专题04四边形的综合问题七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦四边形综合题七大题型，以题载法构建从概念理解到动态应用的完整逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点四边形|1典例+3变式|中点连线性质与原四边形关系|三角形中位线定理→中点四边形判定| |垂美四边形|1典例+4变式|对角线垂直的性质探究|定义理解→性质证明→实际应用| |筝形|1典例+3变式|邻边相等的四边形性质与判定|定义构建→性质推导→判定应用| |新定义问题|1典例+3变式|“勾股四边形”等概念迁移|新概念抽象→性质探究→拓展应用| |动点存在性|1典例+3变式|动态几何中的最值与存在性|静态性质→动态变化→分类讨论| |坐标系中四边形|1典例+3变式|坐标与图形性质结合|几何性质→代数表达→数形结合| |剪切拼接|1典例+2变式|图形变换与面积转化|空间观念→操作探究→逻辑验证|

专题04 四边形的综合题七类题型 典例详解 类型一、中点四边形 类型二、垂美四边形 类型三、筝形 类型四、新定义的四边形问题 类型五、四边形上动点存在性问题 类型六、坐标系中的四边形 类型七、四边形的剪切拼接问题 压轴专练 类型一、中点四边形 【典例1】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2026·安徽淮南·二模）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．36 【变式1-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【变式1-3】（25-26八年级下·北京·期中）对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为______； ②若线段的长度为，则的最小值为______． 类型二、垂美四边形 【典例2】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【变式2-1】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． (1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形和正方形，这四种图形中是垂美四边形的是______； (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的说法是否正确，并说明理由； (3)问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则______． 【变式2-3】（24-25八年级下·广西贵港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【变式2-4】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 类型三、筝形 【典例3】（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 【变式3-1】（2024·山西晋中·模拟预测）下面是小萱同学的数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 筝形 在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后，我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形，可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形是筝形，其中，    性质：从整体看，筝形是轴对称图形，对称轴是对角线AC所在的直线；从局部看，应从边、角、对角线等角度探究筝形的性质．我发现，筝形有如下性质： 性质1：两组邻边分别相等，即．（由定义可得） 性质2：对角线垂直平分对角线． 性质3：一组对角相等，即． 性质4：筝形的面积等于两条对角线乘积的一半． 判定：与平行四边形类似，筝形的性质与判定也具有互逆关系． 判定1：…… 任务： (1)填空：性质2的证明过程如下． 已知：如图2，四边形是筝形，．    求证：垂直平分． 证明：连接． ∴点A在的垂直平分线上．（依据1： ） ∴点C在的垂直平分线上． ∴垂直平分．（依据2： ） (2)请你借助图3对性质3进行证明．（要求：写出已知、求证和证明过程）    (3)图4的方格纸中每个小正方形的边长都为1，请在方格纸中画出一个顶点都在格点上且面积为6的筝形．    【变式3-2】（23-24八年级下·福建龙岩·阶段检测）小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形． (1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述） (2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）； (3)如图2，在筝形中，P，Q，R，T分别为边的中点．求证：四边形是矩形． 【变式3-3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，这条对角线叫做它的“筝线”． (1)在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有______； (2)在“筝形”中，为它的“筝线”，与对角线相交于点，且． ①如图1，若，点为对角线上一点，且为等腰三角形，求的值； ②如图2，延长至点，使得，连接，为上一点，且，，，求四边形面积的最大值． 类型四、新定义的四边形问题 【典例4】（2026·广东茂名·一模）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【变式4-1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 【变式4-2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 类型五、四边形上动点存在性问题 【典例5】（18-19八年级下·重庆·期中）如图1，把矩形放在平面直角坐标系中，边在轴上，边在轴上，连接，且，过点作平分交于点．动点在线段上运动，过作交于，过作FG//CD交于． （1）当时，在线段上有一动点，轴上有一动点，连接当周长最小时，求周长的最小值及此时点的坐标； （2）如图2，在（1）问的条件下，点是直线上的一个动点，问：在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及对应的点的坐标，若没有，请说明理由． 【变式5-1】（19-20八年级上·福建泉州·阶段检测）我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）DE的长为　 　． （2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；否则，说明理由． 【变式5-2】（23-24八年级下·全国·期末）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（17-18七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别是x轴、y轴上的点，且OA=a，OB=b，其中a、b满足|a﹣20|+（﹣2b+a﹣8）2=0，将点B向左平移16个单位长度得到点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）如图，点M为线段BC上的一个动点，点F在x轴的正半轴上，点E、D在直线BC上，∠FOE=∠MOF，∠MOD=∠BOM．请问当点M运动时，∠DOE的大小是否发生变化？如果变化请说明理由；如果不变，求出其大小； （3）如图2，当点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动时，线段OA上的动点N同时从点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒（0＜t≤10）．是否存在某个时间，使得S四边形NACM＜S四边形BOAC？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 类型六、坐标系中的四边形 【典例6】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图1，点P是y轴正半轴上一动点，点C是x轴正半轴上的动点，过点P作且． (1)若点C的坐标为，点P的坐标为，求点D的坐标． (2)如图2，在（1）的条件下，点A的坐标为，点B的坐标为，连接和过点D作交射线于点E，连接交射线于点F，试求点F的坐标． (3)如图2，连接和，当______时，四边形与四边形的面积比为． 【变式6-1】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴，轴的正半轴上，直线经过线段的中点，与轴交于点，是线段上一点，作点关于直线的对称点，连接，，．设点的坐标为．    (1)写出点B的坐标是______； (2)当时，求点E的坐标； (3)在点E的整个运动过程中， ①当四边形为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为______．（请直接写出答案） 【变式6-2】（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知、、三点，其中a、b，c满足关系式．    (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由？ 【变式6-3】（20-21八年级下·江西南昌·期末）如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）． （1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系 ： （2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H． ①直接写出E、F、G、H四点的坐标； ②证明：四边形EFGH是矩形； ③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是 ． 类型七、四边形的剪切拼接问题 【典例7】（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）情境：图1是由正方形纸片去掉一个以对角线交点O为顶点的等腰直角三角形后得到的．       该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作：小芳将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，小芳沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据小芳的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出所有与线段相等的线段； (2)求的值． (3)探究：小蒋说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照小蒋的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【变式7-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）综合与实践    (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，E、F是边、上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则________； (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为_______； ②证明：四边形为平行四边形． 【变式7-2】（2025·福建厦门·三模）在七年级学习实数时，我们通过裁剪和拼接说明的存在，如图1所示． (1)将五个边长为1的正方形按图2所示的方式摆放成一个矩形，沿图2的虚线裁剪，并按图3进行拼接． ①在图2中，________； ②在图3中，求证：． (2)经历了以上活动，我们猜想：大小不同的两个正方形，也可以通过裁剪拼接成一个大正方形． 如图4，已知正方形和正方形，点在一条直线上，．请你设计一种裁剪拼接方案验证上述猜想． 要求： ①在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用含的式子表示）； ②在图4中画出裁剪线，标出各个裁剪后的图形序号（类似图2）； ③在图5的方框中画出拼接后的大正方形的示意图（标上各个图形的序号，类似图3）． 说明： ①裁剪前和裁剪后拼接地不重叠、无缝隙、无剩余； ②本题将综合考虑“裁剪次数”给分，裁剪次数最少的才能得满分． 1.（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）．王明通过一系列的操作将图1所示的纸片载剪，拼成了钻石型五边形．具体操作如下：首先如图3，王明沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4进行拼接．根据王明的剪拼过程，则图3中，的长为_____． 2.（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 3.（25-26八年级下·吉林松原·期中）【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 4.（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推取，，，的中点，，，，若四边形的面积为，则n的值为_________． 5.（20-21八年级下·辽宁抚顺·期中）阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则把这样的四边形称之为筝形． （1）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．求证：四边形AECF是筝形． （2）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD的面积． 6.（24-25八年级下·江西抚州·期中）定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        7.（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ (1)求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） (2)是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 8.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作，连接交于点，    (1)求当长为何值时，为矩形？ (2)求当长为何值时，菱形？ (3)在点的运动过程中，线段是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 9.（22-23九年级上·陕西西安·阶段检测）问题探究    (1)如图①，在四边形中，，，，，则的面积________． (2)如图②，在中，点A是平面内一动点，且始终满足，，求的最小值． (3)如图③，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：，，，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由 10.（2025·河北保定·一模）嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠无缝隙无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点，沿剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在下图较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线； 探究：图4是由边长为4的正方形和边长为3的正方形拼接而成的，嘉嘉想用裁剪拼接的方法验证勾股定理，发现只要剪两条线就可以将所给图形拼成一个大的正方形． （3）请用虚线在图4中画出裁剪线和拼接后的图形，并直接写出拼接后图形的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形的综合题七类题型 典例详解 类型一、中点四边形 类型二、垂美四边形 类型三、筝形 类型四、新定义的四边形问题 类型五、四边形上动点存在性问题 类型六、坐标系中的四边形 类型七、四边形的剪切拼接问题 压轴专练 类型一、中点四边形 【典例1】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 【变式1-1】（2026·安徽淮南·二模）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．作辅助线，构建四边形，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论． 【详解】解：如图：连接、、、，与相交于点O， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴， ∴， 同理， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴，，， ∴ ； 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【答案】 【分析】连接，，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：如图，连接，， E，F，G，H分别为，，，的中点， ，，，， 四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， 与应满足的条件是． 【变式1-3】（25-26八年级下·北京·期中）对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为______； ②若线段的长度为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】①连接，利用是等腰直角三角形可得，利用三角形中位线可得；②取的中点，连接，当三点共线时，最小，此时，有最小值为：. 【详解】①解：连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴即：， ∵分别为的中点， ∴； ②取的中点，连接， ∵为的中点， ∴， 同理：， ∵，分别为的中点， ∴， ∵四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴在中，， 当三点共线时，最小为， 此时，有最小值为：. 类型二、垂美四边形 【典例2】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)③④ (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求． （2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算． （3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系． （4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算． 【详解】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形． （2）解： ； （3）解：数量关系：，证明如下： 设对角线、交于点， 由勾股定理： ，， ∴； 同理，，， ∴， ∴． （4）解： ∵，分别是，的中点， ∴，，，且． 又∵，四边形是垂美四边形， 由（3）的结论得： ， 代入，，，得 ， 整理得， 解得（边长为正，舍去负根）． 【变式2-1】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】(1)①③ (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． (1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形和正方形，这四种图形中是垂美四边形的是______； (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的说法是否正确，并说明理由； (3)问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则______． 【答案】(1)菱形和正方形 (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等；理解新定义，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，结合垂美四边形的定义，即可求解； （2）根据垂美四边形的定义得出对角线互相垂直，再根据勾股定理进行证明即可； （3）根据正方形的性质证明，得到对应角相等，再证明，得出四边形是垂美四边形，利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴是垂美四边形的是菱形和正方形； （2）解：如图，连接， ∵四边形是垂美四边形， ∴， 由勾股定理得, ， ， ， ∵， ， ∴； （3）解：如图，连接，相交于点，相交于点， ∵四边形和为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， 由勾股定理得,， ， ∴， ∴． 【变式2-3】（24-25八年级下·广西贵港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可得； （2）根据垂直的定义及勾股定理解答即可； （3）证明，得出，证明，得出四边形为垂美四边形，结合（2）的结论计算即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下： 连接、， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂美四边形； （2）证明：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键. 【变式2-4】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】，；【问题解决】（1）13，40；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 类型三、筝形 【典例3】（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 【答案】(1)解：筝形定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．即：四边形中，若，，则四边形为筝形． (2)解：特殊四边形中有筝形，菱形是特殊的筝形．理由如下：菱形的四条边都相等，因此必然满足 “两组邻边分别相等”，所以菱形属于筝形． (3)解：性质 1：筝形的一组对角相等； 证明：如图：连接， 在和中： ， ∴ ∴； 性质 2：筝形的对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线 证明：如图：连接相交于点O， 由， ∴． ∵， ∴， ∴，且平分． 性质 3：筝形是轴对称图形，对称轴为较长的对角线（所在直线） 证明：由性质 2 知，垂直平分，因此将四边形沿折叠，点B与点 D重合，两边完全重合，故筝形是轴对称图形，对称轴为对角线 所在直线． (4)解：判定方法：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．证明如下： 设四边形中，对角线垂直平分，且交点为O． ∵ 垂直平分， ∴，， ∴四边形满足筝形的定义，故为筝形． 【分析】（1）根据题干归纳筝形的定义即可； （2）从特殊的四边形中寻找满足筝形定义的四边形，并证明即可； （3）从角、对角线、对称性三个方面归纳性质，并证明即可； （4）从（3）的性质中寻找筝形的判定方法，并证明即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：略． 【变式3-1】（2024·山西晋中·模拟预测）下面是小萱同学的数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 筝形 在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后，我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形，可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形是筝形，其中，    性质：从整体看，筝形是轴对称图形，对称轴是对角线AC所在的直线；从局部看，应从边、角、对角线等角度探究筝形的性质．我发现，筝形有如下性质： 性质1：两组邻边分别相等，即．（由定义可得） 性质2：对角线垂直平分对角线． 性质3：一组对角相等，即． 性质4：筝形的面积等于两条对角线乘积的一半． 判定：与平行四边形类似，筝形的性质与判定也具有互逆关系． 判定1：…… 任务： (1)填空：性质2的证明过程如下． 已知：如图2，四边形是筝形，．    求证：垂直平分． 证明：连接． ∴点A在的垂直平分线上．（依据1： ） ∴点C在的垂直平分线上． ∴垂直平分．（依据2： ） (2)请你借助图3对性质3进行证明．（要求：写出已知、求证和证明过程）    (3)图4的方格纸中每个小正方形的边长都为1，请在方格纸中画出一个顶点都在格点上且面积为6的筝形．    【答案】(1)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运算相关知识进行推理证明或画图； （1）根据垂直平分线的判定填空即可； （2）连接，证明即可； （3）根据题意，画出对角线是2和6或对角线为3和4的筝形即可． 【详解】（1）解：依据1是与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；依据2是两点确定一条直线； 故答案为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线； （2）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴    （3）解：如图所示，两个筝形就是所求作图形；    【变式3-2】（23-24八年级下·福建龙岩·阶段检测）小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形． (1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述） (2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）； (3)如图2，在筝形中，P，Q，R，T分别为边的中点．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． （1）根据折叠的性质得出答案； （2）先判断出，即可得出结论； （3）利用三角形中位线定理证明即可． 【详解】（1）解：根据观察可得，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 故答案为：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”； （2）解：如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角； ②筝形的一组对角相等； 证明：①由折叠知， ， ，，； 即筝形的一条对角线平分一组对角； ②由折叠知，， ； 即筝形的一组对角相等； （3）证明：连接，． ，， ，， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 垂直平分线段， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【变式3-3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，这条对角线叫做它的“筝线”． (1)在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有______； (2)在“筝形”中，为它的“筝线”，与对角线相交于点，且． ①如图1，若，点为对角线上一点，且为等腰三角形，求的值； ②如图2，延长至点，使得，连接，为上一点，且，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)菱形，正方形 (2)①或；② 【分析】（1）由“筝形”的定义结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质即可得出答案； （2）①由“筝形”的定义得出平分与，证明，得出，求出，设，，则，求出，，，再分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案；②由①可得，，证明四边形为平行四边形，得出，连接，证明四边形为矩形，得出，由勾股定理结合题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”， 在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有菱形，正方形， 故答案为：菱形，正方形； （2）解：①为“筝形”的“筝线”， 平分与， ，， 又， ， ， 又，， ， ， 由，不妨设，， 在中，， 又，， 点，在的垂直平分线上， ，， 在中，， ， 在中，， ， 当时，， ，， ； 当时，设，则， ， 在中，， 即， 解得， ， ； 当时，不合题意， 综上所述，的值为或； ②由①可得，， ， 又，即， ， ， 又， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 连接， 由，， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形， ，， ， 在中，， 由， 有， 即， 化简得， 又， ， 又四边形显然为直角梯形， ， ， 当时，四边形的面积最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 类型四、新定义的四边形问题 【典例4】（2026·广东茂名·一模）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】(1)②③ (2)①见解析；② (3)4 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：根据“勾股四边形”的定义可知矩形和有一个角为直角的任意凸四边形为“勾股四边形”． 故答案为：②③ （2）解：①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”，且， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 【变式4-1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 【答案】（1）菱形、正方形 （2）或 【分析】本题主要考查了四边形中新定义问题、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质与判定，理解新定义以及掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据对角线平分一组对角的性质逐个分析即可解答； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：对角线是“美妙线”或对角线是“美妙线”，证相应的三角形全等，结合，，，即可求出美妙四边形的面积． 【详解】解：（1）根据“美妙四边形”的定义可知，在平行四边形，矩形，菱形，正方形这四个四边形中，其中是“美妙四边形”的是菱形、正方形； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况： ①当对角线是“美妙线”时，如图， 平分和，， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； ②当对角线是“美妙线”时，如图，过点作于点， ，平分， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； 综上所述，美妙四边形的面积为或． 【变式4-2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 【答案】[判断尝试]（1）②④；（2）；[操作探究]；[拓展延伸]见解析；[实践应用] 或或或3 【分析】[判断尝试]（1）根据相关四边形的性质判断即可； （2）连接，根据勾股定理求得结果； [操作探究]连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； [拓展延伸]延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； [实践应用]分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】[判断尝试]解：（1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对补四边形”， 故答案为：②④； （2）如图，连接， 四边形是对补四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； [操作探究]解：在菱形中，，，， ，， ，均为等边三角形， ， ， ，， ， 如图，取的中点，连接， 则， 同理：，， ，， 四边形是“对补四边形”， 为等边三角形， ， 故答案为：； [拓展延伸]证明：如图，延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度运动， ， 四边形是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“对补四边形”； [实践应用]解：①如图，作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ； ②如图，作于，作于， 同上可知，四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， ③如图，作，交于，作于， 则四边形是“对补四边形”， 由上知， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ④如图，以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对补四边形”， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上，等腰三角形的腰长为或或或3． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②是 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）在取折叠时点的对应点，连接，可以证明，，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴， 又∵， ∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 类型五、四边形上动点存在性问题 【典例5】（18-19八年级下·重庆·期中）如图1，把矩形放在平面直角坐标系中，边在轴上，边在轴上，连接，且，过点作平分交于点．动点在线段上运动，过作交于，过作FG//CD交于． （1）当时，在线段上有一动点，轴上有一动点，连接当周长最小时，求周长的最小值及此时点的坐标； （2）如图2，在（1）问的条件下，点是直线上的一个动点，问：在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及对应的点的坐标，若没有，请说明理由． 【答案】（1）周长的最小值为6，N（0,1）；（2）存在，P（，），对应Q（0，）或P（，），对应Q（0，）． 【分析】（1）根据角平分线、平行线以及矩形的性质得出∠EFG=30°，设EG=a，表达出△EFG的面积，求出a的值，进而求出OE的值，连接DE，DF，作点E关于y轴的对称点H，连接DH，证明△CEF≌△CDF（SAS），得到点E与点D关于AC对称，确定周长的最小值为DH，求出点D和点H的坐标，即可求出DH的值，待定系数法求出直线DH的解析式，即可求出点N的坐标； （2）待定系数法求出直线AC的解析式，设点P（p，p+3），①若∠QPE=90°，PQ=PE，过点P作PK⊥y轴于点K，PJ⊥x轴于点J，证明△PKQ≌△PEJ（AAS），得到QK=EJ，PK=PJ，列出方程即可求出p，进而求出P和Q的坐标；②当∠QEP=90°时，EQ=EP，过点P作PR⊥x轴于点R，证明△OQE≌△REP（AAS），得到PR=OE=，OQ=ER，列出方程即可求出p，进而得到P和Q的坐标即可． 【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴∠BCO=90°，BC=OA=3， ∵∠ACO=30°， ∴∠ACB=60°， ∵CD平分∠ACB， 则∠ACD=∠BCD=30°， ∵FG∥CD， ∴∠CFG=∠ACD=30°， ∴∠ACO=∠CFG=30°， ∴CG=FG， ∵EF⊥OC，∠ACO=30°， ∴∠EFC=60°， ∴∠EFG=60°-30°=30°， 设EG=a，则FG=2a， ∴EF=， ∴，即，解得：a=， ∴EF=，FG=CG=， ∴CE=CG+EG=+=2， ∵OA=3，∠AOC=30°， ∴AC=6，OC=， ∴OE=， 连接DE，DF，作点E关于y轴的对称点H，连接DH， ∵∠BCD=30°，BC=3，∠B=90°， 设BD=b，则DC=2b， ∴b2+32=(2b)2，解得：b=，则DC=2， ∴CE=CD， 在△CEF与△CDF中， CE=CD，∠ECF=∠DCF，CF=CF， ∴△CEF≌△CDF（SAS）， ∴EF=DF， ∴CF垂直平分DE， ∴点E与点D关于AC对称， ∴周长的最小值为DH， ∵BD=，AB=OC=3， ∴AD=2，则D（2，3）， 又∵点H（-，0）， ∴DH=， 周长的最小值为6， 设直线DH的解析式为y=kx+t， 将D（2，3），H（-，0）代入得：， 解得：k=，t=1， ∴y=x+1， 当x=0时，y=1， ∴N（0,1） （2）存在， 设直线AC为y=mx+n，将点A（0,3），C（3，0）代入得： ，解得m=，n=3， ∴y=x+3， 设点P（p，p+3）， ①若∠QPE=90°，PQ=PE， 如图①，过点P作PK⊥y轴于点K，PJ⊥x轴于点J， ∵∠KOJ=∠PKO=∠PJO=90°， ∴∠KPJ=90°， ∵∠QPK+∠KPE=∠JPE+∠KPE=90°， ∴∠QPK=∠EPJ， 又∵PQ=PE，∠PKQ=∠PJE=90°， ∴△PKQ≌△PEJ（AAS）， ∴QK=EJ，PK=PJ， 即p=p+3，解得：p=， ∴P（，） ∴QK=EJ=-=， ∴OQ=OK+QK=+=， ∴Q（0，）； ②当∠QEP=90°时，EQ=EP， 如图②，过点P作PR⊥x轴于点R， ∵∠QEP=90°，∠QOE=90°， ∴∠OQE+∠QEO=90°，∠QEO+∠PER=90°， ∴∠OQE=∠PER， 在△OQE与△REP中， ∠QOE=∠ERP=90°，∠OQE=∠PER，QE=EP， ∴△OQE≌△REP（AAS）， ∴PR=OE=，OQ=ER， 即p+3=，解得p=， ∴P（，）， ∴OQ=ER=-=， ∴Q（0，） 综上所述，P（，），对应Q（0，）或P（，），对应Q（0，）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称求最短周长以及待定系数法求一次函数的解析式等知识点，题（1）的解题关键是通过轴对称确定周长的最小值为DH；题（2）的解题关键是分类讨论，作出图形及辅助线． 【变式5-1】（19-20八年级上·福建泉州·阶段检测）我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）DE的长为　 　． （2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；否则，说明理由． 【答案】（1）5  （2）3秒或13秒  （3）t＝3秒或4秒或秒 【分析】（1）根据题意可得：CD＝4，根据勾股定理可求DE的长； （2）若△ABP与△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根据时间路程的关系可求r的值； （3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三种情况讨论，可求t的值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC 在Rt△DCE中，DE＝＝＝5 故答案为 5． （2）若△ABP与△DCE全等 ∴BP＝CE或AP＝CE 当BP＝CE＝3时，则t＝＝3秒 当AP＝CE＝3时，则t＝＝13秒 ∴求当t为3秒或13秒时，△ABP和△DCE全等． （3）若△PDE为等腰三角形 则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE 当PD＝DE时， ∵PD＝DE，DC⊥BE ∴PC＝CE＝3 ∵BP＝BC﹣CP＝3 ∴t＝＝3 当PE＝DE＝5时， ∵BP＝BE﹣PE ∴BP＝9﹣5＝4 ∴t＝＝4 当PD＝PE时， ∴PE＝PC+CE＝3+PC ∴PD＝3+PC 在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2． ∴（3+PC）2＝16+PC2 ∴PC＝ ∵BP＝BC﹣PC ∴BP＝ ∴t＝＝ 综上所述：当t＝3秒或4秒或秒时，△PDE为等腰三角形． 【点睛】本题考查了四边形综合题，等腰三角形的性质，利用分类思想解决问题是本题的关键 【变式5-2】（23-24八年级下·全国·期末）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，图见解析，矩形的面积为12， 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等和已知点的坐标求得点的坐标即可； （2）首先求得直线的解析式，然后得到直线的解析式，联立后即可求得交点的坐标； （3）分别过点、作于点，于点，过、分别作轴和的垂线，垂足分别为、，利用四边形是平行四边形，得到，从而得到四边形是矩形，且与平行四边形面积相等，从而求得矩形的面积为12，求得线段和线段后即可求得点的坐标，同理即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 、， ； （2）解：如图②，设所在的直线的解析式为， 直线经过点、， ， 解得： 所在直线的解析式为， 由于直线过原点， 设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程 解得：， 即的坐标是； （3）解：存在这样的、，使得四边形是矩形． 分别过点、作于点，于点，过、分别作轴的垂线和的垂线，垂足分别为、， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形，且与平行四边形面积相等， 平行四边形的面积为， 矩形的面积为12，即， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，，， ，，     ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 【点睛】此题主要考查四边形的综合知识、勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握知识点及应用是解题的关键． 【变式5-3】（17-18七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别是x轴、y轴上的点，且OA=a，OB=b，其中a、b满足|a﹣20|+（﹣2b+a﹣8）2=0，将点B向左平移16个单位长度得到点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）如图，点M为线段BC上的一个动点，点F在x轴的正半轴上，点E、D在直线BC上，∠FOE=∠MOF，∠MOD=∠BOM．请问当点M运动时，∠DOE的大小是否发生变化？如果变化请说明理由；如果不变，求出其大小； （3）如图2，当点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动时，线段OA上的动点N同时从点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒（0＜t≤10）．是否存在某个时间，使得S四边形NACM＜S四边形BOAC？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）A（﹣20，0），B（0，6），C（﹣16，6）．（2）30°．（3）0＜t＜2. 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b即可解决问题； （2）根据∠DOE=∠MOE﹣∠MOD=∠MOF﹣∠BOM=（∠MOF﹣∠BOM）计算机可解决问题； （3）利用梯形的面积公式，构建不等式即可解决问题. 【详解】（1）∵|a﹣20|+（﹣2b+a﹣8）2=0， 又|a﹣20|≥0，（﹣2b+a﹣8）2≥0， ∴a﹣20=0，﹣2b+a﹣8=0， ∴a=20，b=6， ∴A（﹣20，0），B（0，6）， ∵将点B向左平移16个单位长度得到点C． ∴C（﹣16，6）． （2）结论：∠DOE的大小不变．理由如下： 如图1中， ∵∠FOE=∠MOF， ∴∠MOE=∠MOF， ∵∠MOD=∠BOM， ∴∠DOE=∠MOE﹣∠MOD=∠MOF﹣∠BOM=（∠MOF﹣∠BOM）=×90°=30°． （3）如图2中， 由题意：BM=t，CM=16﹣t，AN=2t， ∵S四边形NACM＜S四边形BOAC， ∴， 解得t＜2， ∴当0＜t＜2时，S四边形NACM＜S四边形BOAC． 【点睛】本题考查四边形综合题、非负数的性质、梯形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数根据不等式解决问题，属于中考压轴题． 类型六、坐标系中的四边形 【典例6】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图1，点P是y轴正半轴上一动点，点C是x轴正半轴上的动点，过点P作且． (1)若点C的坐标为，点P的坐标为，求点D的坐标． (2)如图2，在（1）的条件下，点A的坐标为，点B的坐标为，连接和过点D作交射线于点E，连接交射线于点F，试求点F的坐标． (3)如图2，连接和，当______时，四边形与四边形的面积比为． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点D作轴，利用全等三角形的判定得出，再由其性质得出，即可求解； （2）根据点B的坐标得出直线所在的直线解析式为，然后即可确定，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，利用其性质即可求解； （3）过点D作轴，延长交x轴于点H，设，，由（1）得，，由（2）得，分别表示出两个四边形的面积，然后解方程即可． 【详解】（1）解：过点D作轴，如图所示： ∴，， ∵点C的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （2）∵点B的坐标为， ∴直线所在的直线解析式为， 由（1）得点D的坐标为， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴点F为线段的中点， ∵D的坐标为，点C的坐标为， ∴即 （3）过点D作轴，延长交x轴于点H， 设，， 由（1）得，， 由（2）得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； 四边形的面积为； ∵四边形与四边形的面积比为， ∴， 整理得：， 令， ∴方程整理为， 解得：或， 即或， ∴ 或， 故答案为：或． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定及一元二次方程的应用，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 【变式6-1】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴，轴的正半轴上，直线经过线段的中点，与轴交于点，是线段上一点，作点关于直线的对称点，连接，，．设点的坐标为．    (1)写出点B的坐标是______； (2)当时，求点E的坐标； (3)在点E的整个运动过程中， ①当四边形为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为______．（请直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）求出直线与x、y轴的交点，即可求出点A的坐标，进而求解； （2）根据折叠的性质和已知条件可得，然后根据图形的面积构建方程求解即可； （3）①根据菱形的性质得出，，判断出在的延长线上，由列出等式，求解即可； ②当，，，四点构成的四边形为矩形时，，则该矩形为正方形，为直角，过点作轴的平行线交的延长线于点，证明，推出点、重合，则点在轴上，则，即可表示出点的坐标，由列出等量关系求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则，令，则，解得， 故点、的坐标分别为、， ∵D为的中点， ∴点，即正方形的边长为4，故点； （2）由折叠的性质可得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为；    （3）①若四边形为菱形，则． 轴，即在的延长线上， 根据菱形的性质知：， 点的坐标为， ，， ， 解得：， ； ②如图，当，，，四点构成的四边形为矩形时， ， ∴该矩形为正方形，为直角， 过点作轴的平行线交的延长线于点，    ，， ， ，， ， ，， 故点、重合，则点在轴上，且， ∴点， ， ， 解得：， 此外，点与点重合时，与重合，在原点，此时满足矩形，显然符合，即， 但点与点重合时，与明显不关于直线对称，故舍去， 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、正方形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等，熟练掌握一次函数以及特殊四边形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式6-2】（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知、、三点，其中a、b，c满足关系式．    (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)，， (2) (3)存在点使 【分析】（1）用非负数的性质求解； （2）把四边形的面积看成两个三角形面积和，用来表示； （3）先求出的面积，根据题意，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：， ， ， 即； （3）解：， ， 则， 存在点使． 【点睛】本题考查了四边形综合题，属于掌握非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，解决本题的关键是根据非负数的性质求出，，． 【变式6-3】（20-21八年级下·江西南昌·期末）如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）． （1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系 ： （2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H． ①直接写出E、F、G、H四点的坐标； ②证明：四边形EFGH是矩形； ③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是 ． 【答案】（1）a=b=-c=-d；（2）①E（，），F（，），G（，），H（，）；②见解析；③ac=bd 【分析】（1）由正方形的性质得，则； （2）①由中点坐标公式即可求解； ②由三角形中位线定理得，，，，则，，得四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； ③由正方形的性质得，则，即可得出结论 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ； （2）①解：，，，，、、、的中点分别为、、、， ，，，，，，，； ②证明：、为、的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 平行四边形是矩形； ③解：由①得：，，，，，，，， 矩形是正方形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和坐标与图形性质，求出、、、的坐标也是解题的关键． 类型七、四边形的剪切拼接问题 【典例7】（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）情境：图1是由正方形纸片去掉一个以对角线交点O为顶点的等腰直角三角形后得到的．       该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作：小芳将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，小芳沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据小芳的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出所有与线段相等的线段； (2)求的值． (3)探究：小蒋说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照小蒋的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)见解析，的长为或 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）过作于K，结合题意可得：四边形为矩形，先证明为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形， 设，，，求出，则，解得，继而求出，， ，即可解答； （2）由（1）得，，，即可求出的值； （3）①以B为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，②以C圆心，为半径画弧，交于P，交于Q，则直线为分割线，逐一分析求解即可． 【详解】（1）如图，过作于K， 结合题意可得：四边形为矩形， ， 由拼接可得：，， 由正方形的性质可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴对角线的长为， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （2）由（1）得， ，， ∴； （3）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，①以B为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，符合要求， ②以C为圆心，为半径画弧，交于P，交于Q，则直线为分割线， 此时， ∴， 综上：的长为或． 【变式7-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）综合与实践    (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，E、F是边、上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则________； (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为_______； ②证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)①1  ②证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质等． （1）观察可得：； （2）①观察可得：，即可得出比值； ②由题意得，E、F、G、H是，，，的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空处．证明，，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）①解：观察可得：， ∴与的比值为1， 故答案为：1； ②证明：由题意得，E、F、G、H是，，，的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空处，    则，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴K，Q，L三点共线，同理K，P，J三点共线， 由操作得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【变式7-2】（2025·福建厦门·三模）在七年级学习实数时，我们通过裁剪和拼接说明的存在，如图1所示． (1)将五个边长为1的正方形按图2所示的方式摆放成一个矩形，沿图2的虚线裁剪，并按图3进行拼接． ①在图2中，________； ②在图3中，求证：． (2)经历了以上活动，我们猜想：大小不同的两个正方形，也可以通过裁剪拼接成一个大正方形． 如图4，已知正方形和正方形，点在一条直线上，．请你设计一种裁剪拼接方案验证上述猜想． 要求： ①在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用含的式子表示）； ②在图4中画出裁剪线，标出各个裁剪后的图形序号（类似图2）； ③在图5的方框中画出拼接后的大正方形的示意图（标上各个图形的序号，类似图3）． 说明： ①裁剪前和裁剪后拼接地不重叠、无缝隙、无剩余； ②本题将综合考虑“裁剪次数”给分，裁剪次数最少的才能得满分． 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①由题意可得：，根据勾股定理即可求解； ②根据题意证明，得到，进一步得到，即可得出结论； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：， ∴， 故答案为：； ②， ． 又， ， ， ， ， ； （2）解：方法一，如图： 方法二，如图： 1.（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）．王明通过一系列的操作将图1所示的纸片载剪，拼成了钻石型五边形．具体操作如下：首先如图3，王明沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4进行拼接．根据王明的剪拼过程，则图3中，的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． 如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； 【详解】解：如图，过点D作交延长线于， 过中点作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 2.（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1），；（2）；（3）①四边形是垂美四边形；理由见解析；②． 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式即可求解； （3）①先证明可得，再根据三角形内角和定理列式整理可得，然后根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）在和中，根据勾股定理得：，， ，， ∴． 故答案为：． （3）①如图2：四边形是垂美四边形；理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形． ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义并灵活运用勾股定理是解题的关键． 3.（25-26八年级下·吉林松原·期中）【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，菱形，矩形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 (4)四边形是同形中点四边形．见解析 【分析】（1）连接，根据中位线的性质得出，．即可证明四边形是平行四边形． （2）根据平行四边形的判定，菱形、矩形的判定，结合中位线的性质，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． （4）连接，，根据正方形的性质结合中位线的性质得出，，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． （2）解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； （3）解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． （4）解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 4.（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推取，，，的中点，，，，若四边形的面积为，则n的值为_________． 【答案】 【分析】根据中点四边形为平行四边形（特殊的平行四边形），以及中点四边形的面积为原四边形的面积的一半，推出的面积为，进行求解即可. 【详解】解：∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴，，， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形 ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形； ∴矩形的面积， 同理，是菱形； 则的面积， 的面积， 的面积， 故的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 即， 解得. 5.（20-21八年级下·辽宁抚顺·期中）阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则把这样的四边形称之为筝形． （1）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．求证：四边形AECF是筝形． （2）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）筝形ABCD的面积为408． 【分析】（1）先判断出∠AEB＝∠AFD在得到△AEB≌△AFD（AAS）然后判断出平行四边形ABCD是菱形即可； （2）先判断出△ABC≌△ADC．得到S△ABC＝S△ADC．利用勾股定理BH2＝AB2﹣AH2＝262﹣AH2，BH2＝CB2﹣CH2＝252﹣（17﹣AH）2，即可求出AH，再根据面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC+∠AEB＝∠AFC+∠AFD＝180°， ∴∠AEB＝∠AFD， ∵AE＝AF， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AB＝AD，BE＝DF， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC， ∴EC＝FC， ∴四边形AECF是筝形． （2）如图∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴S△ABC＝S△ADC， 过点B作BH⊥AC，垂足为H， 在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝262﹣AH2， 在Rt△CBH中，BH2＝CB2﹣CH2＝252﹣（17﹣AH）2， ∴262﹣AH2＝252﹣（17﹣AH）2， ∴AH＝10， ∴BH＝＝24， ∴S△ABC＝×17×24＝204． ∴筝形ABCD的面积＝2S△ABC＝408． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是理解筝形的定义． 6.（24-25八年级下·江西抚州·期中）定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        【答案】（1）①；（2）见解析；（3）15 【分析】（1）根据余缺四边形的定义，结合折叠的思想去思考拼图解答即可； （2）根据的平分线这一条件，判定以满足了一个条件，只需证明或即可； （3）根据勾股定理，三角形全等解答即可． 【详解】（1）解：②两个全等的等边三角形为成的四边形是菱形，而菱形的对角是相等的，故拼不成余缺四边形； ①将直角三角形沿着斜边折叠，得到四边形符合余缺四边形的条件， 故答案为：①． （2）证明：如图3， ∵的平分线，是四边形的一个内角， ∴对角线平分四边形其中一个内角成立； 过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为余缺四边形． （3）解：如图3，过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴，， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴， 根据勾股定理，得 ， ∵， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了新定义问题，线段的垂直平分线性质，角的平分线性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 7.（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ (1)求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） (2)是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)2.25或7 【分析】（1）过点D作于H，直接根据勾股定理即可求解； （2）根据比较发现：，从而确定当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，然后列方程求解即可； （3）分①当P在上；②当P在上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于H， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ； （2）解：存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，如图2，连接， 根据题意， ∴ 根据题意，得 解得， 即当时，线段把四边形分成面积相等的两部分； （3）解：存在某一时刻t，使恰好是直角三角形 ∵ ∴ ∴为直角三角形有两种情况： 当P在上，且时，如图3，连接， 在中， 在中， 在中，， ∴ 即 解得： 当P在上，且时， ∴ 即 整理得 此方程无实数根； 当P在上，且时，如图4，点P与点H重合，， ∴， 解得， 综上所述，当t的值为2.25或7时，恰好是直角三角形． 【点睛】本题主要考查几何动点问题，涉及矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的定义以及分类讨论思想等，属于中考压轴题，难度比较大，解题的关键是考虑问题要全面． 8.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作，连接交于点，    (1)求当长为何值时，为矩形？ (2)求当长为何值时，菱形？ (3)在点的运动过程中，线段是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3； (2)6； (3)的最小值． 【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，据此求出即可； （2）当时，，此时平行四边形是菱形； （3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值． 【详解】（1）当时，平行四边形是矩形， ，， ， ，， ； （2）当时，，此时平行四边形是菱形， ，，， ， ； （3）如图，设与交于点，作于．   在中，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 当与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，没联系的判定，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9.（22-23九年级上·陕西西安·阶段检测）问题探究    (1)如图①，在四边形中，，，，，则的面积________． (2)如图②，在中，点A是平面内一动点，且始终满足，，求的最小值． (3)如图③，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接，使得将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望的和最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：，，，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（1）根据两个三角形同底等高求出的面积即可； （2）过点作，作点关于的对称点，连接交于点，最小，再利用勾股定理求出最小值； （3）连接，，取的中点，连接，，作，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则此时的值最小，且折线、把四边形的面积分成相等的两部分，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴点和点到的距离相等， ∴， 故答案为：； （2）过点作，作点关于的对称点，连接交于点，如下图：    ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为； （3）连接，，取的中点，连接，，作，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如下图：    则此时的值最小，且折线、把四边形的面积分成相等的两部分， 理由：∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，，，， 设直线的解析式为，代入，可得 ，解得 ∴直线的解析式为：， ∵ 设直线：，将点代入得： 解得： ∴的解析式为： ∵关于直线对称，设 ∴，且的中点在直线上， 则，解得或（舍去） ∴ 设直线的解析式为，将，代入可得： 解得 则直线的解析式为： 由，解得 ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了轴对称最短问题，平行线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 10.（2025·河北保定·一模）嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠无缝隙无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点，沿剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在下图较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线； 探究：图4是由边长为4的正方形和边长为3的正方形拼接而成的，嘉嘉想用裁剪拼接的方法验证勾股定理，发现只要剪两条线就可以将所给图形拼成一个大的正方形． （3）请用虚线在图4中画出裁剪线和拼接后的图形，并直接写出拼接后图形的周长． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析，拼接后图形的周长为20 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质即可得到答案； （2）利用勾股定理画图，即可得到答案； （3）利用勾股定理画图，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意得， 故答案为：； （2）如图所示，即为所求； （3）如图， 拼接后的正方形的边长为， 拼接后图形的周长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $