两型摆件的总费用为w元，求出w的函数关系式，进而根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设A型摆件每个的进价为a元，B型摆件每个的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴， 答：A型摆件每个的进价为40元，B型摆件每个的进价为30元； 【小问2详解】 解：设购买A型摆件x件，则购买B型摆件件， 根据题意得：， 解得， ∴x的取值范围为， 设商家购买两型摆件的总费用为w元， 则， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小，最小值为2750， 此时， 答：商家购买50件A型摆件，25件B型摆件总费用最少，最少费用为2750元． 23. 如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标是_____； （3）点在线段上，使的面积等于5，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线和联立求解； （2）设P点坐标是，根据题意得到，然后利用勾股定理列方程求解即可； （3）首先，设点Q的坐标是，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：联立直线和得， 解得： ∴A点坐标是； 【小问2详解】 解：设P点坐标是， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴P点坐标是； 【小问3详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点C、B， ∴当时， ∴，即 设点Q的坐标是 ∵的面积等于5， ∴ ∴ ∴ ∴点Q的坐标是． 24. 探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质证明，结合可得结论； （3）方法一：设与交于点，在上截取，证明，得出，根据等边三角形性质得出，即可证明． 方法二：证明，得出，，证明，得出即可． 【详解】证明：（1）和都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （3）线段，与之间存在的数量关系是：，证明如下： 方法一：设与交于点，在上截取，如图所示： 和都是等边三角形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 方法二：和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第二学期第二次巩固练习 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，二次根式的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知点，都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 6. 一组数据，，7，3，5有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，E、F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为、的中点，连．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，线段的中点是，则点的坐标为，例如：点，点，则线段的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，已知点，，线段的中点恰好位于轴的正半轴上，且 到轴的距离是2，则的值为（     ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则应满足_____． 12. 若一组数据10，，10，10，8的平均数和众数相等，则的值为__________． 13. 已知如图直线与相交于点，则关于的不等式的解集是__． 14. 如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 15. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为．若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，已知是同一平面直角坐标系中的三个点，它们的坐标分别为． （1）请在示意图中建立平面直角坐标系． （2）顺次连接点得到，并作出关于y轴对称的． （3）的面积为___________． 19. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点，，求证：，并求的长． 20. （1）观察图①～图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征： 1. ____________；2. ____________. （2）在图⑤中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征. 21. 根据中国电影观众满意度调查结果，电影《飞驰人生3》以87.3分的成绩位居2026年春节档满意度榜首．某社团为了解学生对《飞驰人生3》的喜爱程度，现从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的评分在组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，100，100． 七、八年级抽取的学生评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.7 93 八年级 91.7 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_____，_____，_____． （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更喜欢《飞驰人生3》？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七、八年级共有3000名学生，请估计该校七、八年级非常喜欢（）《飞驰人生3》的学生人数． 22. 2025年，我国国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球，某商家看准商机，决定购进A、B两型与此电影有关的网红创意桌面摆件一“我命由我不由天”进行销售．已知1件A型摆件的进价比1件B型摆件的进价多10元，用1200元购进A型摆件的数量与用900元购进B型摆件的数量相等． （1）求A、B两型摆件的进货单价； （2）该商家准备购进A、B两型摆件共75件，且购进A型摆件的数量不少于B型摆件数量的2倍．怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 23. 如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标是_____； （3）点在线段上，使的面积等于5，求点的坐标． 24. 探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $