专题04平行四边形的判定与构造八类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题04 平行四边形的判定与构造八类题型 典例详解 类型一、一组对边平行且相等判定平行四边形 类型二、对角线互相平分判定平行四边形 类型三、两组对边互相平行判定平行四边形 类型四、两组对边相等判定平行四边形 类型五、构造平行四边形证明线段互相平分 类型六、构造平行四边形证明线段的和差 类型七、构造平行四边形证明线段不等关系或最值 类型八、构造平行四边形进行巧算 压轴专练 类型一、一组对边平行且相等判定平行四边形 【典例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在矩形中，和相交于点O，，垂足为E，，垂足为F，连接和． (1)若，，求的长； (2)求证：四边形为平行四边形． 【变式1-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知和均为等边三角形，F、D分别在、上，，，连接、． (1)求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 类型二、对角线互相平分判定平行四边形 【典例2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积及点到线段的距离． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别在上，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，已知：在平行四边形中，．求证：四边形是一个平行四边形． 【变式2-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 类型三、两组对边互相平行判定平行四边形 【典例3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 【变式3-1】（21-22八年级上·山东济南·期末）如图，已知是等边三角形，D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F，使，连接、和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【变式3-2】（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，求的度数． 【变式3-3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 类型四、两组对边相等判定平行四边形 【典例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式4-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，分别以的三边为边在的同侧作三个等边三角形，，．当点，，不共线时，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式4-2】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 类型五、构造平行四边形证明线段互相平分 【典例5】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【变式5-1】（24-25九年级下·河北保定·月考）已知：互不重合的点、、、按图中顺序依次在同一条直线上，且，，，为锐角． (1)求证：； (2)连接、，若，求证：与互相平分 【变式5-2】（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，点E、F、G、H分别在上，且，．求证：互相平分． 【变式5-3】（21-22八年级下·河南南阳·期中）如图，点B，E，F，D在同一条直线上，，交于点O，． (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 类型六、构造平行四边形证明线段的和差 【典例6】（24-25八年级下·河南新乡·月考）如图，在四边形中，E为上一点，F为的延长线上一点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若为的中点，．求证：． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图1，四边形中，，为上一点，，，； (1)已知，，求； (2)如图2，为上一点，，连接交于，过作于，． ①求证：． ②求证：． 【变式6-2】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由： （1）如图1，求证：AD∥BC； （2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE； （3）如图3，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF． 【变式6-3】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：． 类型七、构造平行四边形证明线段不等关系或最值 【典例7】（2023·重庆·模拟预测）已知在中，．    (1)如图1，在的延长线上取点D，连接，在上取点E，连接交于点P，．求证：； (2)如图2，点D在上，连接，G为的中点，连接，，，的中垂线交于点E，连接并延长交于点F．求证：； (3)如图3，过点A作的平行线，连接，，过点A作于点E．求证：． 【变式7-1】（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，在等腰中，，点在线段上，点在直线上，把线段绕点顺时针旋转至，连接． (1)如图1，连接，若，点为中点，，，求的面积． (2)如图2，若，延长交于点，连接并延长至点，连接、，，，，且，求证：． (3)如图3，若，，，连接，，点、分别是、上的动点，且，连接、，直接写出的最小值． 【变式7-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）在中是平面内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点在边上时，与的位置关系为_________；数量关系为_________； (2)如图2，当点不在边上时三点不共线），判断（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，写出正确结论，并说明理由； (3)连接，若，的最大值为_________． 【变式7-3】（2026·四川达州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颖发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小颖尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；； 【拓展延伸】 (3)李老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 类型八、构造平行四边形进行巧算 【典例8】（21-22八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等边中，D，E分别为边上的点，． (1)如图1，若点在边上，求证：； (2)如图2，连．若，求证：； (3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）． 【变式8-1】（23-24八年级上·湖北武汉·月考）如图，，的延长线交于H．    (1)求证：； (2)求证：点H是的中点； (3)若，求． 【变式8-2】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线，交于点，交于点．若，且，求证：四边形为平行四边形． 3.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 4.（21-22八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知、分别为▱的对边、上的点，且，于，于，交于点，求证：与互相平分． 5.（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，平分，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 6.（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 7.（25-26九年级上·河南信阳·月考）综合实践：数学活动课上，老师让同学们以“直角三角板的旋转”为主题进行探究活动：用两个大小不同的等腰直角三角板，按如图1所示的方式放置．中，，，中，，，延长至，使得，连接． (1)如图2，将旋转至点落在边上时，延长交于点，易证和平行且相等，从而可以证明：和的数量关系为___________，位置关系为___________． (2)当旋转至图1所示位置时（1）中的结论还成立吗？若成立请给出证明，若不成立请说明理由； (3)已知，当旋转至时，请直接写出的长___________． 8.（25-26九年级上·重庆永川·期中）在中，把线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，连接．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，F是的中点，连接并延长至点G，使得，连接、，求证：； 9.（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图1，在中，延长边至点，使，已知点是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点，连接，，，． (1)求证：； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转，点恰好与点重合，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，将线段绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，连接，，其中交于点．若，，，，则的长为______． 10.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． (1)当点为中点时，线段________； (2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行四边形的判定与构造八类题型 典例详解 类型一、一组对边平行且相等判定平行四边形 类型二、对角线互相平分判定平行四边形 类型三、两组对边互相平行判定平行四边形 类型四、两组对边相等判定平行四边形 类型五、构造平行四边形证明线段互相平分 类型六、构造平行四边形证明线段的和差 类型七、构造平行四边形证明线段不等关系或最值 类型八、构造平行四边形进行巧算 压轴专练 类型一、一组对边平行且相等判定平行四边形 【典例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换得出，结合平行四边形的判定即可证明； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ∵E是的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在矩形中，和相交于点O，，垂足为E，，垂足为F，连接和． (1)若，，求的长； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由矩形的性质求出，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）由矩形的性质得出，证明，再由全等三角形的性质得出，由，得出，由平行四边形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 在中，． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵，， ∴， 在和中， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【变式1-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知和均为等边三角形，F、D分别在、上，，，连接、． (1)求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，，求出，证明，得出，根据三角形外角的性质得出答案即可； （2）连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，，从而证明，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ，即， ∵， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得到，由得到，从而根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得到，，得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 类型二、对角线互相平分判定平行四边形 【典例2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积及点到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2)120； 【分析】（1）在中，可求得，得出，结合可判定四边形为平行四边形； （2）根据求面积即可，设点到线段的距离为h，先根据勾股定理求出，再利用平行四边形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ∵， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形，，，且， ． 设点到线段的距离为h， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即点到线段的距离为． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别在上，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明； （2）可证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，已知：在平行四边形中，．求证：四边形是一个平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的综合应用，解题的关键是利用平行四边形的性质结合已知条件，通过对角线互相平分来判定四边形为平行四边形． 先利用平行四边形 的性质，得到对角线互相平分，即 ，；再结合已知 ，推出 ；最后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形 是平行四边形． 【详解】证明：连接与交于点O． ∵ 四边形 是平行四边形， ∴，（平行四边形的对角线互相平分）． ∵， ∴， 即 ． 又 ∵， ∴ 四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【变式2-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，等量代换思想求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型三、两组对边互相平行判定平行四边形 【典例3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）延长交于，由（1）可知，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：延长交于，连接，如图， 由（1）可知，，，， 四边形是平行四边形， ， 则， ， ， ， ， ， 即椅子最高点A到地面的距离是． 【变式3-1】（21-22八年级上·山东济南·期末）如图，已知是等边三角形，D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F，使，连接、和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，再证明为等边三角形，得出，，最后证明，即可得证； （2）根据等边三角形的判定与性质，并结合平行四边形的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）可得：，， ∴， ∴为等边三角形， 由（1）可得：、均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【变式3-2】（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线可得，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ， 的平分线交于点E， ， ， ． 【变式3-3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 类型四、两组对边相等判定平行四边形 【典例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）分别用证明，得到四边形的两组对边分别相等即可． （2）由是等边三角形可得，在中，，可得，由是等边三角形可得，由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， 在中，． 【变式4-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，分别以的三边为边在的同侧作三个等边三角形，，．当点，，不共线时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握利用等边三角形的边、角性质寻找全等条件，进而推导出四边形对边相等是解题的关键． 要判断四边形的形状，可通过证明两组对边分别相等来判定平行四边形，利用等边三角形的性质，找到全等三角形的条件，从而推导出对边相等． 【详解】解：四边形是平行四边形．理由如下： ，都是等边三角形， ，，． ，， ． 在和中， ， ． 是等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形为平行四边形． 【变式4-2】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键． 类型五、构造平行四边形证明线段互相平分 【典例5】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 【变式5-1】（24-25九年级下·河北保定·月考）已知：互不重合的点、、、按图中顺序依次在同一条直线上，且，，，为锐角． (1)求证：； (2)连接、，若，求证：与互相平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． （1）由可得，再利用即可证得； （2）连接，，，只要证得四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明： ， ，即， ，， ； （2）证明：如图，连接，，， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【变式5-2】（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，点E、F、G、H分别在上，且，．求证：互相平分． 【答案】见解析 【分析】连接，由平行四边形的性质可知，．结合题意易得出，进而可证，得出．同理可证．即得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质即得出、互相平分． 【详解】证明：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴． 同理可证． ∴四边形是平行四边形， ∴、互相平分． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式5-3】（21-22八年级下·河南南阳·期中）如图，点B，E，F，D在同一条直线上，，交于点O，． (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）如图所示，连接，通过证明，得到，则四边形是平行四边形，由此即可证明与互相平分； （2）由平行四边形的性质得到，求出，进而得到，利用勾股定理求出，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 类型六、构造平行四边形证明线段的和差 【典例6】（24-25八年级下·河南新乡·月考）如图，在四边形中，E为上一点，F为的延长线上一点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若为的中点，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质. （1）先证明，进而利用证明，进而可得，进而证明，进而可得，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）延长交于点，作于点，根据中点+平行模型证明，再由三线合一证明，由平行四边形的判定和性质证明得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：，     ，即． 又， ， ． ， ， ， ． ， 四边形为平行四边形； （2）延长交于点，作于点， 四边形为平行四边形， ， ． 为的中点，， ， ． ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ． ， ∴ ． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图1，四边形中，，为上一点，，，； (1)已知，，求； (2)如图2，为上一点，，连接交于，过作于，． ①求证：． ②求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由勾股定理得出，由证得，得出，则，由等腰直角三角形的性质即可得出结果； （2）①连接，易证，，得出四边形是平行四边形，则，，得出，，由，得出，推出，证得是等腰直角三角形，则；②根据是等腰直角三角形，推出，，，则，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）①连接，如图2所示： ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． ； ②是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、含角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 【变式6-2】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由： （1）如图1，求证：AD∥BC； （2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE； （3）如图3，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的判定可得； （2）利用等边三角形的性质判断△DAC≌△BAE即可得； （3）过点D作DG∥AE交AB于点G，连接DG，利用等边三角形的性质证明△DBG≌△ABC，得到DG＝AC，得到四边形AEGD为平行四边形，进而可证． 【详解】证明：（1）∵△ADB为等边三角形， ∴∠DAB＝60°＝∠ABC， ∴AD∥BC， （2）∵△ADB和△ACE为等边三角形， ∴AC＝AE，AD＝AB，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC＝BE， （3）过点D作DG∥AE交AB于点G，连接EG， 则∠GAE＝∠DGA， ∵△ADB和△ACE为等边三角形， ∴AB＝BD，AC＝AE，∠DBA＝∠ABC＝∠CAE＝60°， ∵∠GAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+∠BAC， ∠DGA＝∠DBA+∠BDG＝60°+∠BDG， ∴∠BAC＝∠BDG， 在△DBG和△ABC中， ， ∴△DBG≌△ABC（ASA） ∴DG＝AC， ∴四边形AEGD为平行四边形， ∴DF＝FE． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，解题时过点D作DG∥AE，根据等边三角形的性质得到△DBG≌△ABC是解题关键． 【变式6-3】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，证明，进而可求的度数； （2）如图1，连接，则，由，可得，由，可得，证明，证明四边形是平行四边形，进而结论得证； （3）如图2，延长至点H，使，证明，则，，，证明，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵是由线段绕点D顺时针旋转得到的， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：如图1，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与相互平分； （3）证明：如图2，延长至点H，使，    ∵N是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 类型七、构造平行四边形证明线段不等关系或最值 【典例7】（2023·重庆·模拟预测）已知在中，．    (1)如图1，在的延长线上取点D，连接，在上取点E，连接交于点P，．求证：； (2)如图2，点D在上，连接，G为的中点，连接，，，的中垂线交于点E，连接并延长交于点F．求证：； (3)如图3，过点A作的平行线，连接，，过点A作于点E．求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，，由角的和差得 ，结合三角形内角和即可求证； （2）延长至点H，使得，连接，，由可判定，由全等三角形的性质得，，由线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （3）过点D作交的延长线于点F，连接交于点G，可判定四边形为等腰梯形，由其性质得，由平行四边形的性质得，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，    ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：延长至点H，使得，连接，，              图2 ∵，， ∴，， 设，则， 在和中 ， （）， ∴，， ∴，， ∴， ∵E为的中垂线上的点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）证明：过点D作交的延长线于点F，连接交于点G．   ， ∵， ∴， ∴， 四边形为等腰梯形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，等腰梯形的判定及性质，全等三角形的判定及全等，平行四边形的判定及全等，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【变式7-1】（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，在等腰中，，点在线段上，点在直线上，把线段绕点顺时针旋转至，连接． (1)如图1，连接，若，点为中点，，，求的面积． (2)如图2，若，延长交于点，连接并延长至点，连接、，，，，且，求证：． (3)如图3，若，，，连接，，点、分别是、上的动点，且，连接、，直接写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点C作交于点P，求出，再证，得出，，求出，再求出和，证明，得出，即可求，再求出，即可求出，即可求解； （2）在上截取，使，连接，证明，得出，通过导角得出，则可证明，则，，可得，即可证明； （3）构造平行四边形，可证明，再构造，可得当且仅当、、共线时取得最小值，可证明，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作交于点P， 由题意得，， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，过点作，与交于点H，连接，过点作于点，过点作，并截取，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当、、共线时取得最小值， ∵，，， ∴， 即的最小值为． 【变式7-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）在中是平面内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点在边上时，与的位置关系为_________；数量关系为_________； (2)如图2，当点不在边上时三点不共线），判断（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，写出正确结论，并说明理由； (3)连接，若，的最大值为_________． 【答案】(1)平行，相等； (2)成立，证明见解析； (3)． 【分析】（1）证明，，可得四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证明，可得，可得，结合，证明四边形是平行四边形即可. （3）求解，，由（2）得：四边形是平行四边形，可得，结合可得答案. 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ， ∵ ∴，，， ∴，，， ∴在上，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 故答案为：平行，相等 （2）证明：（1）的结论成立，证明如下： 连接， 由旋转可知，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（2）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当共线且在线段的延长线上时线段取最大值. 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式7-3】（2026·四川达州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颖发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小颖尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；； 【拓展延伸】 (3)李老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)四边形为平行四边形，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 类型八、构造平行四边形进行巧算 【典例8】（21-22八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等边中，D，E分别为边上的点，． (1)如图1，若点在边上，求证：； (2)如图2，连．若，求证：； (3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）连接，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判断是等边三角形，则，又是等边三角形，根据三角形内角和可得出，，所以，则； （2）过点作交于点，交于点，过点作交于，交于点，连接，则和是等边三角形，，所以，因为，，所以四边形是平行四边形，则，易得为等边三角形，由可得平分，则，所以，，，所以，即； （3）延长到点，使，连接，，，作，且使，连接，，先得到，再得到和，所以，所以，则，所以． 本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于，交于点，连接， ， ， 和是等边三角形， ，， 是等边三角形， 由（1）中结论可知，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 为等边三角形，， ， 平分， 是等边三角形， ， ， ，， ，即； （3）解：如图，延长到点，使，连接，，，作，且使，连接，， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ，，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ． 【变式8-1】（23-24八年级上·湖北武汉·月考）如图，，的延长线交于H．    (1)求证：； (2)求证：点H是的中点； (3)若，求． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)6 【分析】（1）由垂线的定义可得，从而可得，，根据等角的余角相等即可得出结论； （2）过点C作交的延长线于点G，连接，由平行线的性质可得，可证，从而证明，可得，从而可得，再根据平行四边形的判定与性质即可得出结论； （3）由（2）可得，四边形是平行四边形，可得，，再由点H是的中点，可得即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点C作交的延长线于点G，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∴点H是的中点；    （3）解：由（2）可得，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴． 【点睛】本题考查垂线的定义、余角的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【变式8-2】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 2.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线，交于点，交于点．若，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】要证明四边形是平行四边形，所以可考虑证明一组对边平行且相等，或对角线互相平分，或两组对边分别相等/平行；已知，可考虑构造全等三角形，结合条件，可通过在直线上取点、，使，，进而得到；若能证明，再结合及对顶角相等，可证明，得到，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明． 【详解】证明：如图，在直线上取点、，使，，连接、． ， ， ，， ， ，， 由作图，知、都是等腰三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， 即 ， ∴ 在和中 ∴， 同理可证， ， ∴四边形为平行四边形． 3.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及准确分析线段的位置关系是解题的关键． （1）通过证明，得，从而，结合证平行四边形； （2）先根据线段位置关系正确计算长度，再用勾股定理算、的长，进而求周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 在中，， ∴四边形的周长为：． 4.（21-22八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知、分别为▱的对边、上的点，且，于，于，交于点，求证：与互相平分． 【答案】见解析 【分析】连接、，利用于，于，推出 EMFN，根据AAS证明△AEM≌△CFN，得到EM=FN，证明四边形是平行四边形，由此得到结论． 【详解】证明：连接、， ，， ， ∴EMFN， 四边形是平行四边形， ∴ADBC，， ， ， ， 在和中 ≌， ， ∵EMFN， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确掌握平行四边形的判定定理和性质定理及全等三角形的判定定理是解题的关键． 5.（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，平分，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到答案； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，推出，得到四边形是平行四边形，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：取的中点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 6.（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等三角形，或通过构造平行四边形转化线段关系． 7.（25-26九年级上·河南信阳·月考）综合实践：数学活动课上，老师让同学们以“直角三角板的旋转”为主题进行探究活动：用两个大小不同的等腰直角三角板，按如图1所示的方式放置．中，，，中，，，延长至，使得，连接． (1)如图2，将旋转至点落在边上时，延长交于点，易证和平行且相等，从而可以证明：和的数量关系为___________，位置关系为___________． (2)当旋转至图1所示位置时（1）中的结论还成立吗？若成立请给出证明，若不成立请说明理由； (3)已知，当旋转至时，请直接写出的长___________． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）当点D落在上时，先分别证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，从而可说明，再利用三线合一得出是边上的中线，从而可得，进而可证明，根据全等三角形的性质可得∴，再证明，可得，然后分别求出，，从而可说明，也就是； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再说明，从而可根据，得出； （3）分直线过点C，旋转到点在上两种情形，当直线过点C时，先证明四边形是平行四边形，再证明，可得出是等腰直角三角形，再利用勾股定理求得，从而可求得，然后利用勾股定理求得；当旋转到点在上时，同样先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得出是等腰直角三角形，，然后利用勾股定理求得． 【详解】（1）解：当点D落在上时， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 又， ∴， ∴是边上的中线， ∴， 又，， ∴， ∴，，， ∴， 又，， ∴， 即， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 即， 故答案为：，； （2）结论仍然成立．证明如下： 如图1，延长到点G，使，连接、、、． ∵， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵是等腰直角三角形，，， 又， ∴， ∴A、D、G三点在以E为圆心、为半径的圆上，且为直径， ∴． 又， ∴， ∴，且． 又是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． 设与交于点N， ∵，， ∴ ∴，即． 又， ∴． 故当旋转至图1所示位置时，（1）中的结论仍然成立． （3）当直线过点C时，， 则， 延长到使得， 连接、、、， ∵ ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴， ∴； 当旋转到点在上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在线段上截取，连接， 又， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴（前一情况中已经说明）， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），三线合一，利用平行四边形性质和判定证明，根据旋转的性质求解，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 8.（25-26九年级上·重庆永川·期中）在中，把线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，连接．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，F是的中点，连接并延长至点G，使得，连接、，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，用勾股定理计算即可； （2）作交的延长线于点，再证明四边形是平行四边形，得到，借助等量代换和勾股定理解答． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 由于绕点C顺时针旋转得到线段， ，， ． （2）如图所示，作交的延长线于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是的中点，， 四边形是平行四边形， ， ，， 把线段绕点C顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线成为解题的关键． 9.（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图1，在中，延长边至点，使，已知点是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点，连接，，，． (1)求证：； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转，点恰好与点重合，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，将线段绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，连接，，其中交于点．若，，，，则的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、图形旋转的性质、正方形的判定、平行四边形的判定与性质、直线平行的性质、勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质及已知条件，用“”证明，即可由三角形全等的性质得到结论； （2）利用图形旋转的性质及（1）中结论可证明四边形的三个角为相等，且，可证四边形为正方形； （3）连接，证明四边形和四边形是平行四边形，从而可求，证明得为直角三角形，根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）证明：点是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点， ，． 在和中，， ， ； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 由旋转的性质可知，， ． 由（1）知，，，， ， ， ， ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形； （3）解：连接， 设，则，由（1）知． ， ， ， ． ，线段绕点逆时针旋转得到， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 又∵， ， ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形， ，， ，． ， ， ． ，， ∴， ， ， ∴， ∴． 故填：． 10.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． (1)当点为中点时，线段________； (2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据旋转的性质求解即可； （2）由等边对等角可得，由旋转的性质可知，，进而推出，则，即可证明； （3）①根据旋转和等边对等角的性质，得出，进而推出，则，再根据平行四边形对角相等求解即可； ②连接交于点，根据同底等高三角形面积相等，推出，由旋转的性质可知，得到，再利用面积的和差计算即可． 【详解】（1）解：，点为中点， ， 由旋转的性质可知，， ； （2）证明：， ， 由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：①由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； ②如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 设，， ，， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $