专题02因式分解的应用六类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 聚焦因式分解六大应用场景，通过典例与变式构建从代数变形到几何、数论、新定义的知识应用体系，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形问题|1典例+3变式|面积体积关系推导恒等式|因式分解与几何直观结合，体现数形结合思想| |求值问题|1典例+3变式|已知条件下代数式化简求值|通过因式分解实现代数式变形，强化运算能力| |简便计算|1典例+3变式|公式法简化数值计算|突出因式分解简化运算的工具性| |整数整除问题|1典例+4变式|数式整除证明或参数求解|结合数论知识，培养推理意识| |多项式整除问题|1典例+3变式|多项式除法与因式分解关系|深化因式分解与多项式结构的联系| |新定义概念问题|1典例+2变式|新定义下多项式性质探究|提升数学语言表达与创新意识|

专题02 因式分解的应用六类题型 典例详解 类型一、利用因式分解计算几何图形问题 类型二、利用因式分解求值问题 类型三、利用因式分解进行简便计算 类型四、利用因式分解求整数整除问题 类型五、利用因式分解求多项式整除问题 类型六、利用因式分解求新定义的概念问题 压轴专练 类型一、利用因式分解计算几何图形问题 【典例1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】（1）；应用：（2）；应用： 【分析】本题考查面积法推导乘法公式，乘法公式的应用，圆的面积公式，通过“面积相等”建立代数恒等式是解题关键． （1）恒等式：用面积法表示剪后图形的两种面积，可得平方差公式；阴影面积：将阴影部分面积拆为平方差形式，然后逆用公式，简化为整数之和，求和即可； （2）恒等式：用面积法表示“拼成的大正方形”的两种面积，可得完全平方和公式；阴影面积：先设为，则，用半圆面积列方程，然后用完全平方变形求出，整体代入计算阴影面积即可． 【详解】（1）解：边长为的正方形减去边长为的正方形， 则剩余部分的面积为， 正方形剩余部分拼成长方形的面积为， 故； 应用：根据题意可知阴影部分的面积为 ， 故所有阴影部分的面积为． 答：；应用：． （2）解：据图可知，正方形的边长为，则面积为， 构成正方形的有两个正方形，面积分别为，；两个全等长方形，面积为， 根据两种方式表示的面积相等，可得； 应用：设，则， 则，， ， ， 化简得， 根据完全平方公式展开， 将代入，可得，即， 点为半圆上点正上方一点， ， ． 故阴影部分面积为． 答：；应用：． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式①___________． 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4） 根据图3中的几何体的体积和图4中几何体的体积得到关于的等式为___________．（结果写成整式的积的形式） 【答案】【知识再现】；【知识迁移】 【分析】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． [知识再现]根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； [知识迁移]图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式． 【详解】解：[知识再现]：图1阴影部分的面积为、图2阴影部分的面积为， ∴可以得到一个关于的等式， 故答案为：； [知识迁移]：如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【答案】（1）；（2）；；；（3） 【分析】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． （1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式； （3）根据（2）中公式直接因式分解即可； 【详解】解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式， （2）如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：； （3）根据（2）中结论可得． 【变式1-3】（20-21八年级上·广东中山·期末）如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）． (1)请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）； (2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了因式分解的几何背景，用不同式子表示出图丁的面积是解题关键，注意因式分解是“将一个多项式化为几个整式的积的形式”，不要写反了． （1）图丁的面积可以看做一个大长方形面积；也可以看做一个边长为的正方形，三个长为，宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和，据此求解即可； （2）根据图丁的面积不同求法结合因式分解的定义即可求解． 【详解】（1）解：图丁的面积可以看做一个长为，宽为的长方形的面积，则图丁的面积为，也可以看做一个边长为的正方形，三个长为，宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和，则图丁的面积为； （2）解：由（1）得． 类型二、利用因式分解求值问题 【典例2】（21-22七年级下·浙江金华·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将因式分解为，然后代入计算即可； （2）根据，，得，再代入计算，最后根据平方根的定义可得答案； （3）根据求得，计算得，继而得到，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， 当时，； 当时，； ∴的值为． 【变式2-1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段检测）根据题目要求，解答下列各问题： (1)已知，，  则 ． (2)已知，，则 ． (3)已知，，则 ． (4)已知，则 ． 【答案】(1)6 (2)1 (3) (4)11 【分析】本题主要考查整式的混合运算，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用因式分解的方法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）利用平方差公式进行求解即可； （4）利用完全平方公式进行运算即可． 【详解】（1）解：当，时， ， 故答案为：6； （2）解：当，时， ， 故答案为：1； （3）解：，， ， ， 故答案为：； （4）解： ， ， ， ， 故答案为：11； 【变式2-2】（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）先分组分解因式，再把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴ ． 【变式2-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 【答案】(1) (2)23 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）把原式化为，将，代入计算即可； （2）把原式变形为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵， ∴． 类型三、利用因式分解进行简便计算 【典例3】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键．利用平方差公式或直接计算 再减 4即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式3-1】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：_________． 【答案】4051 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解：． 【变式3-2】（25-26七年级下·湖南常德·期中）计算：_____． 【答案】 4 【分析】运用完全平方公式简化计算，观察式子变形后符合完全平方公式，代入计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【变式3-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）利用乘法公式简便计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式对已知式子进行变形，简便计算，即可得解． 【详解】解：原式 ． 类型四、利用因式分解求整数整除问题 【典例4】（24-25八年级上·山东威海·期中）对于任意整数n，都（    ） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式得出，即可作出判断． 【详解】解： ， 为任意整数， ，既能被2整除又能被4整除， 又∵、是连续整数， ∴、必有一个是偶数， ∴能被8整除，即能被8整除， 故选：C． 【变式4-1】（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了因式分解的应用（平方差公式、提取公因式法），熟练掌握因式分解的方法并结合整数的性质分析因数是解题的关键． （1）对因式分解，分析其因数，匹配选项； （2）先对用平方差公式因式分解，再化简，分析其是否含24的因数； （3）先因式分解，化简后根据能被36整除的条件，求n的最小值． 【详解】（1）解： ， ∵是正整数，是整数， ∴一定能被14整除， 故答案为：C； （2）解： ， ∵是正整数，和是连续整数， ∴能被2整除， ∴能被整除，即能被24整除； （3）解：， ∵能被36整除， ∴是整数， 即能被3整除， ∵是正整数，和是连续整数， ∴当时，能被3整除， 故的最小值为：2． 【变式4-2】（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 【变式4-3】（24-25八年级下·福建厦门·阶段检测）数学课上，老师和同学们玩猜数字游戏，小刘按照老师的要求 随意写一个能被9整除的正整数； 将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 计算，得到数； 将c中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 将d中一个数位上的非零数划去，得到； 将e中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数． 小天：老师，我最后得到的数字． 老师：你划去的数字是6． 老师是如何猜到的呢？小天对此非常好奇，经过查阅资料，他发现被9整除的数，其各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，证明过程如下： 试证明：一个正整数，若这个数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除． 证明：设是一个三位数，且能被9整除，则 因为能被9整除，能被9整除， 所以能被9整除 同理可知，一个正整数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除．请阅读上述材料，回答下列问题： (1)试判断能否被9整除，并说明理由； (2)试证明：这个猜数字游戏中，无论为何值，都会被9整除． (3)若小刘按照猜数字游戏的步骤得到的为3849，则划去的数字是__________． 【答案】(1)能被9整除，理由见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）判断的各数位上的数字之和是否能被9整除，即可； （2）设a中的各数位上的数字之和为，，其中k，为正整数，可得b中的各数位上的数字之和为，可设，其中为正整数，从而得到，即可解答； （3）设划去的数字为x，经过一系列操作后得到的数，其中且为正整数，由（2）得：c能被9整除，可得f的各位数字之和加上划去的数字x也能被9整除，即可求解． 【详解】（1）解：能被9整除，理由如下： ∵， ∴能被9整除； （2）解：设a中的各数位上的数字之和为，，其中k，为正整数， ∵将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数b， ∴b中的各数位上的数字之和为， ∴b能被9整除， 可设，其中为正整数， ∴， ∴c能被9整除； （3）解：设划去的数字为x，经过一系列操作后得到的数，其中且为正整数，由（2）得：c能被9整除， ∴f的各位数字之和加上划去的数字x也能被9整除， ∵f的各位数字之和为∶， ∴能被9整除， ∵24不能被9整除，且为正整数， ∴， 即划去的数字为3． 故答案为：3 【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键． 【变式4-4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；也可以表示成，一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作． （1）能被9整除吗？请说明理由； （2）小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．         小明的证明思路 因为　　① 　　② 　　③ 又因为代数式③，都能被3整除， 所以能被3整除 (1)能被9整除吗？请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 【答案】(1)能被9整除，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握数的整除的方法是解题的关键． （1）根据给定的运算可表示出：，即可得证； （2）根据，结合已知条件即可证得． 【详解】（1）解：能被9整除，理由为： ， 能被9整除； （2）解： ， ，都能被3整除， 就能被3整除， 故答案为：；；． 类型五、利用因式分解求多项式整除问题 【典例5】（23-24八年级上·重庆万州·期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（    ） （1）能被整除； （2）若能被整除，则或； （3）若能被整除，则，. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，整式除法，解三元一次方程组； （1）因式分解，即可判断； （2）因式分解，即可判断； （3）由因式分解可设 ，展开对比系数得方程组，解方程组，即可判断； 理解因式分解，能对所给整式进行正确的因式分解是是解题的关键． 【详解】解：（1） ， 能被整除，结论正确； （2） ，则或，结论正确； （3） 能被整除， 将整式因式分解后， 有一个因式为， 设 ， ， ， 解得：， 结论正确； 综上所述：（1）（2）（3）都正确，正确的个数为； 故选：D． 【变式5-1】（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查因式分解、数的整除、整式除法等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知，进而用m表示a、b、c，进而代入求解即可； （2）由题意知不能被3整除的数被3除的余数只能是1或2分类讨论，①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数．②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数．进而求证即可． 【详解】（1）解：由题意可知存在整数m，使得 即 所以，，， 所以； （2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或 ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数． 所以，， 由，为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数． 所以，， 由，及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 【变式5-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）阅读下列材料：，．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式，而且当时，多项式．回答下列问题： (1)一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式是何种关系？ (2)利用上面的结果求解：已知能整除，求． 【答案】(1)是的一个因式 (2) 【分析】本题考查了整式的除法． (1)根据当时，的值为，可得是M的一个因式； (2)根据能整除，可知是的一个因式，所以当时，可得：，解方程求出的值． 【详解】（1）解：当时，的值为， 多项式中含有因式， 是M的一个因式； （2）解：能整除， 是的一个因式， 时， 可得：， ． 【变式5-3】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）【阅读理解】由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图1： ∴，∴ 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：：余式为0，∴能被整除． 根据阅读材料，请解答下列问题： (1)______； (2)求，所得的余式； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有3张A卡片，16张B卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)-11 (4)能， 【分析】本题考查整式的除法；理解题意，仿照整数的除法列出竖式进行运算是解题的关键． （1）模仿例题，可用竖式计算； （2）模仿例题，可用竖式计算； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到24张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）列竖式为： ， 故答案为； （2）列竖式为： 余式为； （3）已知能被整除， 由以上除式可得得出，解得， 故答案为：； （4）能， 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，16张卡片，5张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为0，能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 类型六、利用因式分解求新定义的概念问题 【典例6】（2026·山东青岛·二模）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 【答案】(1)和， (2) (3) 【分析】（1）对多项式因式分解得出 ，结合定义即可求解； （2）由题意令其“零值”为，则多项式可写成 ，可知，即可求解； （3）由得，故“对称值”为3．设多项式的另一个“零值”为，根据已知它的“对称值”与 相同，得出方程，求得的值，即可求解． 【详解】（1）对多项式因式分解，得 令，得； 令，得 因此多项式的“零值”为和 根据“对称值”定义计算得： ，即“对称值”为． （2）展开多项式 ，得 因为两个“零值”相等，设相等的“零值”为，则多项式可写成 对比系数得 ， 解得 ， 因此“对称值”为． （3）对 因式分解，得 ， 因此它的两个“零值”为和 已知该多项式有一个“零值”为，因此 计算 的“对称值”得： 设多项式的另一个“零值”为， 已知它的“对称值”与 相同，即对称值为，且一个零值为， 因此可得 解得，即另一个“零值”为． 【变式6-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 【答案】(1)②③ (2) (3)9 (4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 【变式6-3】（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： (1)45是“k阶和倍数”，则______； (2)若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； (3)若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“k阶和倍数”的定义求解即可； （2）设原数为，则新数是，根据“k阶和倍数”的定义得到，据此化简即可求解； （3）设两位自然数的十位数字为，个位数字为，根据“7阶和倍数”的定义可得 ，化简得，故；要证明 是42的倍数，即证明 是42的倍数，只需证明 是2的倍数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴45是“k阶和倍数”，则； （2）解：设原两位数的十位为a，个位为b（，且a，b为整数），则 原数：①． 交换十位数字和个位数字得到的新数是：②， 将：， ∴， ∵， ∴． 两边同时除以，得： ； （3）解：设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）， 由p是“7阶和倍数”，得：， 整理得： ，化简得， 因此 ， 对因式分解：代入 ，得：， 可知 是21的倍数， 又∵和 是两个连续整数， ∴它们的乘积一定是偶数，即 也是2的倍数， ∵2和21互质， ∴ 一定是的倍数， ∴一定能被42整除．即一定是42的倍数． 1.（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2.（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）已知，求代数式的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）（2）先对多项式进行因式分解，然后整体代入即可求值． 【详解】（1）原式 ． 当时， 原式． （2）原式 ． 当时， 原式． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握综合运用提取公因式法与公式法进行因式分解及整体思想求值是解题的关键． 3.（25-26七年级上·吉林长春·期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 【答案】（1）；或；（2）能被11整除，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意完成证明过程即可； （2）根据即可得证． （3）根据题意得到即可． 【详解】解：（1）证明：∵① ② ， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． 故答案为：；或；    (2)能被11整除，理由如下：    ，    能被11整除；    (3) ， ，    设，    ，              能被7整除． 4.（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（），边长为m的正方形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为，将卡片C按如图3放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为． (1)=______，=______；（用含m、n的代数式表示） (2)若图3中阴影部分的面积，，则______； (3)若，，求图4中阴影部分的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)12． 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）如图1，阴影面积卡面A的面积卡片的面积； 如图2，阴影面积卡片的面积卡片A的面积； （2）由题意知，，根据可得，从而可求出，然后求出m，n的值即可； （3）由于已知，，所以在运算过程中出现：，要转化成，，才能用已知条件的数值代入． 【详解】（1）由题意得：卡片A的面积 ，卡片的面积，卡片的面积， ，， 故答案为：，； （2）由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得， ∴． 故答案为：； （3）， ， ， 图4中阴影部分的面积 ， ∵，， ． 答：图4中阴影部分的面积是12． 5.（22-23七年级下·北京昌平·期末）阅读材料： 试说明：命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”． 解：设表示一个三位数， 则 ． 因为能被3整除，所以如果也能被3整除，那么就能被3整除． (1)①一个四位数，如果能被9整除，试说明能被9整除； ②若一个五位数能被9整除，则　　； (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是　(数字“1”除外)； (3)由数字1至9组成的一个九位数(各数位上的数不重复)，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是　　． 【答案】(1)①见解析，②1 (2)3 (3)381654729 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键． （1）①首先把四位数改写成，由能被9整除，能被9整除，即可得出结论； ②首先把五位数改写成，然后根据这个五位数能被9整除得能被9整除，即可求得答案； （2）假设，则三位数，据此可得出答案； （3）由能被1整除，可得为质数，由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，由九位数中已有7，9，可得，由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，从而得到对应，由为质数可得，由能被2整除可得，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：①∵是一个四位数， 能被9整除，能被9整除， 四位数能被9整除； ② 是一个五位数， ， 五位数能被9整除， 能被9整除， ， 故答案为：1； （2）解：三位数的各位数字是任意三个连续的正整数， 不妨假设， ， 三位数的最小正因数一定是3(数字“1”除外)， 故答案为：3； （3）解： 均为0至9之间的整数， 由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则， 由九位数中已有7，9，可得， 由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到， 由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到， 这时的九位数为：， 对应， 两位数能被2整除， ， 当，，前七位组成的七位数是3816547，，符合题意， 此时这个九位数时：381654729， 当，，前七位组成的七位数是1836547，，不符合题意， 综上所述：此时这个九位数时：381654729， 故答案为：381654729． 6.（24-25八年级下·江西九江·阶段检测）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 【答案】(1)两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由见解析 (2)①C；②15和17 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式、平方差公式． （1）设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数，则两个连续的奇数的平方差为，利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出结论； （2）①利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出答案； ②利用平方差公式展开得 ，即可得出答案． 【详解】（1）解：两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由如下： 设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数， ， ∵m为任意整数， ∴是8的整数倍， 即两个连续的奇数的平方差能被8整除； （2）解：① ， ∵k为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C； ② ， ∴这两个数是15和17． 7.（20-21七年级下·广西贵港·期中）根据已知条件，求代数式的值： (1)已知， ，求的值： (2)已知，，求的值． 【答案】(1)144 (2)2 【分析】本题考查的是求代数式的值，因式分解的应用. （1）把化为，再进一步求解即可. （2）由可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ． （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 8.（24-25七年级上·上海杨浦·阶段检测）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当时，，得多项式必有一个因式，设，然后比较同类项的系数，进而可得出答案； （2）根据多项式既能被整除，又能被整除，得当或时，，将代入整理得①，将代入整理得②，再由①②解出，的值即可． 【详解】（1）解： 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； （2）解：多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：． ，． 9.（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图）． (1)图②中的阴影部分的面积为_____；（用含的代数式表示） (2)观察图②请你写出、、之间的等量关系是_____； (3)若，，求的值； (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图③，因式分解：______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据阴影部分是一个边长为的正方形即可求解； （）根据阴影部分的面积又可以看作大正方形的面积减去四个长方形的面积，再结合（）的结果即可求解； （）利用（）的等量关系解答即可； （）根据图形解答即可求解； 本题考查了完全平方公式及因式分解，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图②可知，阴影部分是一个边长为的正方形， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）解：由图②可知，阴影部分的面积又可以看作大正方形的面积减去四个长方形的面积， 即阴影部分的面积为， 由（1）知：阴影部分的面积为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； （4）解：由图可得，， 故答案为：． 10.（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】先把原式化成完全平方公式的形式，然后再按照完全平方公式分解后求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因式分解的应用六类题型 典例详解 类型一、利用因式分解计算几何图形问题 类型二、利用因式分解求值问题 类型三、利用因式分解进行简便计算 类型四、利用因式分解求整数整除问题 类型五、利用因式分解求多项式整除问题 类型六、利用因式分解求新定义的概念问题 压轴专练 类型一、利用因式分解计算几何图形问题 【典例1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式①___________． 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4） 根据图3中的几何体的体积和图4中几何体的体积得到关于的等式为___________．（结果写成整式的积的形式） 【变式1-2】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【变式1-3】（20-21八年级上·广东中山·期末）如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）． (1)请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）； (2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式． 类型二、利用因式分解求值问题 【典例2】（21-22七年级下·浙江金华·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【变式2-1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段检测）根据题目要求，解答下列各问题： (1)已知，，  则 ． (2)已知，，则 ． (3)已知，，则 ． (4)已知，则 ． 【变式2-2】（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【变式2-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 类型三、利用因式分解进行简便计算 【典例3】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 【变式3-1】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：_________． 【变式3-2】（25-26七年级下·湖南常德·期中）计算：_____． 【变式3-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）利用乘法公式简便计算：． 类型四、利用因式分解求整数整除问题 【典例4】（24-25八年级上·山东威海·期中）对于任意整数n，都（    ） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 【变式4-1】（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【变式4-2】（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【变式4-3】（24-25八年级下·福建厦门·阶段检测）数学课上，老师和同学们玩猜数字游戏，小刘按照老师的要求 随意写一个能被9整除的正整数； 将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 计算，得到数； 将c中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 将d中一个数位上的非零数划去，得到； 将e中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数． 小天：老师，我最后得到的数字． 老师：你划去的数字是6． 老师是如何猜到的呢？小天对此非常好奇，经过查阅资料，他发现被9整除的数，其各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，证明过程如下： 试证明：一个正整数，若这个数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除． 证明：设是一个三位数，且能被9整除，则 因为能被9整除，能被9整除， 所以能被9整除 同理可知，一个正整数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除．请阅读上述材料，回答下列问题： (1)试判断能否被9整除，并说明理由； (2)试证明：这个猜数字游戏中，无论为何值，都会被9整除． (3)若小刘按照猜数字游戏的步骤得到的为3849，则划去的数字是__________． 【变式4-4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；也可以表示成，一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作． （1）能被9整除吗？请说明理由； （2）小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．         小明的证明思路 因为　　① 　　② 　　③ 又因为代数式③，都能被3整除， 所以能被3整除 (1)能被9整除吗？请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 类型五、利用因式分解求多项式整除问题 【典例5】（23-24八年级上·重庆万州·期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（    ） （1）能被整除； （2）若能被整除，则或； （3）若能被整除，则，. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 【变式5-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）阅读下列材料：，．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式，而且当时，多项式．回答下列问题： (1)一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式是何种关系？ (2)利用上面的结果求解：已知能整除，求． 【变式5-3】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）【阅读理解】由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图1： ∴，∴ 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：：余式为0，∴能被整除． 根据阅读材料，请解答下列问题： (1)______； (2)求，所得的余式； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有3张A卡片，16张B卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 类型六、利用因式分解求新定义的概念问题 【典例6】（2026·山东青岛·二模）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 【变式6-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 【变式6-3】（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： (1)45是“k阶和倍数”，则______； (2)若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； (3)若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 1.（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）简便运算： (1) (2) 2.（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）已知，求代数式的值． （2）已知，求的值． 3.（25-26七年级上·吉林长春·期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 4.（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（），边长为m的正方形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为，将卡片C按如图3放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为． (1)=______，=______；（用含m、n的代数式表示） (2)若图3中阴影部分的面积，，则______； (3)若，，求图4中阴影部分的面积． 5.（22-23七年级下·北京昌平·期末）阅读材料： 试说明：命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”． 解：设表示一个三位数， 则 ． 因为能被3整除，所以如果也能被3整除，那么就能被3整除． (1)①一个四位数，如果能被9整除，试说明能被9整除； ②若一个五位数能被9整除，则　　； (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是　(数字“1”除外)； (3)由数字1至9组成的一个九位数(各数位上的数不重复)，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是　　． 6.（24-25八年级下·江西九江·阶段检测）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 7.（20-21七年级下·广西贵港·期中）根据已知条件，求代数式的值： (1)已知， ，求的值： (2)已知，，求的值． 8.（24-25七年级上·上海杨浦·阶段检测）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 9.（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图）． (1)图②中的阴影部分的面积为_____；（用含的代数式表示） (2)观察图②请你写出、、之间的等量关系是_____； (3)若，，求的值； (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图③，因式分解：______． 10.（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）利用因式分解计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $