命题大赛 山西省2025-2026学年第二学期高三模拟数学试题二

**基本信息** 高三数学模拟卷注重原创与综合，涵盖复数、函数、立体几何等核心知识，通过原创解三角形面积最值题和双曲线综合题，考查数学思维与创新意识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、向量、函数性质、三角函数图像变换|基础巩固与能力提升结合，如向量模长计算考查数学思维| |填空题|3题/15分|导数切线、排列组合、曲线族新定义|创新应用，如“M族”曲线考查数学眼光| |解答题|5题/77分|数列证明与求和、立体几何轨迹、概率分布、导数应用|综合性强，如原创数列题考查逻辑推理，导数题考查数学语言表达|

2025-2026学第二学期高三年级模拟试题（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 2．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 4．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 6.已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A．31 B．30 C．29 D．28 7.（原创卷）在ABC中，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．抛物线的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B(点A在x轴的下方)两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．已知锐角满足，则（    ） A．角A的取值范围是 B．当时，的面积存在最小值 C．存在使得其边长为三个连续的正整数 D．存在使得其三边长成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12．已知函数，则在处的切线方程为__________． 13．某公园景观道上有如图所示的五个花坛，园艺师傅计划选用一串红、月季、矮牵牛、薰衣草、雏菊和郁金香这六种花卉进行栽种，每个花坛只能栽种一种花卉，要求相邻两个花坛花卉种类不同，其中恰有两个花坛栽种雏菊，则不同的栽种方案种数为__________.（用数字作答） 14．曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(原创卷)已知数列的前项和为，且满足． (1)求证：数列是等比数列． (2)求数列{}的前n项和． 16．如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度． 17．某学校田径队有甲、乙等10名运动员，现将这10人随机平均分成A，B两组进行集训，分组后两组人员固定．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． (1)求甲、乙两人都在组的概率； (2)求甲在两天内至少担任一次组长的概率； (3)记为这两组在连续两天中至少担任一次组长的总人数，求的概率分布列和数学期望． 18．对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”. (1)若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程； (2)在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由； (3)已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：） 19．定义． (1)证明：； (2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由； (3)当时，求最大的整数m，使得存在，对任意，都有不等式成立．（参考数据：，） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学第二学期高三年级模拟试题（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，.所以的虚部是． 2.已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 【答案】A 【详解】由题意得，即， 整理得，所以，解得. 3．已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【【详解】因为定义域均为且，所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即.故选：A. 4．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】的图象向右平移个单位长度， 可得，因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得，因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 5．已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解】根据意题意，若，则渐近线 5．设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ，所以，所以， 因为的面积为，，所以，得， 所以，令得，解得或，即或，或，因为，所以. 6.已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为.故选：C. 7．在中，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】1.设所对的边分别为， 当且仅当时取等号， 即，即， 当且仅当时取等号，设 ，所以，所以面积的最大值为. 快解：由外森比克不等式 ,，故,选A 8．已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【解】函数的定义域为，.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即.所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误； 对B：若，，则，故选项B正确； 对C：若，，则或与相交，故选项C错误； 对D：若，，，则，故选项D正确. 故选：BD. 10．抛物线的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B(点A在x轴的下方)两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【解】延长，交准线于.设，，，则， 故，故，A正确； 设，联立直线与抛物线， 得，， ，故B正确； 若，则，，故C错误； ，， ，故D正确.故选：ABD. 11．已知锐角满足，则（    ） A．角A的取值范围是 B．当时，的面积存在最小值 C．存在使得其边长为三个连续的正整数 D．存在使得其三边长成等比数列 【答案】ACD 【解】对于A，在锐角中，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，由正弦定理得， 当时，，的面积 ， 令，则，求导得 ，显然，函数对递增， 函数对递减，因此函数在上递减，又， 则存在，使得，当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，因此函数在无最小值，B错误； 对于C，由，得，由及余弦定理， 得，整理得，则， 当时，令，方程无解； 当时，令，由， 解得，此时，C正确； 对于D，当时，与矛盾； 当时，，即，而，则， 即，令，函数， 求导得，函数在上单调递增， ，则存在，使得， 因此存在使得其三边长成等比数列，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12．已知函数，则在处的切线方程为__________． 【答案】 【解】，且，则， 则切线方程为，即为．.故答案为：. 13．某公园景观道上有如图所示的五个花坛，园艺师傅计划选用一串红、月季、矮牵牛、薰衣草、雏菊和郁金香这六种花卉进行栽种，每个花坛只能栽种一种花卉，要求相邻两个花坛花卉种类不同，其中恰有两个花坛栽种雏菊，则不同的栽种方案种数为__________.（用数字作答） 【答案】605 【解】要求相邻花坛花卉不同，因此两个雏菊不能相邻.五个花坛中选两个不相邻的位置种雏菊，共有种选法， ①位置：则第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，共种方法； ②位置：则第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，第位不能种雏菊有种，共种方法； ③位置：则第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，共种方法； ④位置：第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊有种，共种方法； ⑤位置：第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，共种方法； ⑥位置：则第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，第位不能种雏菊有种，共种方法. 由分类加法计数原理，不同的栽种方案共有种不同的栽种方案. 14．曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________． 【答案】 【解】设直线的方程为，即，表示圆心为，半径为的圆， 依题意可知圆心到直线的距离，整理得，所以，由于直线与双曲线有交点，所以渐近线的斜率满足恒成立，所以， 所以的离心率，所以的离心率的范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列的前项和为，且满足． (1)求证：数列是等比数列． (2)求数列的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解】（1）由可得， 1分 当时，， 3分 则，则，则， 又，所以， 5分 故数列是公比为，首项为的等比数列． 6分 （2）， 10分 故的前n项和 13分 16．（15分）如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解】（1）在平面内取与点不重合的点， 在此平面内作于， 2分 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，同理， 4分 而平面， 所以平面. 6分 （2） 由平面平面，平面平面， 平面平面，得直线两两垂直， 7分 由，得， 8分 ，令点到平面的距离为，由， 10分 得，则， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 12分 又点E在侧面（含边界）上运动， 因此点的轨迹是球被平面所截小圆在及内部， 此小圆半径，而正的内切圆半径为， 14分 所以点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为. 15分 17．（15分）某学校田径队有甲、乙等10名运动员，现将这10人随机平均分成A，B两组进行集训，分组后两组人员固定．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． (1)求甲、乙两人都在组的概率； (2)求甲在两天内至少担任一次组长的概率； (3)记为这两组在连续两天中至少担任一次组长的总人数，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【解】（1）10名运动员分成A，B两组共有种不同方法． 2分 记事件为“甲、乙两人都在组”，则事件共有种不同方法， 4分 所以. 5分 （2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在两天内至少担任一次组长”， 则． 8分 （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4， 第一天选组长： A组从5人中选1人有种，组从5人中选1人有种，总选法为种， 9分 第二天选组长： 组从5人中选1人有种，组从5人中选1人有种，总选法为种， 10分 对于任一小组，两天选出同一名组长的概率为， 选出不同组长的概率为. 11分 的含义：两天的组长完全相同，即组两天选同一个人，组两天也选同一个人， 所以， 12分 的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人， 所以， 13分 的含义：两天的组长完全不重复，总人数为4，即组两天选不同的人，组两天也选不同的人， 所以， 14分 所以的分布列为 2 3 4 则． 15分 18．（17分）对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”. (1)若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程； (2)在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由； (3)已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：） 【解】（1）由“交换双曲线”的定义可知，即， 1分 所以设双曲线的方程为，又因为过点， 3分 所以，双曲线E的标准方程为：. 4分 （2），设直线的方程为：，设，， 联立可得：， 直线与双曲线E的右支交于B，C两点， 所以，解得：， 5分 又因为， ， 6分 设垂心为，所以直线的方程为：， 又因为，所以直线的方程为：， 联立可得：， 7分 则 因为，所以， ， 因为，所以，所以，又因为在， 所以，所以， 又因为：.故的垂心在双曲线E上. 9分    （3）由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 10分 所以曲线的方程为， 11分 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 13分 因为点P在椭圆W上，所以， 令， 代入可得 ，取，此时等号成立， 15分 且当时，， ， ，满足， 故矩形的面积小于5.20. 17分    19．（17分）定义． (1)证明：； (2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由； (3)当时，求最大的整数m，使得存在，对任意，都有不等式成立．（参考数据：，） 【解】（1）设，则， 2分 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 3分 则，即，则. 4分 （2）当时，， 则， 令，得，即， 6分 由于，则时，，此时方程无实数根，即函数无零点； 当时，，可得方程可化为，即， 设，则， 设，则 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 8分 又，，所以，使得， 当时，；时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则时，在上单调递增， 则，即函数在上单调递减， 9分 又，所以为在上的唯一零点； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 又，则时，， 所以函数在上单调递增，此时，不存在零点， 又，因此，使得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以在上恒成立，此时函数不存在零点； 当时，单调递减，单调递减， 则函数在上单调递减， 又，，即， 所以函数在上存在唯一零点； 10分 当时，，， 则，即在上不存在零点. 综上所述，函数有且仅有2个零点. 12分 （3）当时，， 则，即， 由题意，存在，对任意，都有不等式成立， 题目求最大的整数m，先设，即， 设，，， 则，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 14分 则， 令，则，即，， 则，设， 则， 所以在上单调递减，而，则， 则，而， 因此存在，使得，即， 则时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 16分 则， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 所以， 又时，，则， 则，则整数m的最大值为1. 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学第二学期高三年级模拟试题（二） 双向细目表 考查范围：集合与常用逻辑用语、复数、等式与不等式、数列、三角函数与解三角形、平面向量、 平面解析几何、函数与导数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 考察集合的基本运算。复数的除法运算,求复数的实部与虚部公式法 2 容易 数量积的运算律,向量加法的法则,用定义求向量的数量积 3 容易 函数的基本性质，奇偶性和对称性 4 容易 正切函数的对称中心 5 容易 考查双曲线的基本性质，渐近线和离心率 6 适中 考查二项式系数、各项系数和以及某一项的系数 7 适中 利用这正余弦定理求三角形面积的最大值 8 困难 指数对数函数的同构，解决函数的最值问题 二、多选题 9 适中 空间线面关系、线面判定定理、性质定理的应用 10 适中 抛物线焦点弦的性质以及抛物线定义的应用 11 困难 解三角形综合综合问题 三、填空题 12 容易 利用导数求函数在一点处的切线方程 13 适中 排列组合问题，技数原理的应用 14 困难 直线和圆锥曲线的综合问题，直线和双曲线的位置关系。 四、解答题 15 适中 等比数列的判定以及用列项法或者错位相减法求和 16 适中 证明线面垂直以及面面位置关系 17 适中 概率问题，排列组合解决分组问题。 18 困难 圆锥曲线中的综合问题 19 困难 导数当中的证明问题以及零点问题，恒成立求最值问题，导数的综合问题 学科网（北京）股份有限公司 $