专题4.6 因式分解40道计算题专项训练（4大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦因式分解四大核心方法，40道题从单一到综合递进，通过典型错题、实际情境题培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |提公因式法|10道|含基础计算、错误辨析、几何面积应用|从系数与字母公因式提取到实际问题建模，强化逆向思维| |平方差公式|10道|结合新定义“共因多项式”、“神秘数”及几何拼图|从公式直接应用到代数推理与几何直观结合，培养模型意识| |完全平方公式|10道|涉及配方求最值、“双一次可分解式”判断|从公式结构特征识别到代数式变形，发展符号意识| |综合应用|10道|含多方法联用、阅读材料题（添项法）|整合前三类方法，形成“提公因式→公式法→彻底分解”完整逻辑链|

专题4.6 因式分解40道计算题专项训练（4大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 用平方差公式分解因式 题型三 用完全平方公式分解因式 题型四 综合应用提公因式法和公式法分解因式 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（2023七年级下·甘肃平凉）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．把作为一组，作为一组，分别展开，再把作为一个整体，继续展开，然后进行因式分解即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期末）（1）计算； （2）化简：； （3）已知若，求的结果． （4）因式分解：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查实数的运算，整式的加减，求代数式的值，因式分解，掌握相应的运算法则、性质、定义、公式及运算顺序是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算； （2）根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法将原式化简，再合并同类项； （3）根据幂的乘方\同底数幂的乘法将转化为，再整体代入，最后进行有理数的乘方运算； （4）直接提出公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解： ． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【分析】（1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据题意和（1）所求即可得到答案； （3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案； （4）根据求解即可； （5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说， 较大的正方形的面积为可以用等式表示为：． （2）解：由题意得图2中有等式， 图3中有等式 （3）解：大正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为， ∴； （4）解：∵， ∴； （5）解： ， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据十进制数表示方法列出代数式即可； （2）根据（1）列出代数式，变形后，得出一定能被9整除． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴ ∴一定能被9整除． 7．（24-25七年级下·山东淄博·月考）如图，是某小区的一块空地，现要加以绿化，其中点O是空地内安装喷泉的位置，它到三边的距离相等，即．a，b，c为的三边，，的长，现测得米，米，米，米． (1)这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为___________． (2)利用因式分解求这块空地的面积． 【答案】(1)； (2)424平方米． 【分析】本题考查列代数式，因式分解的应用： （1）根据，列出表达式即可； （2）提公因式法进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵点O到三边的距离为、、， ∴，，． ∵， ∴，，． ∵， ∴． （2）， 将米、米、米、米代入上式， 得：（平方米）． 答：这块空地的面积为424平方米． 8．（25-26七年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 9．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 【答案】(1)①② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数求值，求一个数的立方根，因式分解等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）①代数求值即可； ②表示出，代入求值即可； （2）原式进行相减，因式分解整理，然后进行分析即可． 【详解】（1）解：①将，代入得， 解得； ②将代入和得， ，， ∴，， ∵，均为正数， ∴， 解得， ∴ ∴； （2）解： 由得，， 将代入上式得，， ∴ ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·广西北海·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键． 【详解】解：设， 将代入，得： ∴原式． 【经典计算题二 用平方差公式分解因式】 1．（24-25七年级下·上海·期中）已知数、、、满足，，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解．首先根据可得，又因为，可得，把分解因式可得：，把代入可得，利用多项式乘多项式的法则展开可得，再把和代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用平方差公式分解； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（23-24七年级下·北京海淀·期末）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先利用、凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可； （3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可； （4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出，再把分解为，得出，然后把看作整体，利用完全平方公式变形，得出，然后再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分解的方法． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）因式分解或求值 (1)因式分解：①；②． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)①；② (2)另一个因式是，的值为 【分析】（1）①提公因式，即可求解；②根据平方差公式因式分解即可求解； （2）设另一个因式为 ，根据多项式的乘法计算，对比多项式的各项，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：设另一个因式为 由题意得： ∴， 解得：， ∴另一个因式是，的值为 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键． 6．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）设a，b都是正整数，且满足， (1)若a是质数，b是奇数，求的值； (2)若a是偶数，b是奇数，求的值， 【答案】(1)21 (2)21或27 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，求一个数的算术平方根： （1）根据题意可得也是奇数，则是偶数，再由a是质数，得到，进而得到，则，据此求解即可； （2）设（m、n都为正整数），则可推出，再由得到，再讨论n的值，进而确定m的值即可． 【详解】（1）解：∵b是奇数， ∴也是奇数， ∵， ∴是偶数， 又∵a是质数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设（m、n都为正整数）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，或（舍去），符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 综上所述，或， ∴或， ∴或． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是__________； (2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；②图见解析， 【分析】（1）通过因式分解，找出两个多项式的共同因式； （2）先分解原多项式，再构造一个含有相同因式的二次三项式； （3）①根据拼图的面积表示多项式，写出因式分解；②画出图形再进行因式分解即可． 【详解】（1）解：，， 故共因多项式和的同因子是． （2）解：， ， 则和的同因子是， 故是的共因多项式． （3）①解：由图可知，图2的面积可表示为， 也可表示为， 故． ②解：如图为所求拼图， 拼图的面积可表示为， 也可表示为， 则， 与的同因子是， 故是的共因多项式． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 【答案】(1)43 (2) 见解析 【分析】（1）利用平方差公式法进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算后判断即可. 【详解】（1）解：， ∴的结果是3的43倍； （2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴能被整除 即与的平方差能被3整除． 9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【详解】（1）解：． 设， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 10．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 【答案】(1)40人 (2)16人 (3)13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据题意列方程组求解即可； （3）设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且），根据题意可得方程，化简得，最后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，7列2层空心方阵的人数为：（人）． 答：7列2层空心方阵的人数为40人． （2）解：由题意得，， 解得，， ． 答：该代表队的人数为16人． （3）解：设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且）， 则由题意得，， 化简得，． ，为正整数，且， 当时，，解得，，即可以排成13列1层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成8列2层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成7列3层空心方阵． 答：所有的正方形方阵排列方式为：13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵． 【经典计算题三 用完全平方公式分解因式】 1．（2023七年级下·江苏苏州）因式分解：． 【答案】 【分析】首先将原式中变形为，提取负号后将原式转化为含公因式的形式；接着提取公因式，对剩余多项式分组分解，先分组为，再分别提取公因式，最终分解为． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【答案】(1)② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． 【详解】（1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 4．（25-26七年级下·山西大同·期末）配方法是一种重要的数学思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法． 例如：把代数式进行配方． 解： 从而利用平方差公式可以将多项式因式分解为． 问题解决： (1)已知M是含字母x的单项式，要使多项式是完全平方式，则M为______． (2)利用上述方法分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是完全平方式，利用完全平方公式，平方差公式分解因式. （1）由完全平方式的结构特征可得答案. （2）把原式化为，再进一步利用平方差公式分解因式即可. 【详解】（1）解：∵多项式是完全平方式，M是含字母x的单项式， ∴， 故答案为：. （2）解： . 5．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）【提出问题】我们都知道，对于形如、以及形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？ 【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如的多项式若改写成具有平方差或完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解． 例如；即先加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，再写成整式乘积的形式． 【解决问题】分解因式：①；②． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查因式分解，熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．①根据题干中所给例子分解即可；②先将原式提取公因式，再根据题干中所给例子分解即可． 【详解】解：① ； ② ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据例题的方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）． (1)当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解． 【答案】(1) (2)①a=b；② 【分析】（1）直接将，代入二元一次方程中解关于y的方程即可； （2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得； ②把代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题． 【详解】（1）解：当，时，原方程为：， ∴； （2）①关系是a =b，理由： 把代入二元一次方程得 ， ， ， ， ∴； ②由①知道， ∴原方程可化为：， ∴ ∵该方程组的解与与的取值无关，. ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义、完全平方公式的应用，“有解必代”是解题的关键． 8．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 9．（23-24七年级下·河北张家口·期中）填数游戏：在中的每个“□”内，填入适当的整数，使之能分解因式． (1)分解因式：； (2)在“□”内填入和0，请你写出所有不同的结果，并分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用完全平方公式因式分解即可； （2）在“□”内分别填入和0及和0，并分别进行因式分解即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握运用提公因式法、平方差公式及完全平方公式进行因式分解是解本题的关键． 10．（23-24七年级下·四川眉山·期末）已知对于任意实数x代数式的最小值是0，代数式，当时的最小值是0． (1)求代数式的值是最小值时x的值． (2)判断代数式的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式的最大值或者最小值 【答案】(1) (2)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，得出，即可求解； （2）根据完全平方公式因式分解，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴时，最小值为0； （2）解：∵ ∵ ∴，有最大值，最大值为 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意凑出平方项是解题的关键． 【经典计算题四 综合应用提公因式法和公式法分解因式】 1．（24-25七年级下·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先利用平方差公式分解因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期中）分解因式：（n为大于2的正整数） 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，本题先提取公因式，再利用完全平方公式与平方差公式进行分解即可，熟记把多项式的每个因式都分解到不能再分解为止是解本题的关键． 【详解】解： ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）利用因式分解计算： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）观察式子，每一项都含有公因式3.14，可利用提公因式法进行因式分解来简便计算． （2）先对分子分母分别进行因式分解，再进行约分计算． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【点睛】熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可； （3）先变形，再提取公因式，再将括号内的同类项合并； （4）先提取公因式，再将括号内的同类项合并，合并后再提取公因式2即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（25-26七年级下·山西临汾·期中）形如及的式子，我们叫做“完全平方式”．在运用公式法进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题． 例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2． (1)代数式的最小值是________，此时的值是_______． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最值（请说明“最大值”或“最小值”），并求出此时相应的的值． 【答案】(1)3，-2 (2)-6 (3)代数式的最大值为5，此时x=-1 【分析】（1）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可求解； （2）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题； （3）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值是3，此时的值是-2； 故答案为：3，-2 （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为-6； （3）解： ， ， ∵， ∴ ∴， ∴代数式的最大值为5，此时x=-1． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用完全平方公式确定最值问题，属于中考常考题型． 6．（23-24七年级下·河南南阳·月考）学完因式分解后，小帅同学总结出了因式分解的流程图，如图． 下面是小明同学的因式分解过程： 回答下面的问题： (1)如果按照小帅同学的流程图进行因式分解，那么小明同学从第______步（填序号）开始出现了问题，与流程图的第______步不一致，造成分解不彻底． (2)写出正确的因式分解过程． (3)把多项式进行因式分解． 【答案】(1)②，三 (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． （1）根据小帅同学的解答过程和因式分解的流程图分析即可； （2）根据因式分解的流程图的步骤分解即可； （3）根据因式分解的流程图的步骤分解即可． 【详解】（1）小明同学从第②步开始出现了问题，与流程图的第三步不一致，造成分解不彻底． 故答案为：②，三； （2）； （3）． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述因式分解的方法是______，共应用了______次． (2)分解因式：（n为正整数）． 【答案】(1)提公因式法  2 (2) 【分析】（1）根据已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：提公因式法 ， 2 （2）解：原式 … ． 【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，读懂题意得出分解因式的规律是解答此题的关键． 8．（25-26七年级下·山西·期末）阅读与思考 在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”． 例如：． 参照上述方法，我们可以对因式分解，下面是因式分解的部分解答过程． 任务： (1)请根据以上阅读材料补充完整对因式分解的过程． (2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在题干的基础上再提取公因式，整理即可； （2）由（1）可知求出的值即可求出的值．将变形为，再代入和的值即得出的值，由此即得出结果． 【详解】（1） ． ； （2）∵ ∴． 【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式例如：，． (1)下列各式中，是完全平方式的是． ． (2)若和都是完全平方式（其中，都是常数），求的值． (3)多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况） 【答案】(1)①③⑤ (2)或 (3)，，，． 【分析】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）根据完全平方式的定义分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①， ②无法写成另一个整式的完全平方的形式， ③， ④无法写成另一个整式的完全平方的形式， ⑤ ⑥，无法写成另一个整式的完全平方的形式； （2）解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）解：∵， ， ， ， ∴多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 10．（24-25七年级下·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6 因式分解40道计算题专项训练（4大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 用平方差公式分解因式 题型三 用完全平方公式分解因式 题型四 综合应用提公因式法和公式法分解因式 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（2023七年级下·甘肃平凉）分解因式：． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期末）（1）计算； （2）化简：； （3）已知若，求的结果． （4）因式分解：． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 7．（24-25七年级下·山东淄博·月考）如图，是某小区的一块空地，现要加以绿化，其中点O是空地内安装喷泉的位置，它到三边的距离相等，即．a，b，c为的三边，，的长，现测得米，米，米，米． (1)这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为___________． (2)利用因式分解求这块空地的面积． 8．（25-26七年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 9．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 10．（23-24七年级下·广西北海·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【经典计算题二 用平方差公式分解因式】 1．（24-25七年级下·上海·期中）已知数、、、满足，，求的值． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）因式分解： (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·北京海淀·期末）分解因式： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）因式分解或求值 (1)因式分解：①；②． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 6．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）设a，b都是正整数，且满足， (1)若a是质数，b是奇数，求的值； (2)若a是偶数，b是奇数，求的值， 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是__________； (2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 10．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 【经典计算题三 用完全平方公式分解因式】 1．（2023七年级下·江苏苏州）因式分解：． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 4．（25-26七年级下·山西大同·期末）配方法是一种重要的数学思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法． 例如：把代数式进行配方． 解： 从而利用平方差公式可以将多项式因式分解为． 问题解决： (1)已知M是含字母x的单项式，要使多项式是完全平方式，则M为______． (2)利用上述方法分解因式：． 5．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）【提出问题】我们都知道，对于形如、以及形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？ 【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如的多项式若改写成具有平方差或完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解． 例如；即先加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，再写成整式乘积的形式． 【解决问题】分解因式：①；②． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式： (1)． (2)． 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）． (1)当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解． 8．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 9．（23-24七年级下·河北张家口·期中）填数游戏：在中的每个“□”内，填入适当的整数，使之能分解因式． (1)分解因式：； (2)在“□”内填入和0，请你写出所有不同的结果，并分解因式． 10．（23-24七年级下·四川眉山·期末）已知对于任意实数x代数式的最小值是0，代数式，当时的最小值是0． (1)求代数式的值是最小值时x的值． (2)判断代数式的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式的最大值或者最小值 【经典计算题四 综合应用提公因式法和公式法分解因式】 1．（24-25七年级下·上海·期中）因式分解： 2．（23-24七年级下·上海长宁·期中）分解因式：（n为大于2的正整数） 3．（2025七年级下·全国·专题练习）利用因式分解计算： (1)． (2)． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级下·山西临汾·期中）形如及的式子，我们叫做“完全平方式”．在运用公式法进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题． 例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2． (1)代数式的最小值是________，此时的值是_______． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最值（请说明“最大值”或“最小值”），并求出此时相应的的值． 6．（23-24七年级下·河南南阳·月考）学完因式分解后，小帅同学总结出了因式分解的流程图，如图． 下面是小明同学的因式分解过程： 回答下面的问题： (1)如果按照小帅同学的流程图进行因式分解，那么小明同学从第______步（填序号）开始出现了问题，与流程图的第______步不一致，造成分解不彻底． (2)写出正确的因式分解过程． (3)把多项式进行因式分解． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述因式分解的方法是______，共应用了______次． (2)分解因式：（n为正整数）． 8．（25-26七年级下·山西·期末）阅读与思考 在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”． 例如：． 参照上述方法，我们可以对因式分解，下面是因式分解的部分解答过程． 任务： (1)请根据以上阅读材料补充完整对因式分解的过程． (2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求的值． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式例如：，． (1)下列各式中，是完全平方式的是． ． (2)若和都是完全平方式（其中，都是常数），求的值． (3)多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况） 10．（24-25七年级下·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 学科网（北京）股份有限公司 $