精品解析：2025年山东省淄博市张店区中考二模数学试卷

2024—2025学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将的三角板如图放置．已知，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是（　　） 年龄（岁） 人数（名） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差． 6. 如图，在矩形中，摆放着正方形和正方形（点G在上），延长交于点R．若，则阴影部分矩形的面积等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点M为边的中点，点N为边上一点，连接，．若平分，且，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 9. 甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（ ） A. 乙用12分钟追上甲 B. 甲步行的速度为60米/分钟 C. 乙步行的速度为80米/分钟 D. 乙到达终点时，甲离终点还有600米 10. 如图，在中，C为半圆上一点（为的直径），连接，点分别在弦上，连接，将沿折叠，使点C恰好落在圆心O上．若已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 实数2的算术平方根为______． 12. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为________________． 13. 如果是关于x的多项式的一个因式，则常数m的值为________． 14. 和为两块大小不同的含角的三角板，在平面直角坐标系内如图所示摆放（点A在y轴的正半轴上），，，反比例函数的图象恰好经过点C．若，则________． 15. 如图，有一菱形场地，小明给该场地设计了一种花卉种植方案：在对角线上取动点（点E在点F左边），并修建小路，四条小路围成的阴影区域用来种植某种花卉．已知米，米，且，为使种植该种花卉的费用最低，需阴影区域的面积最小，则的长应为________米． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 解不等式组，请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解的和． 17. 如图1，和，点在同一条直线上，已知． （1）求证：； （2）如图2，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 18. 定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． （1）判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； （2）小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 19. 齐风泱泱，淄水汤汤，幸福河湖润泽百姓幸福生活，一座清水润泽之城全面起势．某学校准备组织学生进行周末游河湖研学活动，有孝妇河、齐盛湖、文昌湖、马踏湖4个目的地选择．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小刚根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查总人数为________，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“文昌湖”对应的圆心角为________度，若该学校共有学生1000名，请估计参加“文昌湖游河湖研学”的学生有多少人？ （3）研学活动有文艺类的“：现场绘画”和“：：情境写作”及实践类的“：水质调研”和“：植被调研”，共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率． 20. 如图，直线与双曲线相交于第一象限的两点，连接，过点A作轴于点C，交于点D，已知． （1）设点A的横坐标为m，请直接写出点B的坐标；（用含的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，请求出该双曲线的表达及的面积； （3）在（2）的条件下，请直接写出关于x的不等式的解集． 21. 某校“综合与实践”活动小组在老师的指导下开展了项目式学习活动，下表是活动任务单． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 测量过程与数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角． （注：图中所有点均同一平面内） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面水平距离和垂直距离； （2）求山的高度，即求线段的长． 22. 【概念呈现】如图1，在中，若是钝角，且，则称为和谐三角形，叫做的和谐角． 概念理解】 （1）根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，完成下列问题： ①在如图1的和谐三角形中，若是的和谐角，则________； ②若和谐三角形是等腰三角形时，则该和谐三角形的和谐角的度数为________； 【性质探究】 （2）爱探索思考的小强根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念发现：在如图1的和谐三角形中，若是钝角，是的和谐角，则存在的结论，请同样爱探索思考的你证明小强的结论； 【拓展应用】 （3）如图2，是的内接三角形，，点P是边上一点，连接并延长交于点D．问根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，是否存在是和谐三角形？若存在，请直接写出弦的长；若不存在，请说明理由． 23. 如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点，经过点B的直线交该抛物线于另一点E． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，当点E与点C重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点D，连接，交直线于点P．设，当t取得最大值时，求点D的坐标及此时t的最大值； （3）如图3，经过点B不同于的另一直线交该抛物线于另一点F．当均为x轴上方抛物线上的两点（点E在点F的左边）时，直线与y轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点Q在直线上，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据实数比较大小的方法，两个负数绝对值大的反而小判断即可，解题关键是明确两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 2. 下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】因为图A是轴对称图形，所以A符合题意； 因为图B不是轴对称图形，所以B不符合题意； 因为图C不是轴对称图形，所以C不符合题意； 因为图D不是轴对称图形，所以D不符合题意． 故选：A． 3. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方运算，根据以上知识逐一计算判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 4. 将的三角板如图放置．已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和和外角和，平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质定理．通过三角形内角和等于求出，根据外角和性质，可知从而得到度数，再利用平行线的性质得到即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 故选B． 5. 小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是（　　） 年龄（岁） 人数（名） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，13、14岁的人数和为（人）， 则这组数据的中位数为（岁）， 故选：C． 6. 如图，在矩形中，摆放着正方形和正方形（点G在上），延长交于点R．若，则阴影部分矩形的面积等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的乘法的应用．先证明四边形均是矩形，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，摆放着正方形和正方形， ∴， ∴四边形均是矩形， ∴， ∵， ∴正方形的边长为，正方形的边长为， ∴， ∴，， ∴阴影部分矩形的面积等于． 故选：B 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设绳长x尺，井深y尺，根据将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺可得方程，根据将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，点M为边的中点，点N为边上一点，连接，．若平分，且，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，作于，连接，则，由矩形的性质可得，，由角平分线的性质定理可得，再证明和，由全等三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵点M为边的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 甲、乙两人在笔直公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（ ） A. 乙用12分钟追上甲 B. 甲步行的速度为60米/分钟 C. 乙步行的速度为80米/分钟 D. 乙到达终点时，甲离终点还有600米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据函数图象，计算出甲、乙的步行速度，即可判断BC，再计算出乙追上甲用的时间即可判断A，再列式计算出乙到达终点时甲离终点的距离即可判断D，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 甲的步行速度为：米/分钟，故B正确； 乙的步行速度为：米/分钟，故C正确； 乙追上甲用的时间为，故A正确； 乙到达终点时，甲离终点还有米，故D错误； 故选：D． 10. 如图，在中，C为半圆上一点（为的直径），连接，点分别在弦上，连接，将沿折叠，使点C恰好落在圆心O上．若已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由圆周角定理得，再结合折叠性质得，，根据半径相等得，因为，所以，解得，同理，在中，，解得，即可作答． 详解】解：连接 ∵为的直径 ∴， 即， ∵将沿折叠，使点C恰好落在圆心O上． ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，解直角三角形的相关运算，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 实数2的算术平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的概念，掌握概念即可解题． 【详解】解：2的算术平方根为， 故答案为：． 12. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点， ∴线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段，如图所示： 根据图形可知：点的对应点的坐标是． 故答案为：． 13. 如果是关于x的多项式的一个因式，则常数m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是熟练掌握十字相乘法；利用十字相乘法很容易确定的值． 【详解】解：根据题意可得，多项式分解因式后含有因式， ， 则， 故答案为：1． 14. 和为两块大小不同的含角的三角板，在平面直角坐标系内如图所示摆放（点A在y轴的正半轴上），，，反比例函数的图象恰好经过点C．若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质是解题的关键． 过点作轴，垂足为，设，根据含直角三角形的性质，求得，同理求得，继而求得，即点坐标，进而可求值． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ∵， 设， ， ，， ∴， ， 在中，， 在中，， ， ， 故答案为：8． 15. 如图，有一菱形场地，小明给该场地设计了一种花卉种植方案：在对角线上取动点（点E在点F的左边），并修建小路，四条小路围成的阴影区域用来种植某种花卉．已知米，米，且，为使种植该种花卉的费用最低，需阴影区域的面积最小，则的长应为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、定角定高的三角形面积的最值问题，解题关键是构造辅助圆，得出， 作的外接圆，过点作，垂足为，设半径为，即：，由已知证明是等边三角形，得出，进而求出，根据垂线段最短可得，即，由此求出的最小值． 【详解】解：作的外接圆， 连接、、，，过点作，垂足为，设半径为，即：， ∵在菱形中，， ，， ∴ ∵所在直线是菱形的对称轴， ∴，， ∴阴影区域的面积， ∴阴影区域的面积 ∴当最小时，阴影区域的面积最小，种植该种花卉的费用最低． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，阴影区域的面积最小，种植该种花卉的费用最低， 故答案为： ． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 解不等式组，请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解的和． 【答案】，不等式所有整数解的和为0 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，原不等式组的解集为， 该不等式的解集在数轴上可表示为： 该不等式所有整数解的和为：． 17. 如图1，和，点在同一条直线上，已知． （1）求证：； （2）如图2，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）平行四边形，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）由全等三角形性质可得，，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ， ， ∴， 四边形是平行四边形． 18. 定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． （1）判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； （2）小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【答案】（1）分式是分式的“和美分式”，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【小问1详解】 解：分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； 【小问2详解】 设“和美分式”为A， 则， 整理得， ∴ ， ∴的“和美分式”为． 19. 齐风泱泱，淄水汤汤，幸福河湖润泽百姓幸福生活，一座清水润泽之城全面起势．某学校准备组织学生进行周末游河湖研学活动，有孝妇河、齐盛湖、文昌湖、马踏湖4个目的地选择．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小刚根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为________，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“文昌湖”对应的圆心角为________度，若该学校共有学生1000名，请估计参加“文昌湖游河湖研学”的学生有多少人？ （3）研学活动有文艺类的“：现场绘画”和“：：情境写作”及实践类的“：水质调研”和“：植被调研”，共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率． 【答案】（1）20，见解析 （2），350人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，由样本估计总体，求扇形统计图圆心角度数，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据孝妇河的人数和所占比例求出本次抽样调查的总人数，再求出报名马踏湖的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以“文昌湖”所对应的比例即可得出圆心角度数，用乘以“文昌湖”所对应的比例即可得出参加“文昌湖游河湖研学”的学生人数； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人）， 故报名马踏湖的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： ； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“文昌湖”对应的圆心角为， 参加“文昌湖游河湖研学”的学生有：人； 【小问3详解】 解：画树状图可得： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的情况有种， 故某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率为． 20. 如图，直线与双曲线相交于第一象限的两点，连接，过点A作轴于点C，交于点D，已知． （1）设点A的横坐标为m，请直接写出点B的坐标；（用含的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，请求出该双曲线的表达及的面积； （3）在（2）的条件下，请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）9 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据的横坐标为m，可得的横坐标为，可得的横坐标为，从而可得答案； （2）由，的横坐标可得方程组，求解，再进一步利用割补法求解即可； （3）直接根据图象可得关于x的不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵点A的横坐标为m，在双曲线的图象上， ∴， ∵过点A作轴于点C，交于点D， ∴的横坐标为， ∵， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数上， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线与双曲线相交于第一象限的两点， ∴将A的横坐标代入和中， 得，， 将B的横坐标代入和中， 得，， 解方程组， 得， ∴该双曲线的表达为， 该直线的表达为， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 记直线与轴交于，与轴交于， 当，则，当，则， ∴， ∴ ； ∴的面积为9； 小问3详解】 解：根据图象可得：关于x的不等式的解集为： 或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，图象与不等式的关系，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 21. 某校“综合与实践”活动小组在老师的指导下开展了项目式学习活动，下表是活动任务单． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 测量过程与数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角． （注：图中所有点均在同一平面内） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高度，即求线段的长． 【答案】（1）坡面的水平距离和垂直距离分别是和 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点C作于点H，在中，利用正弦定义和余弦定义求解和即可； （2）设，根据已知先得到，，，在中，利用正切定义求得x即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点H， 在中， 得，， ， 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； 【小问2详解】 解：设，由四边形是矩形，得， 所以，， ， 因为，， 所以，， 所以，， 在中， 得，， 所以，， 解得，， 所以，， 答：山的高度为． 22. 【概念呈现】如图1，在中，若是钝角，且，则称为和谐三角形，叫做的和谐角． 【概念理解】 （1）根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，完成下列问题： ①在如图1的和谐三角形中，若是的和谐角，则________； ②若和谐三角形是等腰三角形时，则该和谐三角形的和谐角的度数为________； 【性质探究】 （2）爱探索思考的小强根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念发现：在如图1的和谐三角形中，若是钝角，是的和谐角，则存在的结论，请同样爱探索思考的你证明小强的结论； 【拓展应用】 （3）如图2，是的内接三角形，，点P是边上一点，连接并延长交于点D．问根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，是否存在是和谐三角形？若存在，请直接写出弦的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）①直接根据新定义，进行求解即可；②根据题意，得到为等腰三角形的顶角，根据等边对等角，结合新定义和三角形的内角和定理，得到，进行求解即可； （2）作，交于点，则，，根据新定义结合角的和差关系得到，证明，进而得到，即可得证； （3）分和，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①由题意，得：， ∴； ②由题意，，，， ∴， ∴； （2）作，交于点，则：，， ∵是钝角，是的和谐角， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在； ∵为直径， ∴， ∴， 若是和谐三角形，则为钝角， ①当时，连接，作， 由（2）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； ②当时，连接，作，如图，则：，， ∵， ∴，即：为和谐三角形，为的和谐角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点，经过点B的直线交该抛物线于另一点E． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，当点E与点C重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点D，连接，交直线于点P．设，当t取得最大值时，求点D的坐标及此时t的最大值； （3）如图3，经过点B不同于的另一直线交该抛物线于另一点F．当均为x轴上方抛物线上的两点（点E在点F的左边）时，直线与y轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点Q在直线上，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，即点D的坐标为时，t取得最大值 （3）直线过定点Q的坐标为 【解析】 【分析】（1）将，代入，再建立方程组求解即可； （2）求解直线的表达式为，设点D的坐标为，过点D作轴交于点H，可得点H的坐标为，求解，证明，，进一步可得答案； （3）如图，设点E的坐标为，点F的坐标为，设直线的表达式为，直线的表达式为，求解直线的表达式为，直线的表达式为，可得，设直线的表达式为，求解直线的表达式为，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 得，， 解得，， 所以，抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 将代入中， 得，， 解得，， 所以，直线的表达式为， 设点D的坐标为，过点D作轴交于点H， ∴点H的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即点D的坐标为时，t取得最大值； 【小问3详解】 解：如图，设点E的坐标为，点F的坐标为， 设直线的表达式为，直线的表达式为， 将代入中， 得，， 解得，， ∴直线的表达式为， 将代入中， 得，， 解得，， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入中， 得，， 解得，， ∴直线的表达式为， ∵， ∴， ∴ ∴直线过定点， ∴直线过定点Q的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合，本题的难度大，细心的计算，选择合适的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$