专题01 因式分解的定义、判别与应用五大题型（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

专题01 因式分解的定义、判别与应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一 判断是否是因式分解（常考点） 1 题型二 已知因式分解的结果求参数（重点） 1 题型三 几何问题-因式分解的应用（难点） 2 题型四 阅读材料题-因式分解的应用（重难点） 5 题型五 错中求解问题-因式分解的应用（难点） 7 B 综合攻坚 能力跃升 题型一 判断是否是因式分解（常考点） 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数（重点） 5．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式，整式，若可以分解为，求． 题型三 几何问题-因式分解的应用（难点） 8．数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 9．（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 10．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 题型四 阅读材料题-因式分解的应用（重难点） 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 13．（25-26八年级下·重庆万州·开学考试）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设，则，比较系数得， 解得． 解法二：设，由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有因式和，求的值； (2)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法：设（为整式）． 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知多项式有因式和，则__________，__________． (2)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式因式分解． 题型五 错中求解问题-因式分解的应用（难点） 15．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为______________． 16．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 17.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________． 18．甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 6．（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知，，均是大于的正整数，且满足，则符合条件的数对共有______组． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果 可分解为， 则 ___________________________ 9．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为______． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 12．（23-24八年级下·全国·暑假作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 13．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 … 按上表规律，完成下列问题： ① ； ② ． (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则…… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 15．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解的定义、判别与应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一 判断是否是因式分解（常考点） 1 题型二 已知因式分解的结果求参数（重点） 3 题型三 几何问题-因式分解的应用（难点） 5 题型四 阅读材料题-因式分解的应用（重难点） 10 题型五 错中求解问题-因式分解的应用（难点） 14 B 综合攻坚 能力跃升 题型一 判断是否是因式分解（常考点） 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】因式分解要求变形结果是几个整式的乘积，且分解正确、分解彻底，根据要求逐项判断即可． 【规范解答】解：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式， A、等式右边不是乘积形式，不符合题意； B、，既是因式分解，分解结果也正确，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，是整式乘法，不符合题意； D、，是因式分解，但分解错误，不符合题意． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，因式分解的定义是将一个多项式化为几个整式的积的形式． 选项A是整式乘法，选项C左边不是多项式，选项D仅提取数字，选项B符合定义． 【规范解答】解：因式分解需满足左边为多项式，右边为整式的积， 选项A：左边为积，右边为多项式，是整式乘法，不符合因式分解的定义； 选项B：左边为多项式，右边为，是积的形式，符合因式分解的定义； 选项C：左边含分式，不是多项式，不符合因式分解的定义； 选项D：左边为多项式，右边为积的形式，但仅提取数字，不符合因式分解的定义； 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：∵因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A．，右边是积的形式，且等式成立，故该选项正确； B．，等式不成立，且正确因式分解应为，故该选项错误； C．，是从积到多项式，是整式乘法，不是因式分解，故该选项错误； D．，右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项错误． 故选：A． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了提公因式法和公式法的综合运用，掌握公式法分解因式是解题的关键． 利用提公因式法与公式法进逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，不是因式分解，故D不符合题意； 故选：B． 题型二 已知因式分解的结果求参数（重点） 5．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解与多项式根的关系（因式定理），解题的关键是利用因式定理，若多项式含有因式，当时，则，建立关于参数的方程组求解． 根据因式定理，由多项式含因式和，得和是方程的根，代入方程得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再代入计算结果． 【规范解答】解：设多项式分解因式的结果中有因式和， 当和时，， 即 化简得 即 由得，代入，得， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【思路引导】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【规范解答】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【规范解答】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 题型三 几何问题-因式分解的应用（难点） 8．数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)k所有可能的取值为7或8或13． 【规范解答】（1）解：根据图形得：； （2）解：画出图形如下： ∴； （3）解：设，其中、是4的正因数，、是3的正因数， ∴，； ，； ，； 综上，k所有可能的取值为7或8或13． 9．（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ；（2），过程见解析；（3）第三个因式为 【思路引导】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【规范解答】解：（1） ； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 10．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【规范解答】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 题型四 阅读材料题-因式分解的应用（重难点） 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【思路引导】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【规范解答】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 13．（25-26八年级下·重庆万州·开学考试）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设，则，比较系数得， 解得． 解法二：设，由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有因式和，求的值； (2)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）设，由于上式为恒等式，分别取，得，求解即可得出结果； （2）设，则，比较系数得，解得，从而可得该多项式为，最后分解因式即可得出结果． 【规范解答】（1）解：设， 由于上式为恒等式，分别取，得 ， 解得． （2）解：设， 则， 比较系数得， 解得， 该多项式为， ． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法：设（为整式）． 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知多项式有因式和，则__________，__________． (2)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)  30 (2)， 【思路引导】（1）设（为整式），分别取和得关于和的二元一次方程组，求解即可； （2）设，将等式右边展开，比较系数，得关于的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：，． 【提示】设（为整式）， 分别取和得 解得： （2）解：设． ， 解得 多项式， ． 【考点剖析】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． 题型五 错中求解问题-因式分解的应用（难点） 15．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为______________． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．先根据分解因式时，甲看错了9，分解结果为，求出，再分解因式即可． 【规范解答】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为， ∴在中，是正确的， ∴． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【规范解答】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 17.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________． 【答案】 【思路引导】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解． 【规范解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为， ∴在＝x2+6x+8中，a＝6是正确的， ∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为， ∴在＝x2+10x+9中，b＝9是正确的， ∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝． 故答案为： 【考点剖析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键． 18．甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____． 【答案】21． 【思路引导】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可． 【规范解答】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）， ∴a＝6， 乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）， ∴b＝9， ∴2a+b＝12+9＝21． 故答案为：21． 【考点剖析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【规范解答】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【规范解答】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 3．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【规范解答】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 4．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【规范解答】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 5．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【规范解答】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解的应用，由于多项式能分解成两个一次因式的积，设分解形式为，展开后比较系数，得到方程组．通过求解方程组，得到，代入表达式计算即可． 【规范解答】解：设多项式分解为，展开得： 与多项式比较系数： 由和取整数解，． 代入得，； 代入得到，解得， ∴， ∴， 验证其他方程均成立． 当时，代入， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知，，均是大于的正整数，且满足，则符合条件的数对共有______组． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了提取公因式中基本公式的形式认知，同时考查了分情况讨论的能力，基本公式和枚举法的应用是解题关键．通过将给定的方程重新排列移项，然后再进行分层次提取公因式，再根据式子的关系枚举法求数值的取值个数即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ，，均是大于的正整数， 当时，， 当，时，， ，，即； 当，时，， ，，即； 当，时，， ，，即； 当时，无法得到符合题意的值， ，，三个取值可以互换， 所对应的，，三个取值有种可能， 所对应的，，三个取值有种可能， 所对应的，，三个取值有种可能． (组)． 故答案为： 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果 可分解为， 则 ___________________________ 【答案】 【思路引导】本此题考查了因式分解的应用，多项式乘以多项式法则，负整指数幂，熟练掌握多项式乘多项式和负整指数幂的法则是解本题的关键． 已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，再将a和b的值代入到中计算即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意得： ∴ 解得，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为______． 【答案】11 【思路引导】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【规范解答】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，见解析 (2)是 (3)不是因式分解，见解析 【思路引导】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 【规范解答】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【思路引导】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【规范解答】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 12．（23-24八年级下·全国·暑假作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【思路引导】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 13．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 【答案】，． 【思路引导】本题主要考查了因式分解与整式乘法之间的关系，设另一个因式为，利用多项式乘法得到，进而得到，求出，则，． 【规范解答】解：为的一个因式， 可设另一个因式为 ∴ ， ， ∴，． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 … 按上表规律，完成下列问题： ① ； ② ． (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则…… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 【答案】(1)①；；②； (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． （1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）运用反证法，完全平方公式，结合题意分类讨论即可． 【规范解答】（1）解：观察规律，可得， ① ； ② ； 故答案为：①；；②； （2）证明：反证法：假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数， 则为的倍数， ∵不是的倍数，矛盾， ∴，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数， 则为的倍数， ∵不是的倍数，矛盾， ∴，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数． ∵是偶数，矛盾． ∴ ，不可能一个是奇数一个是偶数．         综上所述，假设不成立，故兴趣小组的猜测正确． 15．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【思路引导】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【规范解答】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【考点剖析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $