微专题五 分式方程含参、新定义问题（9大题型）（期末复习）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式方程含参问题，构建"问题类型-解题步骤-变式训练"三阶方法体系，逻辑递进覆盖增根、无解、解的正负性等核心考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增根求参|2典例+3变式|三步法：化整式方程→定增根→代入求参|从分式方程定义出发，通过增根本质建立参数与整式方程的关联| |无解求参|2典例+3变式|分类讨论：增根导致无解/整式方程本身无解|深化方程解的存在性讨论，培养分类思维| |解的正负性|2典例+5变式|解整式方程→列不等式→验增根|将方程求解与不等式应用结合，强化参数范围确定| |新定义问题|2典例+4变式|四步翻译法：读定义→圈关键词→代公式→化归运算|通过符号抽象培养数学表达能力，体现模型意识| |整数解/规律探究|2典例+7变式|整式化→整数解条件→分母不为0|结合数论知识拓展应用，发展逻辑推理与创新意识|

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题五 分式方程含参、新定义问题 题型一：由增根求参数 由增根求参数值的解答思路： （1）将原方程化为整式方程（两边同时乘以最简公分母） （2）确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值） （3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。（理由：增根是由分式方程化成的整式方程的根） 【典例精讲1】（2025秋•恩施市期末）关于x的分式方程． （1）当m为何值时，分式方程有增根； （2）当m为何值时，分式方程无解． 【分析】（1）根据分式方程的增根的定义解决此题． （2）根据分式方程的解的定义解决此题． 【解答】解：（1）， 去分母，得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）． 去括号，得2x+4+mx＝3x﹣6． 移项，得2x+mx﹣3x＝﹣6﹣4． 合并同类项，得（m﹣1）x＝﹣10． ∵分式方程有增根， ∴． ∴m＝6或﹣4． （2）由（1）得，（m﹣1）x＝﹣10． ∵分式方程无解， ∴（m﹣1）x＝﹣10无解或该分式方程有增根． ∴m＝1或m＝6或﹣4． 【典例精讲2】（2026春•北碚区校级月考）（1）a为何值时，关于x的分式方程的解为x＝0． （2）当m为何值时，关于x的方程有增根． 【分析】（1）将x＝0代入原方程得到关于a的分式方程，解方程并检验即可； （2）将原方程去分母并整理，再根据增根的定义得到x的值，然后将其代入解得m的值即可． 【解答】解：（1）若关于x的分式方程的解为x＝0， 则， 去分母得：4a﹣6＝a+5， 解得：a， 经检验，a是该分式方程的解； （2）原方程去分母得：2x+4+mx＝3x﹣6， 整理得：（1﹣m）x＝10， 若该方程有增根， 那么（x+2）（x﹣2）＝0， 则x＝﹣2或x＝2， 当x＝﹣2时， ﹣2（1﹣m）＝10， 解得：m＝6， 当x＝2时， 2（1﹣m）＝10， 解得：m＝﹣4， 综上，m＝6或﹣4． 【变式训练1】（2026•西安校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 【分析】方程两边乘（x﹣3），把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为x＝3，得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：两边同乘（x﹣3）， 得：4+a＝2（x﹣3）， 解得：x， ∵该分式方程有增根， ∴x﹣3＝0，即x＝3， ∴3， 解得：a＝﹣4， ∴当a＝﹣4时，该分式方程有增根． 【变式训练2】（2026春•泉州期中）已知关于x的分式方程． （1）当a＝1时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求a的值． 【分析】（1）将a＝1代入分式方程，再解方程求出x的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用a表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出x﹣3＝0，再解关于a的一元一次方程，求出a的值即可． 【解答】解：（1）当a＝1时，原分式方程为：， 两边同乘以（x﹣3），得： 4+1＝2（x﹣3）， 解这个整式方程，得： ． 检验：当时，x﹣3≠0， ∴是原分式方程的解． （2）， 两边同乘以x﹣3，得： 4+a＝2（x﹣3）， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴x﹣3＝0，即x＝3， ∴， 解得：a＝﹣4， ∴当a＝﹣4时，该分式方程有增根． 【变式训练3】（2026春•新安县期中）关于x的分式方程． （1）当a＝3时，求此时方程的解； （2）若此方程有增根，求a的值； （3）若此方程的解为正数，求a的值取值范围． 【分析】（1）把a＝3代入原分式方程可得：，然后把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）方程两边同时乘（x﹣1），得a+（x﹣3）＝5（x﹣1），整理，得4x＝a+2，再根据已知分式方程有增根，可得x﹣1＝0，则x＝1，把x＝1代入4x＝a+2，进而得出答案； （3）方程两边同时乘（x﹣1），得a+（x﹣3）＝5（x﹣1），解得，再根据已知方程的解为正数，由此可得a+2＞0，解不等式得：a＞﹣2．再根据分式有意义的条件可得：x﹣1≠0，即x≠1，由此可得，解得：a≠2，进而得出答案． 【解答】解：（1）把a＝3代入原分式方程可得：， 方程两边同时乘（x﹣1），得3+（x﹣3）＝5（x﹣1）， 去括号，得3+x﹣3＝5x﹣5， 移项、合并同类项，得﹣4x＝﹣5， 解得：， 检验：把代入x﹣1≠0， ∴分式方程的解为； （2）方程两边同时乘（x﹣1），得a+（x﹣3）＝5（x﹣1）， 整理，得4x＝a+2， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， ∴x＝1， 把x＝1代入4x＝a+2，得4＝a+2， 解得：a＝2； （3）方程两边同时乘（x﹣1），得a+（x﹣3）＝5（x﹣1）， 去括号，得a+x﹣3＝4x﹣5， 解得：， 又∵分式方程的为正数， ∴， ∵4＞0， ∴a+2＞0， 解得：a＞﹣2． ∵x≠1， ∴， 解得：a≠2， 综上所述，a的取值范围是a＞﹣2且a≠2． 题型二：由无解求参数 分式方程无解的解答思路： ①转化成整式方程来解,产生了增根; ②转化的整式方程无解. 【典例精讲1】（2026春•宛城区月考）已知关于x的方程． （1）若a＝4，求该方程的解； （2）若该方程无解，求实数a的值． 【分析】（1）先把原方程去分母并整理得2（x﹣1）+（x+1）＝x+a，解得，然后把a＝4代入即可求解； （2）根据方程无解可得，然后求出a的值即可． 【解答】解：（1）． 原方程去分母并整理得：2（x﹣1）+（x+1）＝x+a， 整理得2x＝a+1，即， ∴当a＝4时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）由（1）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得a＝1或﹣3． 【典例精讲2】（2025秋•浦东新区校级期末）已知关于x的方程． （1）若m＝﹣3，求出方程的解； （2）若方程无解，求m的值． 【分析】（1）将m＝﹣3代入原方程，再解方程即可； （2）根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况即可． 【解答】解：（1）当m＝﹣3时，原方程可化为， 即， 两边同乘（x﹣1）（x﹣2）得，﹣3（x﹣1）+（x﹣2）＝﹣8， 化简，得﹣2x＝﹣9， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）关于x的方程无解， 去分母得m（x﹣1）+x﹣2＝2m﹣2， 整理得（m+1）x＝3m， 当m+1＝0时，整式方程无解，即m＝﹣1时，原方程无解； 当x＝2时，2（m+1）＝3m，解得m＝2； 当x＝1时，m+1＝3m，解得， 即m＝2或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，m的值为﹣1或2或． 【变式训练1】（2026•麻章区校级开学）已知关于x的分式方程无解，求m的值． 【分析】先去分母求出x，再根据无解的条件求解即可 【解答】解：原方程化为， 去分母可得：x＝2（x﹣3）+m， 解方程得：x＝6﹣m， 由条件可知x＝3，即6﹣m＝3， ∴m＝3． 【变式训练2】（2025秋•驻马店期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小明说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【分析】（1）根据分式方程的解法解分式方程3即可； （2）将原方程去分母得到m+3（x﹣2）＝﹣1，求得x，由分式方程有增根x＝2代入计算即可． 【解答】解：（1）当m＝5时，方程变为3， 两边都乘以x﹣2得， 5+3（x﹣2）＝﹣1， 解得x＝0， 经检验，x＝0是原方程的解， 所以原方程的解为x＝0； （2）将方程3的两边都乘以x﹣2得， m+3（x﹣2）＝﹣1， 解得x， 由于分式方程无解，即分式方程有增根x＝2， 所以 ＝2， 解得m＝﹣1， 即当m＝﹣1时，原方程无解． 【变式训练3】（2025秋•天河区校级期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3． ①求G所代表的代数式； ②x为正整数，分式D的值为正整数t，求x的值； （3）在（2）的条件与结论下，若关于y的分式方程无解，求实数m的值． 【分析】（1）根据“和整分式”的定义验证即可； （2）①根据“和整分式”的定义列出恒等式，得出G的表达式；②分析整除规律得出x的值； （3）化简分式方程，根据方程无解分析计算m的值． 【解答】解：（1）∵A+B， ∴A与B互为“和整分式”，且“和整值”k＝2． （2）①∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3， ∴C+D＝3， ∴， 整理得G＝﹣2x﹣4； ②∵的值为正整数t，且x为正整数， ∴x＝1，t＝2； （3）将分式方程整理得：（m﹣1）y＝4， 当m﹣1＝0即m＝1时，分式方程无解，符合题意； 当m﹣1≠0，即时，分式方程无解，符合题意； 综上所述，m的值为1或． 题型三：由正（负）解求参数 分式方程正（负）解的解答思路： ①转化成整式方程来解; ②解为正数；解为负数. 【典例精讲1】（2026•静安区校级模拟）如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 【分析】先解分式方程得出，结合题意得出，即可得到a＞1，再结合分式方程分母不能为零，计算得出a≠7，即可得出结果． 【解答】解：关于x的分式方程的解为正数， 方程两边同时乘以2（x﹣2）得：（x+2）+2（5﹣a）＝a（x﹣2）， 去括号得：x+2+10﹣2a＝ax﹣2a， 移项并合并同类项得：（1﹣a）x＝﹣12， 解得， 由题意可得：， 解得a＞1， ∵x﹣2≠0， ∴x≠2， ∴， ∴a≠7， 综上所述，常数a的取值范围a＞1且a≠7． 【典例精讲2】（2025秋•金山区期末）已知关于x的分式方程． （1）若在解此方程时产生了增根，则m的值是　﹣3　 ； （2）若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【分析】（1）先把分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可． 【解答】解：（1）去分母得：2m＝﹣x+m+2x﹣6， 由分式方程有增根，得到x﹣3＝0， 即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：2m＝﹣3+m+6﹣6， 解得m＝﹣3； 故答案为：﹣3； （2）解分式方程得x＝m+6， ∵此方程的解是正数， ∴m+6＞0且m+6≠3， 所以m＞﹣6且m≠﹣3． 【变式训练1】（2025秋•如东县校级期末）已知关于x的分式方程2的解为正数，求k的取值范围． 【分析】首先去分母，化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后结合题目条件即可求出k的取值范围． 【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝﹣k， ∴x＝k+2， ∵关于x的分式方程2的解为正数， ∴k+2＞0，且x＝k+2≠1， ∴k＞﹣2且k≠﹣1． 【变式训练2】（2025秋•连山区月考）关于x的分式方程． （1）若k＝2，求分式方程的解； （2）若分式方程的解是正数，求k的取值范围． 【分析】（1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【解答】解：（1）当k＝2时，， 两边乘x﹣3，得：x﹣6＝4（x﹣3）， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣3≠0， ∴x＝2是原分式方程的解． （2）两边乘x﹣3，得：x﹣3k＝4（x﹣3）， 解得：x＝4﹣k， ∵分式方程的解是正数， ∴x＝4﹣k＞0， 解得：k＜4， 又∵4﹣k≠3， ∴k≠1， ∴k＜4且k≠1． 【变式训练3】（2025秋•港北区期中）已知关于x的分式方程． （1）若k＝5，求分式方程的根； （2）若分式方程的根为正数，求k的取值范围． 【分析】（1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【解答】解：（1）当k＝5时， 代入分式方程， 得， x﹣3﹣2x+4＝﹣5， x＝6， 经检验，当x＝6时，x﹣2＝6﹣2＝4≠0， ∴x＝6是原分式方程的根； （2）， x﹣3﹣2x+4＝﹣k， ﹣x＝﹣k﹣1， x＝k+1， ∵分式方程的根为正数， ∴k+1＞0，且x﹣2≠0， 即k+1﹣2≠0， 解得：k＞﹣1且k≠1． 【变式训练4】（2024秋•东坡区期末）要使关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围． 【解答】解：去分母，得（x+1）（x﹣1）﹣x（x+2）＝a，解得x 因为这个解是正数，所以0，即a＜﹣1． 又因为分式方程的分母不能为零，即1且2，所以a≠±3． 所以a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣3． 【变式训练5】（2026•淄川区一模）已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【分析】先将分式变形，再化为整式方程求解，然后根据其有解且解为负数即可求出k的取值范围． 【解答】解：， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣3，得x+k+2k＝2（x﹣3）， 解得x＝3k+6， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴3k+6＜0，3k+6≠3 解得k＜﹣2． 题型四：由非负（非正）解求参数 【典例精讲1】（2025春•寿县校级月考）已知关于x的分式方程． （1）当m＝2时，求方程的解； （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【分析】（1）把m＝2代入分式方程，可得，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）先方程两边同时乘（x﹣2），得x﹣3（x﹣2）＝﹣（m﹣1），解得：x，再根据分式方程的解为非负数，可得，解一元一次不等式可得：m≥﹣5，再根据x﹣2≠0，即，解得：m≠﹣1，进而得出答案． 【解答】解：（1）把m＝2代入分式方程，可得， 方程两边同时乘（x﹣2），得x﹣3（x﹣2）＝﹣1， 去括号，得x﹣3x+6＝﹣1， 解得：， 检验：把代入x﹣2≠0， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘（x﹣2），得x﹣3（x﹣2）＝﹣m+1， 解得：． ∵分式方程的解为非负数，x﹣2≠0， ∴， 解得：m≥﹣5且m≠﹣1． 【典例精讲2】关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【分析】根据题意解分式方程，根据分式有意义的条件以及解为非负数，列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【解答】解：去分母，得x+m＝4x﹣2， 移项、合并同类项，得3x＝m+2， 解得． ∵x为非负数且要保证分式方程成立，则2x﹣1≠0， ∴且， 解得m≥﹣2且， ∴m的取值范围为m≥﹣2且． 【变式训练1】（2026•永兴县校级开学）已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝3，求a的值； （2）若方程的解为非负数，求a的取值范围． 【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程求解即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组求解即可． 【解答】解：（1）去分母得：4x﹣3（x﹣3）＝a， 4x﹣3x+9＝a， x＝a﹣9， ∵x＝3是原方程的增根， ∴3＝a﹣9，解得a＝12． （2）去分母并整理得x＝a﹣9， ∵方程的解为非负数， ∴x≥0，即a﹣9≥0， ∴a≥9， 又∵x＝3或x＝0时，该分式方程无解， ∴a﹣9≠3且a﹣9≠0， ∴a≠12且a≠9， 综上所述，a的取值范围为a＞9且a≠12． 【变式训练2】（2025秋•龙潭区校级期末）已知关于x的分式方程． （1）当m＝3时，解此方程； （2）若该方程的解是非负数，则m的取值范围为m≤4且m≠3　 ． 【分析】（1）把m＝3代入，解方程即可； （2）对原分式方程变形，然后解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【解答】解：（1）把m＝3代入， 可得， 去分母得﹣2﹣（x﹣1）＝﹣2， 去括号得﹣2﹣x+1＝﹣2， 移项得﹣x＝﹣1， 系数化为1得x＝1， 经检验，x＝1时，x﹣1＝1﹣1＝0， 所以原方程无解； （2）原方程去分母得1﹣m﹣（x﹣1）＝﹣2， 解得x＝﹣m+4， 由条件可知﹣m+4≥0， 解得m≤4， ∵分式方程有解， ∴﹣m+4≠1， ∴m的取值范围是：m≤4且m≠3． 故答案为：m≤4且m≠3． 【变式训练3】（2025春•蚌山区校级月考）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x＝a+4，由题目可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足　分式的分母不能为0（a≠0）　 ． （1）请回答：横线填什么　分式的分母不能为0（a≠0）　 ． 完成下列问题： （2）已知关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围； （3）若关于x的方程无解，求n的值． 【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出m的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出n的范围． 【解答】解：（1）∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0， ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． 故答案为：分式的分母不能为0（a≠0）；分式的分母不能为0（a≠0）； （2）可化为， m+x＝2（x﹣3）， 解得：x＝m+6， ∵解为非负数， ∴m+6≥0，即m≥﹣6， 又∵x﹣3≠0， ∴m+6≠3，即m≠﹣3， ∴m≥﹣6且m≠﹣3； （3）， 3﹣2x+nx﹣2＝﹣（x﹣3）， 解得：（n﹣1）x＝2， ∵原方程无解， ∴n﹣1＝0或者x＝3， ①当n﹣1＝0时，得：n＝1， ②当x＝3时，，得：， 综上：当n＝1或时原方程无解． 题型五：新定义 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． 【典例精讲1】（2026•丛台区校级模拟）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）填空：分式与互为“　5　 阶分式”； （2）已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； （3）已知分式、，且B与5C互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【分析】（1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得B+5C＝2，即，据此去分母求出M即可． 【解答】解：（1）求出分式与的和可知： ， ∴分式与互为“5阶分式”； 故答案为：5； （2）由条件可知， ∴ ； （3）∵、，且B与5C互为“2阶分式”， ∴， ∴， ∴（2x+1）（x+4）+5M＝2（x+4）（x﹣2）， ∴2x2+x+8x+4+5M＝2（x2+2x﹣8）， ∴2x2+9x+4+5M＝2x2+4x﹣16， ∴5M＝﹣5x﹣20， ∴M＝﹣x﹣4． 【典例精讲2】（2025秋•兖州区期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“　5　 阶分式”； （2）分式与谁互为“6阶分式”？ 【分析】（1）根据题意即可列出算式，进行化简即可得出答案； （2）根据题意即可列出算式，进行化简即可得出答案． 【解答】解：（1）5． 故答案为：5． （2）6， 分式与互为“6阶分式”． 【变式训练1】我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式，（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值． 【分析】（1）先化简C，再计算C﹣D，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：E的表达式，再化简P，根据x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，得到：3﹣x是6的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：（﹣2b﹣c+a+1）x+2bc﹣2a＝0，从而可得：，再消去a，结合因式分解可得bc﹣2b﹣c+2＝1，结合a、b、c为整数，分类讨论后可得答案． 【解答】解：（1）C不是D的“雅中式”，理由如下： ∵，， ∴， ∴C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1； （2）由新定义可知P﹣Q＝2， ∴， ∴E﹣2x（1+x）＝2（1﹣x2）， ∴E＝2﹣2x2+2x+2x2＝2+2x， ∴， 由条件可知1﹣x是2的因数， ∴1﹣x可能是：±1，±2， ∴x的值为：﹣1，0，2，3， ∵x≠±1 ∴x的值为：0，2，3， ∴0+2+3＝5； （3）由新定义可知M﹣N＝1， ∴， 整理得：（﹣2b﹣c+a+1）x+2bc﹣2a＝0， 由上式恒成立： ∴， 消去a可得：bc﹣2b﹣c+1＝0，即bc﹣2b﹣c+2＝1， ∴（b﹣1）（c﹣2）＝1， 由条件可知b﹣1，c﹣2为整数， 当b﹣1＝1，c﹣2＝1时， ∴b＝2，c＝3， 此时：a＝6， ∴a﹣b+c＝6﹣2+3＝7； 当b﹣1＝﹣1，c﹣2＝﹣1时， ∴b＝0，c＝1， 此时：a＝0， ∴a﹣b+c＝0﹣0+1＝1， 综上：a﹣b+c的值为：7或1． 【变式训练2】若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”． （1）下列三组数是“快乐三数组”有 　②③　 （填序号）； ①3，4，5；②，，；③1，1，1； （2）若关于x的分式方程1的解与关于y的方程（m﹣3）y﹣1＝3（m﹣y）的解与1构成“快乐三数组”，求m的值． 【分析】（1）根据“快乐三数组”的定义进行验证即可得出结论； （2）解分式方程得x＝3，解方程（m﹣3）y﹣1＝3（m﹣y），得，然后根据“快乐三数组”的定义分三种情况进行讨论：，，，根据每一种情况列出关于m的方程，解方程求出m即可． 【解答】解：（1）∵， ∴3，4，5不是“快乐三数组”； ②2+3＝5， ∴，，是“快乐三数组”； ③，， ∴， ∴，1，是“快乐三数组”， 故答案为：②③； （2）原方程去分母，将方程两边同时乘以（1﹣x）得：2x﹣3m＝1﹣x， ∴， 解方程（m﹣3）y﹣1＝3（m﹣y）得，依题意得：x，y，1是“快乐三数组”， ∴有以下三种情况： ①当时，则1， 解得：m＝1， 经检验m＝1是该方程的解， ②当时，则， 解得：m＝﹣2， 经检验：m＝﹣2是该方程的解， 当m＝﹣2时，不符合“快乐三数组”的定义，舍去； ③当时，则1，解得：m＝0.5， 经检验：m＝0.5是该方程的解， 综上所述：m的值为1或0.5． 【变式训练3】（2026春•盐城期中）【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对{a，b}是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取a＝3，b＝4，k＝5代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为x＝3，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取a＝1，b＝2，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以{1，2}是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“10级和谐系数”的有　②　 （填序号）； ①{2，8} ②{6，8} ③{6，4} （2）若实数对{m+2，m﹣2}是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； （3）若整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足k2+24n﹣10＝2P2﹣126（P为整数）求整数n的值． 【分析】（1）分别求出两个分式方程的解，根据“k级和谐系数”定义得出这两个解乘积为1，整理得a2+b2＝k2，代入k＝10后逐一验证即可； （2）“6级和谐系数”{m+2，m﹣2}代入a2+b2＝k2，得到关于m的方程并求解即可； （3）先由“k级和谐系数”定义得到k2＝2n2+12n+36，代入k2+24n﹣10＝2P2﹣126，再转化为平方差形式，最后通过整数因数分解求解整数n． 【解答】解：（1）解方程得，解方程得， ∴， ∴a2＝k2﹣b2，即a2+b2＝k2， ∵k＝10， ∴a2+b2＝102＝100， ①∵22+82＝4+64＝68≠100， ∴{2，8}不是“10级和谐系数”； ②∵62+82＝36+64＝100， ∴{6，8}是“10级和谐系数”； ③∵62+42＝36+16＝52≠100， ∴{6，4}不是“10级和谐系数”； 故答案为：②； （2）由条件可知（m+2）2+（m﹣2）2＝62， 解得或； （3）整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”， ∴n2+（n+6）2＝k2， ∴k2＝2n2+12n+36， 由条件可知2n2+12n+36+24n﹣10＝2P2﹣126， ∴n2+18n+76＝P2， ∴（n+9）2＝P2+5， ∴（n+9）2﹣P2＝5， ∴（n+9+P）（n+9﹣P）＝5， ∵5的整数因数对为（1，5），（﹣1，﹣5），（﹣5，﹣1），（5，1）， ∴分为以下四种情况讨论： ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得， 综上，整数n的值为﹣12或﹣6． 【变式训练4】（2026春•济南期中）【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当a＝2，b＝﹣5时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①[1，1]　否　 ； ②[3，﹣5]　是　 ； 【应用模型】 （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； 【总结提升】 （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 【分析】（1）根据新定义，把方程的根代入方程即可得到结果； （2）把x代入方程，求出n的值即可； （3）根据题意，得k＝m﹣1，通过为整数，得到m的值即可． 【解答】解：（1）①x时，3，所以， ∴[1，1]不是分式方程的“关联数对”， 故答案为：否； ②x时，5成立， ∴[3，﹣5]是分式方程的“关联数对”， 故答案为：是； （2）∵数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴x是方程的解， ∴8n+1＝8﹣n， 解得n； （3）∵数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴x是方程的解， ∴m2﹣mk+1＝k， ∴k ＝m+1﹣2 ＝m﹣1， ∵k为整数， ∴为整数， ∵m≠﹣1且m≠0， ∴当m＝1时，k＝1（舍去，题目条件中要求k≠1）， 当m＝﹣2时，k＝﹣5， 当m＝﹣3时，k＝﹣5， 综上，整数m的值为﹣2或﹣3． 题型六：整数解问题 1. 化为整式方程 给分式方程两边同乘最简公分母，消去分母，变成一元一次/一元二次整式方程。 2. 解整式方程 用解方程常规方法，把未知数用含参数的代数式表示，解出形式。 3. 两个关键限制条件（必查，漏了必错） （1）整数条件：x 是整数 （2）分式有意义：分母≠0（增根排除） 即：原方程所有分母、乘的最简公分母都不能为0。 4. 结合条件求参数/未知数取值 联立「整数」+「分母不为0」，筛选出符合要求的值。 【典例精讲1】（2026春•万州区校级期中）对于两个分式A、B，如果|A﹣B|＝3，那么我们称分式A与分式B互为“友好分式”．结合以上信息，完成下列各题． （1）下列互为“友好分式”的是　①　 ；（填序号） ①与； ②与． （2）若与互为“友好分式”，求x的值； （3）若与互为“友好分式”，且x为正整数，求整数a的值． 【分析】（1）根据“友好分式”的定义，计算各选项中两个分式的差值，判断其绝对值是否等于3，进而选出符合条件的选项； （2）依据定义列出含x的方程，合并同分母分式后去分母转化为整式方程，求解后验证分式有意义； （3）根据“两分式差的绝对值为3”分两种情况列方程，整理后结合a为正整数、x为整数的条件，分析方程中未知数的约数情况，求解并筛选出符合要求的x值． 【解答】解：（1）①， ∵|﹣3|＝3； ∴①的两个分式互为“友好分式”，符合题意； ②， ∵|2|＝2≠3 ∴②的两个分式不互为“友好分式”，不符合题意． 故答案为：①； （2）∵若与互为“友好分式”， ∴或， 解得：x＝﹣5或x＝1， 经检验，x＝﹣5或x＝1是原方程的解， 综上，x＝﹣5或x＝1； （3）∵与互为友好分式， ∴或， ①由， 解得：， ∵x为正整数， ∴a﹣3是11的正约数， ∴a﹣3＝1或a﹣3＝11， 当a﹣3＝1时，a＝4，x＝11； 当a﹣3＝11时，a＝14，x＝1； 经检验：x＝11或x＝1是原方程的解； ②由， 解得：， ∵x为正整数， ∴﹣a﹣3是7的正约数， ∴﹣a﹣3＝1或﹣a﹣3＝7， 当﹣a﹣3＝1时，a＝﹣4，x＝7； 当﹣a﹣3＝7时，a＝﹣10，x＝1； 经检验：x＝7或x＝1是原方程的解； 综上所述，a＝4或a＝14或a＝﹣4或a＝﹣10． 【典例精讲2】（2026春•市中区校级期中）形如x不为零，且两个解分别为x1＝a，x2＝b（a＞b）的方程称为“十字分式方程”． 例如x4为十字分式方程，可化为x1+3，∴x1＝3，x2＝1． 再如x6为十字分式方程，可化为x（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x7为十字分式方程，则x1＝　5　 ，x2＝　2　 ． （2）若十字分式方程x1的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求m2+n2的值． （3）若关于x的方程x2k﹣1的两个解是x1，x2（x1＜x2），若是整数，求满足条件的整数k的值． 【分析】（1）根据“十字分式方程”的定义进行计算； （2）根据“十字分式方程”的定义进行计算出mn＝﹣3，m+n＝﹣1，再根据完全平方公式计算即可； （3）根据“十字分式方程”的定义，计算即可． 【解答】解：（1）∵x7为十字分式方程， ∴x2+5， ∴x1＝5，x2＝2． 故答案为：5；2； （2）∵x1， ∴mn＝﹣3，m+n＝﹣1， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝1+6＝7； （3）∵x2k﹣1， x+22k+1＝（k+3）（k﹣2）， ∵方程的两个解是x1，x2（x1＜x2）， ∴x1+2＝k﹣2，x2+2＝k+3， ∴x1＝k﹣4，x2＝k+1， ∴， ∵是正整数， ∴1是正整数， ∴或，k+1是5的约数， ∴k＜﹣1或k＞4，k+1＝±1，±5 ∵k为整数， ∴k＝﹣6或k＝﹣2或k＝0或k＝4． 【变式训练1】（2025秋•永州期末）对于两个分式A、B，如果|A﹣B|＝2，那么我们称分式A与分式B互为“相伴分式”．结合以上信息，完成下列各题． （1）下列互为“相伴分式”的是　②　 ；（填序号） ①与；②与． （2）若与互为“相伴分式”，求x的值； （3）若与互为“相伴分式”，且a为正整数，求整数x的值． 【分析】（1）根据“相伴分式”（两分式差的绝对值为2）的定义，计算各选项中两个分式的差值，判断其绝对值是否等于2，进而选出符合条件的选项； （2）依据定义列出含x的方程，合并同分母分式后去分母转化为整式方程，求解后验证分式有意义； （3）根据“两分式差的绝对值为2”分两种情况列方程，整理后结合a为正整数、x为整数的条件，分析方程中未知数的约数情况，求解并筛选出符合要求的x值． 【解答】解：（1）①， ∵|﹣1|＝1≠2； ∴①的两个分式不互为“相伴分式”． ②． ∵对于两个分式A、B，如果|A﹣B|＝2，那么我们称分式互为“相伴分式”． ∴②的两个分式互为“相伴分式”． 故答案为：②； （2）∵与互为相伴分式， ∴或， 由， 解得x＝1，经检验：x＝1是原方程的解， 由， 解得x＝﹣3，经检验：x＝﹣3是原方程的解， ∴x＝﹣3或x＝1； （3）∵与互为相伴分式， ∴或， ①由， 解得， 所以a﹣2是7的约数， ∵a为正整数，x为整数， ∴a﹣2＞﹣2， ∴a﹣2＝﹣1或1或7， 当a﹣2＝7时，a＝9，； 当a﹣2＝1时，a＝3，； 当a﹣2＝﹣1时，a＝1，； ∴当a＝3或1或9时，x＝7或﹣7或1； 经检验：x＝7或﹣7或1是原方程的解； ②由， 解得， ∵a为正整数，x为整数， ∴a+2＞2， ∴a+2＝5， ∴a＝3，； 经检验：x＝﹣1是原方程的解． 综上所述，若与互为“相伴分式”，且a为正整数，则x＝7或﹣7或1或﹣1． 【变式训练2】（2025秋•潼南区期末）已知关于x的方程的两个解是x1＝1，x2＝3，关于x的方程的两个解是x1＝﹣2，x2＝3．小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是x1＝a，x2＝b，并在老师的帮助下完成了严谨的证明． 请利用小红的这个结论解决以下几个问题： （1）求解关于x的方程； （2）关于x的方程的两个解分别为m，n，求m2+n2的值； （3）关于x的方程的两个解是x1，x2（x1＜x2），若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【分析】（1）根据题干方法求方程的解即可； （2）由题意可知mn＝﹣4，m+n＝4，利用完全平方公式变形计算即可； （3）由，变形为，所以3x1+2＝k﹣3，3x2+2＝k+2，则，，得，从而求解． 【解答】解：（1）， ， ∴关于x的方程的解为x1＝1，x2＝8； （2）m+n＝4，mn＝﹣4， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝16﹣2×（﹣4）＝24； （3）， ， ∵关于x的方程的两个解是x1，x2（x1＜x2）， ∴3x2+2＝k+2，3x1+2＝k﹣3， ∴，， ∴， ∵若是正整数， ∴k＝﹣5或k＝﹣1． 【变式训练3】定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”k＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k＝3． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【分析】（1）先计算A+B，再根据结果即可得解； （2）①求出C+D，结合题意得出3x2+2x﹣8+P＝3（x+2）（x﹣2），计算即可得解；②先求出D，再结合题意计算即可得解． 【解答】解：（1） ＝2， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”k＝2； （2）， ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k＝3， ∴，即3x2+2x﹣8+P＝3（x+2）（x﹣2）， ∴P＝3（x2﹣4）﹣（3x2+2x﹣8）＝﹣2x﹣4； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2， 解得x＝1或x＝0（舍去）， ∴正整数x的值为1． 【变式训练4】（2025秋•北碚区校级月考）已知关于x的方程的两个解是x1＝1，x2＝2，又已知关于x的方程的两个解是x1＝1，x2＝3；又已知关于x的方程的两个解是x1＝﹣2，x2＝3．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想： 关于x的方程的两个解是x1＝a，x2＝b，并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略），小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： （1）关于x的方程的解为x1＝2，x2＝5　 ； （2）关于x的方程的两个解分别为m，n，求m2+n2的值； （3）关于x的方程的两个解是x1，x2（x1＜x2），若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【分析】（1）根据题干方法求方程的解即可； （2）由题意可知：mn＝﹣5，m+n＝5，利用完全平方公式变形计算即可； （3）将方程变形为，得到3x1+2＝k﹣2，3x2+2＝k+3，进而得到，再根据是正整数，进行求解即可． 【解答】解：（1）， ， ∴方程的解为：x1＝2，x2＝5． 故答案为：x1＝2，x2＝5； （2）∵关于x的方程的两个解分别为m，n， ∴mn＝﹣5，m+n＝5， ∴m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝52﹣2×（﹣5） ＝35； （3）， ， ∵方程的两个解是x1，x2（x1＜x2）， ∴3x1+2＝k﹣2，3x2+2＝k+3， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴或，k+1是5的约数， ∴k＜﹣1或k＞4，k+1＝±1，±5 ∵k为整数， ∴k＝﹣6或k＝﹣2． 题型七：裂项相消法 【典例精讲1】（2025秋•通州区校级期中）观察下列等式：；； 根据以上规律，解决下列问题． （1）若n为正整数，猜想　　 ； （2）计算：　　 ； （3）解关于n的分式方程：． 【分析】（1）根据已知的算式进行归纳即可解答； （2）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并即可解答； （3）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并，最后解方程即可． 【解答】解：（1）观察下列等式 ； ； ； … ． 故答案为：． （2）原式 ． （3）， ， ， ， n（n+9）＝（n+1）（n+7）， n2+9n＝n2+8n+7， n＝7． 经检验，n＝7是原分式方程的解． 【典例精讲2】（2026•定远县校级一模）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有1L水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；⋯⋯；第n次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这1L水经过多少次可以倒完？为什么？ 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出n次后，总共倒出的水量是多少？容器中的1L水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： ． 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出10次的总水量是前10个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项1和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项（k＝1，2，…，n）拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因n为正整数，，故，即总倒出水量始终小于1 L，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项（k＝0，1，…，2025）拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【解答】解：（1）根据已知规律可得；（n为正整数）； 故答案为：4，5；n，n+1． （2）根据倒出10次的总水量是前10个分式的和可知： 倒出10次后总水量为； （3）倒出n次后总水量为． ∵（n为正整数），即总倒出水量始终小于1 L， ∴容器中的1 L水不能被倒完； （4）原方程左边， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘x+2026（x≠﹣2026），得﹣1＝x+2026， 解得x＝﹣2027； 检验：将x＝﹣2027代入分母，x＝﹣2027≠0，x+1＝﹣2026≠0，…，x+2026＝﹣1≠0， ∴x＝﹣2027是原方程的解； 故答案为：x＝﹣2027． 【变式训练1】（2026•瑶海区校级一模）观察下列式子： ， ， ， ， … （1）根据上面的变形规律，若n为正整数，则　　 ； （2）解分式方程：． 【分析】（1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意拆解合并之后解分式方程即可． 【解答】解：（1）观察发现； 故答案为：； （2）分式方程可变形为：． 去括号得：． 所以， 解得x＝2024． 经检验，x＝2024是分式方程的解． 所以分式方程的解为x＝2024． 【变式训练2】（2025春•合肥校级期末）阅读理解并回答问题： （1）观察下列各式： 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来 　　 ； （2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； （3）请利用上述规律，解方程：． 【分析】（1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【解答】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2） ； （3） 整理得：， 去分母得：x+1＝2x﹣4， 解得：x＝5， 经检验，x＝5是原方程的根， 则原方程的根是x＝5． 【变式训练3】观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． （1）若n为正整数，猜想 　　 ； （2）解分式方程：； （3）利用上述规律计算：． 【分析】（1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解； （2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可； （3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解． 【解答】解：（1）， 验证：右边 ＝左边， ∴猜想成立； （2）， ， ∴， 去分母得：2（x+3）﹣2x＝x+3， 解得：x＝3， 经检验：x＝3是原方程的根， ∴原方程的根为x＝3； （3）原式 ． 【变式训练4】（2025秋•昌平区期中）阅读下列材料并解决问题： ． （1）∴ （　　 ） ＝　　 （2）利用上述结论计算： ； （3）解方程：． 【分析】（1）将原式化为（），即（1）进行计算即可； （2）将原式化为（），即（）进行计算即可； （3）将原方程化为1，再根据分式方程的解法进行解答即可． 【解答】解：（1）∵（1），（），（）（），∴ （） （1） ， 故答案为：，； （2）原式（） （） ； （3）（）＝1， 1， 即1， 解得x， 经检验，x是原方程的解， 所以原方程的解为x． 题型八：错解题 【典例精讲1】（2025秋•惠东县期末）小方同学解分式方程的过程如下，请认真阅读并解答下列问题： 解：第一步： 第二步：1﹣x＝6+1 第三步：﹣x＝﹣6+1﹣1 第四步：x＝6 第五步：检验：当x＝6时，x﹣6＝0 第六步：原分式方程无解． （1）解分式方程需要去分母：去分母的依据是（　②　 ）（填序号）； ①分式基本性质； ②等式基本性质； ③乘法分配律． （2）小方的解法在第　一　 步出错； （3）写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据去分母的依据解答即可； （2）根据等式性质判断即可； （3）方程两边同乘x﹣6，将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1）解分式方程需要去分母：去分母的依据是等式基本性质， 故答案为：②； （2）小方的解法在第一步出错， 故答案为：一； （3）， ， 1﹣x＝﹣6+x﹣6， ﹣x﹣x＝﹣6﹣6﹣1 ﹣2x＝﹣13， x， 检验：当x时，x﹣6≠0， 所以原分式方程的解是x． 【典例精讲2】（2025•金凤区校级模拟）解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： 第一步 4＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）2…第二步 4＝x2﹣2x﹣x2﹣4x+4…第三步 解得：x＝0…第四步 任务一：填空 （1）第　二　 步是去分母，去分母的依据是　等式的性质2　 ． （2）第　三　 步出现错误，错误的原因是　去括号时忘记变号　 ． 任务二：填空 （1）直接写出该分式方程的正确结果x＝4　 ． （2）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 【分析】根据题意逐一对步骤进行分析，并解出最后答案即可． 【解答】解：任务一：（1）第二步是去分母，去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘以相同的数，等式大小不变． （2）第三步出现错误，因为完全平方展开后去括号忘记变号了， 故答案为：（1）二；等式的性质2；（2）三；去括号时忘记变号； 任务二：（1）， ， 4＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）2， 解得：x＝4， 检验：将x＝4代入分式方程，方程有解， ∴x＝4为分式方程的解； （2）最后一步忘记检验， 检验：将x＝4代入分式方程，方程有解， ∴x＝4为分式方程的解． 【变式训练1】（2025秋•神池县期末）下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认真阅读，并解决老师提出的问题． 解分式方程： 解：第一步 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）第二步 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12第三步 … 问题解决： （1）以上解方程的过程中，第　三　 步开始出现错误，错误的原因是　括号前面是“﹣”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号　 ； （2）请写出解该分式方程的正确过程． 【分析】（1）去第二个括号时第二项没有变号，出现错误； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【解答】解：（1）小王同学在黑板上解分式方程的过程中，去括号时，﹣6（x+2）的第二项没有变号． 故答案为：三；括号前面是“﹣”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号； （2）， 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）， 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x﹣12， 2x﹣3x+6x＝1﹣3﹣12， 5x＝﹣14， 解得：， 检验：当时，3（x+2）≠0， ∴原分式方程的解为． 【变式训练2】（2025秋•平城区期末）请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣1＝﹣x．① 去括号，得2x﹣2﹣1＝﹣x② 解得x＝1． 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0．③ 所以原分式方程无解．④ （1）你认为小明在第 　①　 步出现了错误；（只填序号） （2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项； （3）写出上述分式方程的正确解法． 【分析】（1）出现错误的步骤为第一步，原因是各项都要乘以最简公分母； （2）解分式方程的方法写出注意事项即可； （3）写出正确解题过程即可． 【解答】解：（1）去分母时，每项都乘以最简公分母，小明在第①步出现了错误， 故答案为：①； （2）如：去分母时，每项都乘以最简公分母，不能漏乘； 去分母时，若分子是多项式，去掉分数线后以小括号代替，表示整体等（答案合理即可） （3）方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）， 得2（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝﹣x（x+1），2x﹣2﹣x2+1＝﹣x2﹣x3x＝1． 检验：当时，， ∴原方程的解是． 【变式训练3】（2025秋•金湾区期末）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 第一步：x＝2x+1 第二步：x﹣2x＝1 第三步：﹣x＝1 第四步：x＝﹣1 第五步：检验：当x＝﹣1时，x+1＝0 ∴此分式方程无解 （1）以上解分式方程的步骤中，是否出现错误　是　 （填“是或否”）； （2）如果有错误，请写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据解分式方程的方法判断即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：（1）， 第一步：去分母，得x＝2x+（x+1）， ∴在以上解分式方程的步骤中，是出现了错误． 故答案为：是； （2）， 方程两边同时乘（x+1），得x＝2x+（x+1）， 去括号，得x＝2x+x+1， 解得：， 检验：把代入x+1≠0， ∴分式方程的解为． 【变式训练4】（2025秋•松桃县期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，1＝3+（x﹣1），…第一步 去括号得，1＝3+x﹣1，…第二步 解得，x＝﹣1，…第三步 检验：当x＝﹣1时，2﹣x≠0，…第四步 ∴x＝﹣1是原方程的根．…第五步 任务： （1）小亮同学的求解过程从第　一　 步开始出现错误，错误的原因是　方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”　 ； （2）请你写出正确的解方程过程． 【分析】（1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可． 【解答】解：（1）从第一步开始出现错误， 错误的原因是方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”； 故答案为：一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”； （2）原方程可化为． 去分母得1＝3（2﹣x）+x﹣1． 去括号得：1＝6﹣3x+x﹣1 移项得：3x﹣x＝6﹣1﹣1， 合并同类项得：2x＝4， 解得x＝2． 检验：当x＝2时，2﹣x＝0，所以x＝2不是原分式方程的解， 故原方程无解． 题型九：找规律问题 【典例精讲1】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x的解为x1＝2，x2； 方程x的解为x1＝3，x2； 方程x的解为x1＝4，x2； … （1）根据上面的规律，猜想方程x的解是x1＝5，　 ； （2）利用材料提供的方法解关于x的方程：x； （3）已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x.（结果保留a） 【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）先将原方程变形为：，然后根据题意给出的规律，即可得出答案； （3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为：，再方程两边同时减去3，方程变形为，再根据题意给出的规律，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题中的规律，猜想方程的解为： x1＝5，， 故答案为：x1＝5，； （2）由题意，得， ∴， ∴x+1＝3或， 解得：x1＝2，， 经检验：x1＝2，是原方程的解； （3）， 方程两边同时乘以2，得， 方程两边再同时减去3，得， ∴2x﹣3＝a或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解． 【典例精讲2】（2025春•丹阳市校级期末）阅读下列材料：关于x的方程的解是（x1，x2表示未知数x的两个实数解，下同）；的解是；的解是． 请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是 x1＝c，x2　 ． 由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程： （1）； （2）； （3）． 【分析】根据给出的方程与解的特征，即可得出关于x的方程（m≠0）的解； （1）变形为x5，再根据题干中的信息，即可求出它们的解； （2）变形为x﹣1a﹣1，再根据题干中的信息，即可求出它们的解； （3）变形为2x﹣3a，再根据题干中的信息，即可求出它们的解． 【解答】解：∵的解是； 的解是； 的解是； ∴（m≠0）的解是x1＝c，x2， 故答案为：x1＝c，x2； （1）， ∴x5， ∴x1＝5，x2； （2）， ∴x﹣1a﹣1， ∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1 ∴x1＝a，x2； （3）， ∴2x， ∴2xa+3， ∴2x﹣3a， ∴2x﹣3＝a或2x﹣3， ∴x1，x2 【变式训练1】（2025春•朝阳区校级月考）【感知】下列一组方程：①；②；③，明明通过观察发现了其中蕴含的规律，并求出了前三个方程的解．他的解题过程如下： ①，解得x＝1或2； ②，解得x＝2或3； ③，解得x＝3或4． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）请写出第四个方程为 　　 ； （2）若n为正整数，则第n个方程是 　　 ，其解为 x＝n或n+1　 ； 【探究】若n为正整数，关于x的方程的一个解是x＝10，求n的值． 【分析】【应用】（1）（2）小题均观察已知条件中的方程，找出规律进行解答即可； 【探究】把已知条件中的方程写成，然后根据【应用】中找出的规律，求出x+2的值，最后根据方程的解是x＝10，列出关于n的方程，解方程求出n即可． 【解答】解：【应用】 （1）∵①，解得x＝1或2； ②，解得x＝2或3； ③，解得x＝3或4； ∴第四个方程为，即； 故答案为：； （2）∵①，解得x＝1或2； ②，解得x＝2或3； ③，解得x＝3或4； ④，解得：x＝4或5； ...， ∴第n个方程是，其解为：x＝n或n+1， 故答案为：，x＝n或n+1； 【探究】∵， ∴， ∴x+2＝n或x+2＝n+1， ∴x＝n﹣2或n﹣1， 当n﹣2＝10时，n＝12； 当n﹣1＝10时，n＝11； ∴n＝11或12． 【变式训练2】（2026春•沈丘县月考）阅读下列材料，解决问题：对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b． （1）方程的两个解中较大的一个为　4　 ； （2）解关于x的方程； （3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 【分析】（1）方程可化为，再根据题意即可求解； （2）移项得，再化简得即可求解； （3）把方程化简为，再根据题意解x1，x2，再代入计算． 【解答】解：（1），即 ∴x1＝1，x2＝4， 则方程 的两个解中较大的一个为4； 故答案为：4． （2），即， ， ∴x﹣1＝2，x﹣1＝3， 解得x1＝3，x2＝4； （3）原方程变形为：， ∴2x﹣1＝n，解得， 2x﹣1＝n+2，解得， ∵x1＜x2， ∴， ∴． 【变式训练3】（2026春•郫都区校级期中）新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝1，x2＝3． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．阅读以上材料，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则x1＝　﹣3　 ，x2＝　﹣4　 ； （2）若十字分式方程，的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞0，且x1＞x2），求的值． 【分析】（1）将方程变形为，根据“十字分式方程”定义，直接得解x1＝﹣3，x2＝﹣4； （2）将方程变形为，因为，得m+n＝﹣3，mn＝﹣6；利用代入计算； （3）将原方程变形为，进一步化为；根据定义得x1+3＝3k，x2+3＝﹣k﹣5，代入计算． 【解答】解：（1）因为， 因为， 所以x1＝3，x2＝4， 故答案为：﹣3，﹣4． （2）因为为十字分式方程， 方程两个解分别为x1＝m，x2＝n， 所以， 故m+n＝﹣3，mn＝﹣6， 求 ． （3）因为x1，x2是十字分式方程的解，k＞0， 所以， 即， 得x1+3＝3k，x2+3＝﹣k﹣5（因k＞0且x1＞x2）， 则x1＝3k﹣3，x2＝﹣k﹣8， ． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题五 分式方程含参、新定义问题 题型一：由增根求参数 由增根求参数值的解答思路： （1）将原方程化为整式方程（两边同时乘以最简公分母） （2）确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值） （3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。（理由：增根是由分式方程化成的整式方程的根） 【典例精讲1】（2025秋•恩施市期末）关于x的分式方程． （1）当m为何值时，分式方程有增根； （2）当m为何值时，分式方程无解． 【典例精讲2】（2026春•北碚区校级月考）（1）a为何值时，关于x的分式方程的解为x＝0． （2）当m为何值时，关于x的方程有增根． 【变式训练1】（2026•西安校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 【变式训练2】（2026春•泉州期中）已知关于x的分式方程． （1）当a＝1时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求a的值． 【变式训练3】（2026春•新安县期中）关于x的分式方程． （1）当a＝3时，求此时方程的解； （2）若此方程有增根，求a的值； （3）若此方程的解为正数，求a的值取值范围． 题型二：由无解求参数 分式方程无解的解答思路： ①转化成整式方程来解,产生了增根; ②转化的整式方程无解. 【典例精讲1】（2026春•宛城区月考）已知关于x的方程． （1）若a＝4，求该方程的解； （2）若该方程无解，求实数a的值． 【典例精讲2】（2025秋•浦东新区校级期末）已知关于x的方程． （1）若m＝﹣3，求出方程的解； （2）若方程无解，求m的值． 【变式训练1】（2026•麻章区校级开学）已知关于x的分式方程无解，求m的值． 【变式训练2】（2025秋•驻马店期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小明说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【变式训练3】（2025秋•天河区校级期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3． ①求G所代表的代数式； ②x为正整数，分式D的值为正整数t，求x的值； （3）在（2）的条件与结论下，若关于y的分式方程无解，求实数m的值． 题型三：由正（负）解求参数 分式方程正（负）解的解答思路： ①转化成整式方程来解; ②解为正数；解为负数. 【典例精讲1】（2026•静安区校级模拟）如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 【典例精讲2】（2025秋•金山区期末）已知关于x的分式方程． （1）若在解此方程时产生了增根，则m的值是　　 ； （2）若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【变式训练1】（2025秋•如东县校级期末）已知关于x的分式方程2的解为正数，求k的取值范围． 【变式训练2】（2025秋•连山区月考）关于x的分式方程． （1）若k＝2，求分式方程的解； （2）若分式方程的解是正数，求k的取值范围． 【变式训练3】（2025秋•港北区期中）已知关于x的分式方程． （1）若k＝5，求分式方程的根； （2）若分式方程的根为正数，求k的取值范围． 【变式训练4】（2024秋•东坡区期末）要使关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【变式训练5】（2026•淄川区一模）已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 题型四：由非负（非正）解求参数 【典例精讲1】（2025春•寿县校级月考）已知关于x的分式方程． （1）当m＝2时，求方程的解； （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【典例精讲2】关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【变式训练1】（2026•永兴县校级开学）已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝3，求a的值； （2）若方程的解为非负数，求a的取值范围． 【变式训练2】（2025秋•龙潭区校级期末）已知关于x的分式方程． （1）当m＝3时，解此方程； （2）若该方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 【变式训练3】（2025春•蚌山区校级月考）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x＝a+4，由题目可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足 ． （1）请回答：横线填什么 ． 完成下列问题： （2）已知关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围； （3）若关于x的方程无解，求n的值． 题型五：新定义 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． 【典例精讲1】（2026•丛台区校级模拟）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）填空：分式与互为“ 阶分式”； （2）已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； （3）已知分式、，且B与5C互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【典例精讲2】（2025秋•兖州区期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“ 阶分式”； （2）分式与谁互为“6阶分式”？ 【变式训练1】我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式，（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值． 【变式训练2】若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”． （1）下列三组数是“快乐三数组”有 （填序号）； ①3，4，5；②，，；③1，1，1； （2）若关于x的分式方程1的解与关于y的方程（m﹣3）y﹣1＝3（m﹣y）的解与1构成“快乐三数组”，求m的值． 【变式训练3】（2026春•盐城期中）【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对{a，b}是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取a＝3，b＝4，k＝5代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为x＝3，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取a＝1，b＝2，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以{1，2}是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“10级和谐系数”的有 （填序号）； ①{2，8} ②{6，8} ③{6，4} （2）若实数对{m+2，m﹣2}是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； （3）若整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足k2+24n﹣10＝2P2﹣126（P为整数）求整数n的值． 【变式训练4】（2026春•济南期中）【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当a＝2，b＝﹣5时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①[1，1] ； ②[3，﹣5] ； 【应用模型】 （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； 【总结提升】 （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 题型六：整数解问题 1. 化为整式方程 给分式方程两边同乘最简公分母，消去分母，变成一元一次/一元二次整式方程。 2. 解整式方程 用解方程常规方法，把未知数用含参数的代数式表示，解出形式。 3. 两个关键限制条件（必查，漏了必错） （1）整数条件：x 是整数 （2）分式有意义：分母≠0（增根排除） 即：原方程所有分母、乘的最简公分母都不能为0。 4. 结合条件求参数/未知数取值 联立「整数」+「分母不为0」，筛选出符合要求的值。 【典例精讲1】（2026春•万州区校级期中）对于两个分式A、B，如果|A﹣B|＝3，那么我们称分式A与分式B互为“友好分式”．结合以上信息，完成下列各题． （1）下列互为“友好分式”的是 ；（填序号） ①与； ②与． （2）若与互为“友好分式”，求x的值； （3）若与互为“友好分式”，且x为正整数，求整数a的值． 【典例精讲2】（2026春•市中区校级期中）形如x不为零，且两个解分别为x1＝a，x2＝b（a＞b）的方程称为“十字分式方程”． 例如x4为十字分式方程，可化为x1+3，∴x1＝3，x2＝1． 再如x6为十字分式方程，可化为x（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x7为十字分式方程，则x1＝ ，x2＝ ． （2）若十字分式方程x1的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求m2+n2的值． （3）若关于x的方程x2k﹣1的两个解是x1，x2（x1＜x2），若是整数，求满足条件的整数k的值． 【变式训练1】（2025秋•永州期末）对于两个分式A、B，如果|A﹣B|＝2，那么我们称分式A与分式B互为“相伴分式”．结合以上信息，完成下列各题． （1）下列互为“相伴分式”的是 ；（填序号） ①与；②与． （2）若与互为“相伴分式”，求x的值； （3）若与互为“相伴分式”，且a为正整数，求整数x的值． 【变式训练2】（2025秋•潼南区期末）已知关于x的方程的两个解是x1＝1，x2＝3，关于x的方程的两个解是x1＝﹣2，x2＝3．小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是x1＝a，x2＝b，并在老师的帮助下完成了严谨的证明． 请利用小红的这个结论解决以下几个问题： （1）求解关于x的方程； （2）关于x的方程的两个解分别为m，n，求m2+n2的值； （3）关于x的方程的两个解是x1，x2（x1＜x2），若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【变式训练3】定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”k＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k＝3． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【变式训练4】（2025秋•北碚区校级月考）已知关于x的方程的两个解是x1＝1，x2＝2，又已知关于x的方程的两个解是x1＝1，x2＝3；又已知关于x的方程的两个解是x1＝﹣2，x2＝3．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想： 关于x的方程的两个解是x1＝a，x2＝b，并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略），小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： （1）关于x的方程的解为 ； （2）关于x的方程的两个解分别为m，n，求m2+n2的值； （3）关于x的方程的两个解是x1，x2（x1＜x2），若是正整数，求满足条件的整数k的值． 题型七：裂项相消法 【典例精讲1】（2025秋•通州区校级期中）观察下列等式：；； 根据以上规律，解决下列问题． （1）若n为正整数，猜想　　 ； （2）计算：　　 ； （3）解关于n的分式方程：． 【典例精讲2】（2026•定远县校级一模）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有1L水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；⋯⋯；第n次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这1L水经过多少次可以倒完？为什么？ 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出n次后，总共倒出的水量是多少？容器中的1L水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： ． 【变式训练1】（2026•瑶海区校级一模）观察下列式子： ， ， ， ， … （1）根据上面的变形规律，若n为正整数，则　　 ； （2）解分式方程：． 【变式训练2】（2025春•合肥校级期末）阅读理解并回答问题： （1）观察下列各式： 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来 　 ； （2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； （3）请利用上述规律，解方程：． 【变式训练3】观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． （1）若n为正整数，猜想 ； （2）解分式方程：； （3）利用上述规律计算：． 【变式训练4】（2025秋•昌平区期中）阅读下列材料并解决问题： ． （1）∴ （ ） ＝ （2）利用上述结论计算： ； （3）解方程：． 题型八：错解题 【典例精讲1】（2025秋•惠东县期末）小方同学解分式方程的过程如下，请认真阅读并解答下列问题： 解：第一步： 第二步：1﹣x＝6+1 第三步：﹣x＝﹣6+1﹣1 第四步：x＝6 第五步：检验：当x＝6时，x﹣6＝0 第六步：原分式方程无解． （1）解分式方程需要去分母：去分母的依据是（ ）（填序号）； ①分式基本性质； ②等式基本性质； ③乘法分配律． （2）小方的解法在第 步出错； （3）写出正确的解答过程． 【典例精讲2】（2025•金凤区校级模拟）解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： 第一步 4＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）2…第二步 4＝x2﹣2x﹣x2﹣4x+4…第三步 解得：x＝0…第四步 任务一：填空 （1）第 步是去分母，去分母的依据是 ． （2）第 步出现错误，错误的原因是 ． 任务二：填空 （1）直接写出该分式方程的正确结果 ． （2）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 【变式训练1】（2025秋•神池县期末）下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认真阅读，并解决老师提出的问题． 解分式方程： 解：第一步 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）第二步 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12第三步 … 问题解决： （1）以上解方程的过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； （2）请写出解该分式方程的正确过程． 【变式训练2】（2025秋•平城区期末）请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣1＝﹣x．① 去括号，得2x﹣2﹣1＝﹣x② 解得x＝1． 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0．③ 所以原分式方程无解．④ （1）你认为小明在第 步出现了错误；（只填序号） （2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项； （3）写出上述分式方程的正确解法． 【变式训练3】（2025秋•金湾区期末）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 第一步：x＝2x+1 第二步：x﹣2x＝1 第三步：﹣x＝1 第四步：x＝﹣1 第五步：检验：当x＝﹣1时，x+1＝0 ∴此分式方程无解 （1）以上解分式方程的步骤中，是否出现错误 （填“是或否”）； （2）如果有错误，请写出正确的解答过程． 【变式训练4】（2025秋•松桃县期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，1＝3+（x﹣1），…第一步 去括号得，1＝3+x﹣1，…第二步 解得，x＝﹣1，…第三步 检验：当x＝﹣1时，2﹣x≠0，…第四步 ∴x＝﹣1是原方程的根．…第五步 任务： （1）小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； （2）请你写出正确的解方程过程． 题型九：找规律问题 【典例精讲1】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x的解为x1＝2，x2； 方程x的解为x1＝3，x2； 方程x的解为x1＝4，x2； … （1）根据上面的规律，猜想方程x的解是 ； （2）利用材料提供的方法解关于x的方程：x； （3）已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x.（结果保留a） 【典例精讲2】（2025春•丹阳市校级期末）阅读下列材料：关于x的方程的解是（x1，x2表示未知数x的两个实数解，下同）；的解是；的解是． 请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是 ． 由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程： （1）； （2）； （3）． 【变式训练1】（2025春•朝阳区校级月考）【感知】下列一组方程：①；②；③，明明通过观察发现了其中蕴含的规律，并求出了前三个方程的解．他的解题过程如下： ①，解得x＝1或2； ②，解得x＝2或3； ③，解得x＝3或4． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）请写出第四个方程为 　　 ； （2）若n为正整数，则第n个方程是 ，其解为 ； 【探究】若n为正整数，关于x的方程的一个解是x＝10，求n的值． 【变式训练2】（2026春•沈丘县月考）阅读下列材料，解决问题：对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b． （1）方程的两个解中较大的一个为 ； （2）解关于x的方程； （3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 【变式训练3】（2026春•郫都区校级期中）新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝1，x2＝3． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．阅读以上材料，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则x1＝ ，x2＝ ； （2）若十字分式方程，的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞0，且x1＞x2），求的值． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $