精品解析：山西朔州市怀仁市怀仁大地高中学校2025-2026学年高二数学下学期第二次月考考试题

怀仁大地高中学校2025-2026学年下学期第二次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选图其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 2. 已知随机变量X服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 3. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ） A. B. C. D. 4. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是（ ） A. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 B. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 若变量y和x之间的相关系数，则变量y与x之间具有线性相关关系 5. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ） 附：，其中． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 6. 已知呈线性相关关系的变量之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点(　 　) A. B. C. D. 7. 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） X 0 1 2 P n m A. B. 5 C. 7 D. 21 8. 一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 在回归模型中，决定系数越大，则模型的拟合效果越好 B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，且此时推断犯错误的概率不大于 C. 具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 10. 下列各式正确的是（ ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 的展开式中的系数为 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 11. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某组有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________. 13. 已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________． x 5 6 7 8 9 y 3.5 4 5 6 6.5 14. 某校高二年级学生数学考试的成绩（单位:分）服从正态分布，从中任取一个学生的数学成绩，记该学生的成绩在内为事件，记该学生的成绩在内为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率_____（用分数表示） 附：若，则，， 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： （1）有女生但不少于男生； （2）女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 16. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率． 17. 世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表： 组别 [0,20） [20,40） [40,60） [60,80） [80,100） 频数 2 250 450 290 8 （1）求所得样本的中位数（精确到百元）； （2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上； （3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望. 附:若，则 ， 18. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 （1）求相关系数r，并说明其意义； （2）建立y关于x的线性回归方程； （3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 19. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄分为“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到1名“25周岁以下组”工人的概率； （2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件列出列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“生产能手与工人所在的年龄组”是否有关． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁大地高中学校2025-2026学年下学期第二次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选图其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得展开式的通项为， 令，即，所以展开式中的常数项为. 2. 已知随机变量X服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布概率公式计算求解. 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 3. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解． 【详解】由题可知，不同报法的种数是． 4. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是（ ） A. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 B. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 若变量y和x之间的相关系数，则变量y与x之间具有线性相关关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关指数、回归直线方程、残差、相关系数等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A，用相关指数来刻画回归效果，的值越接近，说明模型的拟合效果越好，所以A选项错误. B，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，正确. C，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确. D，接近，变量y与x之间具有线性相关关系，正确. 所以错误的为A. 故选：A 5. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ） 附：，其中． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】设被调查的男性有人，则女性有人，列出列联表，根据独立性检验的基本思想可得出关于的不等式，结合可得出的值，即可得出被调查的男性中不喜爱钓鱼的人数至少为. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜爱钓鱼 不喜爱钓鱼 总计 则， 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则， 所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人． 6. 已知呈线性相关关系的变量之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为线性回归方程必过样本中心点， ，， 线性回归方程必过. 7. 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） X 0 1 2 P n m A. B. 5 C. 7 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案. 【详解】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D 8. 一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得. 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以 . 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 在回归模型中，决定系数越大，则模型的拟合效果越好 B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，且此时推断犯错误的概率不大于 C. 具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B选项，，故不能在的小概率值下判断与有关联，故B错误； 对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入得，解得，故C正确； 对于D选项，样本点都在直线上，则完全正相关，所以相关系数为，D项错误．故选AC． 10. 下列各式正确的是（ ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 的展开式中的系数为 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 【答案】ABC 【解析】 【分析】由组合数的性质和二项式定理，计数原理及排列组合可得. 【详解】对于A，由题意得或，解得或；故A正确 对于B，由， 所以，故B正确； 对于C，的展开式中的系数为，故C正确； 对于D，将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，故D错误. 11. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某组有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________. 【答案】 【解析】 【分析】 通过P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)，分别求出概率相加即可． 【详解】解：P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝＋＋＝. 故答案为：． 13. 已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________． x 5 6 7 8 9 y 3.5 4 5 6 6.5 【答案】 【解析】 【分析】经验回归直线方程过样本点的中心，所以把代入，结合残差公式联立方程组可求得的值，再代入求解即可. 【详解】由已知得，所以，① 又因为时，残差为-0.1，故，② 联立①②得 ；所以经验回归直线方程为， 所以，当时，． 14. 某校高二年级学生数学考试的成绩（单位:分）服从正态分布，从中任取一个学生的数学成绩，记该学生的成绩在内为事件，记该学生的成绩在内为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率_____（用分数表示） 附：若，则，， 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的概率分布即可计算积事件的概率与事件的概率，利用条件概率公式代入计算即可． 【详解】因为服从正态分布，则， 则 ； ； ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： （1）有女生但不少于男生； （2）女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 【答案】（1）5400 （2）4620 【解析】 【分析】（1）分类讨论有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，利用排列组合结合分类计数原理即可求解； （2）分类讨论男生甲入选和不入选，利用排列组合结合分类计数原理即可求解. 【小问1详解】 由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生， ①有4个女生的选法有：种； ②有3个女生的选法有：种； 不同的安排方法种数有种． 【小问2详解】 因为女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表， ①男生甲入选的安排方法有：种； ②男生甲不入选的安排方法有：种； 所以不同的安排方法种数有种． 16. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率． 【答案】(1) . (2) . 【解析】 【详解】设表示第株甲种大树成活， ；设表示第株乙种大树成活， 则独立，且． （Ⅰ）至少有1株成活的概率为： ； （Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活1株的概率为： ． 17. 世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表： 组别 [0,20） [20,40） [40,60） [60,80） [80,100） 频数 2 250 450 290 8 （1）求所得样本的中位数（精确到百元）； （2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上； （3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望. 附:若，则 ， 【答案】（1）51；（2）805；（3）见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据中位数定义列式解得中位数，（2）由正态分布得旅游费用支出在元以上的概率为，再根据频数等于总数与频率乘积得人数.(3)先确定随机变量取法，再利用组合数分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：（1）设样本的中位数为，则， 解得，所得样本中位数为（百元）. （2），，， 旅游费用支出在元以上的概率为 ， ， 估计有位同学旅游费用支出在元以上. （3）的可能取值为，，，， ， ， ， ， ∴的分布列为 . 18. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 （1）求相关系数r，并说明其意义； （2）建立y关于x的线性回归方程； （3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】（1），与完全负相关 （2） （3）16元 【解析】 【小问1详解】 ，， 故， 故与完全负相关． 【小问2详解】 ， 故，回归方程为． 【小问3详解】 由题设，此时，故，故定价最高为16元． 19. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄分为“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到1名“25周岁以下组”工人的概率； （2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件列出列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“生产能手与工人所在的年龄组”是否有关． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2） 年龄组 生产能手情况 合计 生产能手 非生产能手 25周岁以上(含25周岁)组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 生产能手与工人所在的年龄组无关． 【解析】 【分析】（1）根据样本中25周岁以上（含25周岁）工人和25周岁以下工人人数，利用分层抽样的计算方法，得到各组的人数，再利用频率分布直方图计算日平均生产件数不足60件的工人人数，利用古典概型计算概率； （2）根据频率分布直方图得到列联表内数据，计算判断结论即可． 【小问1详解】 由已知得，25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名， 样本中有“25周岁以上（含25周岁）”组工人有名， “25周岁以下”组工人名， 所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中， “25周岁以上（含25周岁）”组工人有名，记为，，； “25周岁以下”组工人有名，记为，． 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种： ，，，，，，，，，． 其中，至少有1名“25周岁以下”组工人的可能结果共有7种：，，，，，，． 故所求的概率． 【小问2详解】 由题图可知，在抽取的100名工人中， “25周岁以上（含25周岁）”组中的生产能手有名， “25周岁以下”组中的生产能手有名． 据此可得列联表如下： 年龄组 生产能手情况 合计 生产能手 非生产能手 25周岁以上(含25周岁)组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 零假设为：生产能手与工人所在的年龄组无关． 由表中数据得； 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即生产能手与工人所在的年龄组无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $