专题 期末真题百练通关（期末复习专项训练，177题24个常考题+14大压轴题型）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 177题覆盖24个常考题型+14个压轴题型，以真题为载体系统整合不等式、平行线、三角形等核心知识，突出从基础到综合的递进训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填常考题|24题型（含不等式性质与解集、三角形三线、全等判定等）|聚焦基础概念辨析与基本技能，如不等式整数解、三角形内角和计算|从概念定义（如不等式性质）到简单应用（如三角形三边关系），形成完整知识链| |解答压轴题|14题型（含不等式组方案问题、平行线拐点、全等模型、等腰动态问题等）|强调综合应用与模型建构，如倍长中线模型、等腰存在性探究|以核心模型（如全等旋转模型）为统领，整合多知识点，培养推理意识与动态思维|

专题01 期末真题百练通关 （177题24个常考题+14大压轴题型） 选填常考题 题型20 三角形全等的判定 题型1 不等式的定义及其性质 题型21 等腰三角形的性质 题型2 求一元一次不等式的解集 题型22 等腰三角形的判定 题型3 求一元一次不等式的整数解 题型23 等边三角形的性质及判定 题型4 用一元一次不等式解决实际问题 题型24 线段垂直平分线 题型5 求一元一次不等式组的解集 解答压轴题 题型6 由一元一次不等式组的解集求参数 题型25 用一元一次不等式解决实际问题 题型7 不等式组的实际问题 题型26不等式组和方程结合的问题 题型8 相交线的相关知识 题型27 不等式组的经济问题 题型9 认识同位角、内错角、同旁内角 题型28不等式组的方案选择问题 题型10 平行线的性质 题型29 平行线拐点问题 题型11 平行线的判定 题型30平行线中的旋转问题 题型12 根据平行线的性质求角的度数 题型31 全等三角形倍长中线模型 题型13 命题与证明 题型32全等三角形旋转模型 题型14 三角形三边关系的应用 题型33全等三角形垂线模型 题型15 三角形角平分线、高、中线的定义 题型34 全等三角形综合问题 题型16 三角形的高有关的计算问题 题型35 等腰三角形的动点问题 题型17 根据三角形中线求面积 题型36等腰三角形中的存在性问题 题型18 三角形的内角和 题型37等腰三角形中的旋转问题 题型19 全等三角形及其性质 题型38 等腰三角形中的新定义问题 题型1 不等式的定义及其性质 1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海静安·期中）下列不等式的变形不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果，且，那么（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 5．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）下面表述正确的是（   ） A．； B．如果，，则； C．如果，则； D．如果，则． 题型2 求一元一次不等式的解集 6．（25-26七年级下·上海普陀·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 8．（25-26七年级下·上海虹口·期中）在、、0、2、4中，能使不等式成立的x的值有几个（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（2026七年级下·全国·专题练习）定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 求一元一次不等式的整数解 11．（25-26七年级下·四川眉山·期中）在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的（    ） A．最小整数解是0 B．最小整数解是 C．最大整数解是0 D．最大整数解是 13．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）不等式的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型4 用一元一次不等式解决实际问题 16．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（    ） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 17．（25-26七年级·上海·寒假作业）某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 18．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·上海·阶段检测）一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，如果设该商品原价为y元，那么可列式为（   ） A． B． C． D． 题型5 求一元一次不等式组的解集 21．（2026七年级下·上海·专题练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）已知，那么下列不等式组中，无解的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）不等式组的所有整数解的和是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型6 由一元一次不等式组的解集求参数 26．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段检测）已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（   ） A．3 B．2 C．4 D． 27．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型7 不等式组的实际问题 31．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 35．（18-19七年级下·安徽滁州·阶段检测）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为米，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型8 相交线的相关知识 36．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．  B．  C．   D．   37．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 38．（10-11八年级下·上海·阶段检测）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（     ） A．线段的长是点C到直线的距离 B．线段的长是点到直线 的距离 C．、、 三条线段中，PB 最短 D．线段的长是点P到直线a的距离 39．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 40．（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 题型9 认识同位角、内错角、同旁内角 41．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 42．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 43．（18-19七年级下·北京延庆·期末）下列图中不是同位角的是（　　） A．B．C． D． 44．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 45．（20-21七年级下·上海松江·期末）如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是内错角 D．与是同位角 题型10 平行线的性质 46．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，下列条件中能判断的是（    ） A．B． C． D． 47．（18-19七年级下·浙江宁波·期末）已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 48．（2015·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，若，，则（   ） A． B．100° C．110° D．120° 49．（18-19七年级上·江苏南通·期末）如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·山西长治·期末）将一把直尺和一块三角板按如图所示的方式放置，直尺与三角板的两边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型11 平行线的判定 51．（11-12七年级下·重庆·期中）如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 52．（21-22七年级下·云南文山·期末）如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 53．（2015·贵州黔南·一模）下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 54．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型12 根据平行线的性质求角的度数 55．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 57．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 58．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 59．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型13 命题与证明 61．（25-26七年级上·上海·期末）下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 62．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 63．（24-25七年级下·山东淄博·阶段检测）下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 64．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 65．（24-25七年级下·上海崇明·期中）下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型14 三角形三边关系的应用 66．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 67．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 68．（24-25八年级上·云南临沧·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 69．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 70．（22-23七年级下·上海黄浦·期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型15 三角形角平分线、高、中线的定义 71．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 72．（20-21八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 73．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，的边上的高是（   ） A． B． C． D． 74．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 75．（24-25七年级下·河南新乡·期末）在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 题型16 三角形的高有关的计算问题 76．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 77．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 78．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 79．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F，若，则的面积为（  ） A．48 B．64 C．72 D．80 80．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型17 根据三角形中线求面积 81．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，王老汉有一块形状为三角形的土地，他计划在土地内部修一条小路（小路宽度忽略不计），使得土地被分为面积相等的两块，则小路应该是的（    ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．任意一条线 82．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，、分别是、的中点．若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 83．（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，在中，点是的中点，点是上的一点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 84．（20-21七年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 85．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 题型18 三角形的内角和 86．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点D在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 87．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 88．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，将沿处折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 89．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 90．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 题型19 全等三角形及其性质 91．（20-21七年级下·上海奉贤·期末）已知图中的两个三角形全等，则度数是（   ） A． B． C． D． 92．（17-18八年级上·天津河东·期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 93．（17-18八年级·重庆·阶段检测）如图，N，C，A三点在同一直线上，点B在上，在中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 94．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 95．（20-21七年级下·甘肃兰州·期末）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或6 题型20 三角形全等的判定 96．（13-14八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 97．（11-12八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 98．（10-11八年级上·广东广州·期末）如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 99．（13-14七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点C，D，，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，可得，从而．你认为能判定的依据是（   ）． A． B． C． D． 100．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型21 等腰三角形的性质 101．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 102．（24-25七年级下·上海普陀·阶段检测）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 103．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 105．（23-24七年级下·上海长宁·期末）已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型22 等腰三角形的判定 106．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 107．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 108．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 109．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 10．（17-18八年级上·广西南宁·期中）如图，已知平分，，若，则等于（　　）    A．3 B．4 C．1.5 D．2 题型23 等边三角形的性质及判定 111．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 112．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 113．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，在四边形中，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 114．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 115．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是等边三角形，AD是角平分线，是等边三角形，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型24 线段垂直平分线 116．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 117．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．10 D．8 118．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 119．（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 120．（2026·安徽·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（    ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．是等边三角形 D． 题型25 用一元一次不等式解决实际问题 121．（25-26七年级下·上海普陀·期中）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买、两种型号的新型垃圾桶．已知型号的新型垃圾桶的单价比型号的新型垃圾桶单价贵元，购买2个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．社区需要购买、两种型号的新型垃圾桶共个，且总费用不超过元． (1)求、两种型号的新型垃圾桶的单价； (2)社区最多能买几个型号的新型垃圾桶？ 122．（24-25七年级下·上海·阶段检测）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 123．（2025七年级下·上海·专题练习）2025年3月8日国际妇女节开始，晴好天气吸引了大批游客来辰山植物园赏樱，周六、周日两天入园游客数达6万余人次，迎来2025年春季赏花季的第一个高峰．某中学组织七年级师生前往辰山植物园春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余30个空座位． (1)求该校七年级参加春游的人数； (2)已知45座客车的租金是每辆250元，60座客车的租金是每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所用的租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需要租金多少元？ 题型26不等式组和方程结合的问题 124．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 125．（25-26七年级下·吉林·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 126．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得 ；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式 ，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式 的解集为，请求出整数m的值． 题型27 不等式组的经济问题 127．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 128．（25-26七年级下·四川眉山·期中）为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 129．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 题型28不等式组的方案选择问题 130．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 131．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 132．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 133．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）为了抓住世博会商机，某商店决定购进两种世博会纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的倍，且不超过种纪念品数量的倍，那么该商店共有几种进货方案？ 134．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 135．（25-26七年级下·重庆·期中）5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 题型29 平行线拐点问题 136．（25-26七年级下·江西南昌·期中）综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 137．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）规定：平面内任意两个角，．若满足，则称是的倍欢乐余角．例如：若，，满足，则是的2倍欢乐余角． (1)，求的3倍欢乐余角度数是________； (2)如图1，，点在的上方，连接、，，是的倍欢乐余角．求的度数； (3)如图2，在（2）条件下，是的倍欢乐余角，的三等分线的反向延长线与交于点，当时，求的值． 138．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 题型30平行线中的旋转问题 139．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）如图，点在直线上，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)将绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，的对应点为，的对应点为，设旋转时间为，当时，求旋转时间的值； (3)将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当旋转后的与平行时，直接写出旋转时间的值． 140．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，已知，点分别在上，且，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，速度是/秒，如此循环往复，射线绕点顺时针旋转至，速度是/秒．当射线停止转动时，射线也随之停止． (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为秒（），两条旋转射线交于点． ① ； ②过作交于点．求出与的数量关系； (2)若射线先旋转秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为秒（），若旋转中，请直接写出的值． 141．（25-26七年级下·吉林·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起；其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（） (1)在旋转过程中，当时，为_______度时（请直接写出值）； (2)在旋转过程中，试探究与之间的数量关系； (3)在旋转过程中，当的一边与的一边平行（不共线）时，为_______． 题型31 全等三角形倍长中线模型 142．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 143．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 144．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 题型32全等三角形旋转模型 145．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 146．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 147．（20-21七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 题型33全等三角形垂线模型 148．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在和中，，，点A、D、E在同一直线上，和交于点N，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，为的高，若点N是的中点，且，求的长； (3)在（2）的条件下，延长交于点F，连接，若，求的长． 149．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 150．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 题型34 全等三角形综合问题 151．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 152．（24-25八年级上·河南漯河·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 153．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 题型35 等腰三角形的动点问题 154．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在四边形中，，，，设，长分别为，，且．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度匀速向终点运动，同时动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接，，．设动点运动的时间为秒（）． (1)填空： ______， ______； (2)在，两点运动中，若时，求动点的运动时间的值； (3)当时，求与的数量关系． 155．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 156．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边上的一点，与共于直线成轴对称，点与点对应． (1)如图1，点在边上，，，求的度数； (2)如图2，点在外，若，，垂足为点，求证：； (3)在（2）的条件下，为上一动点，为上一动点，若，，，直接写出的最小值． 题型36等腰三角形中的存在性问题 157．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知等腰中，．过点作射线，上取一动点，连结．过点作平分交的延长线于点． (1)若，当时，请求出的度数； (2)当点与点恰好关于对称，且时，求证：； (3)在点运动的过程中，与是否存在某一不变的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由． 158．（18-19七年级下·江苏扬州·期末）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)若，． ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 159．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点（都不与点重合），交于点．设．    (1)如图，当时， ①求的度数； ②若，求的值． (2)如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等．若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 题型37等腰三角形中的旋转问题 160．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．    (1)发现问题：发现的大小不变为 ． (2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形． (3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形． 161．（10-11七年级下·辽宁辽阳·期末）如图①，是线段上一点，与是等边三角形（三边相等，三个角都为的三角形）． (1)请你判断：与相等吗？并说明理由； (2)如图②，若绕点旋转一定角度，（1）中的结论还成立吗？ 162．（21-22七年级下·江苏盐城·期末）如图1，中，是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，、将绕点C按逆时针方向旋转，使得EF所在直线交线段AD于点M，交线段AB于点N． (1)当旋转75°时，如图2，直线EF与AD的位置关系是______，______°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE旋转多少度时，中有两个角相等． 题型38 等腰三角形中的新定义问题 163．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线． (1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数； (2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数． 164．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 165．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 1．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 2．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 3．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 4．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 5．已知，与的角平分线相交于点F，、相交于点M． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，，，求的度数； (3)若，，请直接写出与之间的数量关系． 6．如图1，已知，射线上有一定点，射线上有一动点，作四边形，使得，且． (1)如图1，当为锐角时， ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②过点作于点，若，时，求的面积； (2)如图2，当时，连接交于点，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 7．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 8．解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 9．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 10．在中，，，点D是边上一点，E为边上一个动点，将沿翻折后得到（点A的对应点为点）． (1)如图1，当点落在上方时，，，则 ；（用含x的代数式表示） (2)点落在上方，当的一边与平行时，求的度数．（用含α的代数式表示） (3)如图2，的延长线与交于点F，若，时，当面积最大时，求的面积． 11．如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 12．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合．当点在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 60 / 60 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关 （177题24个常考题+14大压轴题型） 选填常考题 题型20 三角形全等的判定 题型1 不等式的定义及其性质 题型21 等腰三角形的性质 题型2 求一元一次不等式的解集 题型22 等腰三角形的判定 题型3 求一元一次不等式的整数解 题型23 等边三角形的性质及判定 题型4 用一元一次不等式解决实际问题 题型24 线段垂直平分线 题型5 求一元一次不等式组的解集 解答压轴题 题型6 由一元一次不等式组的解集求参数 题型25 用一元一次不等式解决实际问题 题型7 不等式组的实际问题 题型26不等式组和方程结合的问题 题型8 相交线的相关知识 题型27 不等式组的经济问题 题型9 认识同位角、内错角、同旁内角 题型28不等式组的方案选择问题 题型10 平行线的性质 题型29 平行线拐点问题 题型11 平行线的判定 题型30平行线中的旋转问题 题型12 根据平行线的性质求角的度数 题型31 全等三角形倍长中线模型 题型13 命题与证明 题型32全等三角形旋转模型 题型14 三角形三边关系的应用 题型33全等三角形垂线模型 题型15 三角形角平分线、高、中线的定义 题型34 全等三角形综合问题 题型16 三角形的高有关的计算问题 题型35 等腰三角形的动点问题 题型17 根据三角形中线求面积 题型36等腰三角形中的存在性问题 题型18 三角形的内角和 题型37等腰三角形中的旋转问题 题型19 全等三角形及其性质 题型38 等腰三角形中的新定义问题 题型1 不等式的定义及其性质 1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等． 【详解】解：①含有不等号，是不等式； ②含有不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式； ⑤含有不等号，是不等式； 所以共有3个不等式． 2．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断选项即可．不等式性质为：不等式两边加(或减)同一个数(或整式) ，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式两边同时减2，不等号方向不变，得．故A错误； B、不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，得．故B错误； C、不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得．故C正确； D、不等式两边先同时除以正数，得，再两边同时减，不等号方向不变，得．故D错误． 3．（24-25七年级下·上海静安·期中）下列不等式的变形不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】解：对于选项A：不等式两边同加上一个数，不等号不变，故A正确，不符合题意； 对于选项B：不等式两边同除以一个负数，不等号要变号，故B正确，不符合题意； 对于选项C：∵， ∴， 又∵， ∴，故C正确，不符合题意； 对于选项D：不等式两边同除以一个负数，不等号要变号，故D不正确，符合题意． 4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果，且，那么（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质和分数比较大小，通过对等式进行变形，求出与的关系，再比较和的大小． 【详解】解：， 即， 等式两边同时除以得，， ∵，且， ∴， 即． 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）下面表述正确的是（   ） A．； B．如果，，则； C．如果，则； D．如果，则． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、如果，，则，原式正确，符合题意； C、如果，则，原式错误，不符合题意； D、如果，不一定有，例如，则，原式错误，不符合题意； 故选：B． 题型2 求一元一次不等式的解集 6．（25-26七年级下·上海普陀·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式得， 在数轴上表示正确的是 7．（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再结合不等式的解、解集的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：解不等式得， A、该不等式解集为，不是，A错误； B、把代入不等式，得，不满足不等式，因此不是该不等式的解，B错误； C、不等式解集为，小于的整数有无数个，因此不等式的整数解有无数个，C正确； D、所有正整数都大于，且，因此不等式没有正整数解，D错误． 8．（25-26七年级下·上海虹口·期中）在、、0、2、4中，能使不等式成立的x的值有几个（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到x的取值范围，再统计给定数组中满足条件的数的个数即可． 【详解】解：， ， ， 在中，满足的数为，共4个． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 10．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相加可得，再根据，可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 题型3 求一元一次不等式的整数解 11．（25-26七年级下·四川眉山·期中）在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 因为小于的最大整数是， 所以不等式的最大整数解是． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的（    ） A．最小整数解是0 B．最小整数解是 C．最大整数解是0 D．最大整数解是 【答案】A 【分析】先根据数轴确定不等式的解集，然后结合各选项即可解答． 【详解】解：由数轴可知：， ∴有最小整数解为0． 13．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）不等式的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先按一元一次不等式的解法求解不等式，得到x的取值范围，再找出范围内的正整数，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴不等式的正整数解为1，2，3，共3个． 15．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 题型4 用一元一次不等式解决实际问题 16．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（    ） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 【答案】C 【分析】根据“利润=售价-进价，利润不低于700元”列出不等式求解即可． 【详解】解：设该电视机定价为x元，根据题意得， 解得， ∴该电视机定价最少为7000元． 17．（25-26七年级·上海·寒假作业）某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题的关键． 设张老师至少获胜x局，依据积分规则列出一元一次不等式，求解不等式并结合实际取整，得到获胜局数的最小值． 【详解】设张老师至少获胜x局，则输了局，即局， ∵ 积分不低于30分可晋级，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师平2局， ∴ 列不等式：， 展开并整理得：， ， ， 解得：， ∵ x为正整数， ∴ x的最小值为5， 即张老师至少应获胜5局． 故选：C． 18．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设圆珠笔数量为支，根据总花费不超过100元列出不等式，求解后取整数最大值，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【详解】解：设小刚买圆珠笔支，则笔记本本， 由题意可得： 解得：， ∵为整数， ∴最大为， 故小刚最多能买支圆珠笔， 故选：B． 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据答对题的得分；答错题的得分，根据得分不低于80分，列出一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意可列出的不等式为， 故选：D． 20．（24-25七年级下·上海·阶段检测）一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，如果设该商品原价为y元，那么可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，利用利润与进件以及打折与原价的关系得出不等关系即可． 【详解】解：设该商品原价为y元，那么可列式为： ，即． 故选：A． 题型5 求一元一次不等式组的解集 21．（2026七年级下·上海·专题练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 在数轴上表示如下所示： 22．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）已知，那么下列不等式组中，无解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先根据已知条件推导各数的大小关系，再利用一元一次不等式组的解集判定规则判断无解的选项． 【详解】解：∵， ∴不等式两边同乘，不等号方向改变，可得， 即整体大小关系为； 根据一元一次不等式组解集判定规则逐一判断： A选项，可得解集为，有解； B选项，要求同时满足且，，不存在数既小于较小的，又大于较大的，该不等式组无解； C选项，可得解集为，有解； D选项，可得解集为，有解； 因此无解的是B选项． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的方法，以及根据整数解的个数确定参数取值范围的思路是解题的关键． 先解不等式组得到解集，再根据只有2个整数解确定整数解为0和1，从而推导a的取值范围． 【详解】解：解不等式组： ∵ 且 ∴解集为． ∵解集只有2个整数解，且， ∴整数解为和． 为确保只有这两个整数解： 在解集中，∴； 不在解集中，∴． ∴． 故选 C． 24．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）不等式组的所有整数解的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定对应的整数解，再把所有的整数解求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解有， ∴不等式组的所有整数解的和是， 故选：A． 25．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 题型6 由一元一次不等式组的解集求参数 26．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段检测）已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（   ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】解不等式，得 ， 解不等式，得 ． 因为此不等式组无解， 所以． 故选：D． 27．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 28．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 29．（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 30．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，运用“同大取大”的法则即可判断a的取值范围． 【详解】解： ∵不等式组的解集是， ∴． 题型7 不等式组的实际问题 31．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 32．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 33．（23-24八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 34．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据程序运行逻辑列出不等式组是解题的关键． 根据程序运行两次后输出结果的条件，列出关于的不等式组，求解不等式组后确定符合条件的整数的个数． 【详解】解：∵程序运行了两次后输出结果， ∴第一次运行结果，第二次运行结果， 即， 解，得， 解，得， ∴不等式组的解集为， 则符合条件的整数为、、、、，共个， 故选：B． 35．（18-19七年级下·安徽滁州·阶段检测）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为米，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意可得平行于墙的一边的长为米，垂直于墙的长度要大于0，平行于墙的长度大于0且不能超过墙的长度，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边的长为米， ∴， 解得， 故选：B． 题型8 相交线的相关知识 36．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形及对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点是解题的关键． 根据对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点对各选项分析判断． 【详解】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意； C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； D、、是对顶角，符合题意； 故选：D． 37．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 【答案】D 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】A、， 直线与直线的夹角是60度，正确，故本选项不符合题意 B、 直线与直线的夹角是90度，正确，故本选项不符合题意 C、 线段的长是点D到直线的距离，正确，故本选项不符合题意 D、不相互垂直， 线段的长不是点B到直线的距离，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离和两直线的夹角，熟练掌握点到直线的距离与两直线的夹角的定义是解题的关键． 38．（10-11八年级下·上海·阶段检测）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（     ） A．线段的长是点C到直线的距离 B．线段的长是点到直线 的距离 C．、、 三条线段中，PB 最短 D．线段的长是点P到直线a的距离 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键． 根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故选项A正确，不合题意； B、应是线段的长是点到直线 的距离，而不是，故选项B不正确，符合题意； C、、、 三条线段中，垂线段最短，即最短，选项C正确，不合题意； D、线段的长是点P到直线a的距离，选项D正确，不合题意； 故选：B． 39．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 40．（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 题型9 认识同位角、内错角、同旁内角 41．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，涉及三线八角定义及图形，根据定义及图形逐项验证即可得到答案，熟记三线八角定义、识别图形是解决问题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，说法正确，不符合题意； B、与是同位角，说法错误，符合题意； C、与是内错角，说法正确，不符合题意； D、与是内错角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 42．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同旁内角的定义判断即可．同旁内角在截线的同旁，在被截直线的内侧．熟练掌握同旁内角的特征是解题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，故不符合题意； B、与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意； C、与是同位角，故不符合题意； D、与同旁内角，故符合题意； 故选：D． 43．（18-19七年级下·北京延庆·期末）下列图中不是同位角的是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查识别同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键． 根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题． 【详解】解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意． B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意． C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意． D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意． 故选：D． 44．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：、和不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意； B、和是同位角，故B不符合题意； C、和是内错角，故C不符合题意； D、和是同旁内角，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的识别，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键． 45．（20-21七年级下·上海松江·期末）如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】A 【分析】根据三线八角的位置进行判断即可．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线的同侧,且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同位角，两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线之间,且在第三条直线的两旁,那么这两个角叫做内错角，两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线之间,且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同旁内角． 【详解】A选项：和是同位角，故A正确． B选项：和是同旁内角，故B错误． C选项：和不是内错角，故C错误． D选项：和不是同位角，故D错误． 故选A． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，结合图形分析是解题的关键． 题型10 平行线的性质 46．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定；根据图形结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ∵， ∴，故该选项符合题意；     B. ∵ ∴，故该选项不符合题意；         C. ∵ ∴，故该选项不符合题意；     D. 根据，不能判断两直线平行，，故该选项不符合题意； 故选：A． 47．（18-19七年级下·浙江宁波·期末）已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行公理及推论，熟练掌握平行线相关知识是解题关键．根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可． 【详解】解：A、如果，，那么，说法正确； B、如果，，那么，说法正确； C、如果，，那么，故原说法错误； D、如果，，那么，说法正确． 故选：C． 48．（2015·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，若，，则（   ） A． B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】先根据互补的定义，求得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：，， ， ， ． 49．（18-19七年级上·江苏南通·期末）如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的顶点为，两边分别为、，作，由平行线的性质可得，，从而计算出． 【详解】解：如图，设的顶点为，两边分别为、，作， ∵， ∴， ∵直线由直线平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 50．（25-26七年级上·山西长治·期末）将一把直尺和一块三角板按如图所示的方式放置，直尺与三角板的两边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用平行线的性质求出，即可解答． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 题型11 平行线的判定 51．（11-12七年级下·重庆·期中）如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A选项符合题意； ， ，不能判定， 故B选项不符合题意； ， ，不能判定， 故C选项不符合题意； ， ，不能判定， 故D选项不符合题意． 52．（21-22七年级下·云南文山·期末）如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先标注图形，再根据平行线的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：如图： ，， ， ． 53．（2015·贵州黔南·一模）下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由平行于同一直线的两条直线平行知，说法正确； B、根据内错角相等，两直线平行知，说法正确； C、不是直线被第三条直线所截得的同位角或内错角，无法判断直线的位置关系，说法错误； D、根据同旁内角互补，两直线平行知，说法正确； 从而错误的说法是C． 54．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 题型12 根据平行线的性质求角的度数 55．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，，， ∴选项一定成立， 由折叠可得，，由条件无法判断和相等，故无法确定， ∴不一定成立， 故选：． 56．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和求出，再利用平行线的性质即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 57．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过F作，根据平行线的性质分别求出，，即可得解． 【详解】解：过E作，过F作， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ． 58．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可利用平行线的性质和折叠的性质，结合平角的定义建立关于的方程，进而求出的度数． 【详解】解：如图， 纸带两边互相平行， ∴， 由折叠的性质及邻补角可知，， ， 解得． 59．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 60．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 题型13 命题与证明 61．（25-26七年级上·上海·期末）下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 【答案】B 【分析】本题考查命题、逆命题的定义及真假判断，解题关键是明确每个命题的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确； 选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误； 选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确． 选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确． 因此，判断错误的是选项B． 故选：B． 62．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 63．（24-25七年级下·山东淄博·阶段检测）下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，是基础题，熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，逐一分析作出判断． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误； （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确； （4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误． 故选：C． 64．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及边角关系定理；根据等腰三角形的性质及边角关系定理逐一判断四个命题的真假即可． 【详解】解：命题①：若，则为等腰三角形，∴底角，故正确． 命题②：若，由等角对等边可知，故正确． 命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确． 命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确． 综上，四个命题均为真； 故选：A． 65．（24-25七年级下·上海崇明·期中）下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角和补角的定义，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断①；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据平行公理可判断④；根据垂线的定义可判断⑤． 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 题型14 三角形三边关系的应用 66．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 67．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 68．（24-25八年级上·云南临沧·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5， ∴第三边，即第三边， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为， 故选：B． 69．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 70．（22-23七年级下·上海黄浦·期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和3，5，6和2，5，6， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件， 只有3，5，6和2，5，6能组成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 题型15 三角形角平分线、高、中线的定义 71．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 72．（20-21八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 73．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，的边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，掌握三角形高的定义是解决本题的关键． 根据三角形高的定义判断即可． 【详解】解：由图可得，的边上的高是， 故选：C． 74．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 75．（24-25七年级下·河南新乡·期末）在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 题型16 三角形的高有关的计算问题 76．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 77．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线的性质、与三角形的高有关的计算，由题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，为中线， ， ∵和分别为和的高， ， 即， ， 故选：A． 78．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 79．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F，若，则的面积为（  ） A．48 B．64 C．72 D．80 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，解题的关键是理解并灵活应用高相等，底之比等于面积之比． 根据，点是的中点，求出和的长度，进而求出三角形的面积，根据高相等面积之比等于底之比，即可求出的面积，得出的面积，根据为中线，得出与的面积相等，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，点是的中点， ， ，且， ， 又∵， ， ， ． 故选：D． 80．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，当时，的值最小，利用面积法求解即可，解题的关键是学会利用面积法求高． 【详解】解：在中，，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ， 故选：B． 题型17 根据三角形中线求面积 81．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，王老汉有一块形状为三角形的土地，他计划在土地内部修一条小路（小路宽度忽略不计），使得土地被分为面积相等的两块，则小路应该是的（    ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．任意一条线 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；因此此题可根据“三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分”进行求解即可． 【详解】解：由题意得：小路是的中线； 故选A． 82．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，、分别是、的中点．若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算． 【详解】解：是的中点， 的面积的面积， 的面积， 是的中点， 的面积的面积， 的面积． 83．（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，在中，点是的中点，点是上的一点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中线的性质，根据中线的性质可得，，从而可得，掌握三角形的一条中线将这个三角形面积分为相等的两个部分是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴，， ∴ ， 故选：． 84．（20-21七年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 85．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用含和的代数式表示出来，从而求出的面积即可． 本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 设，，则， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 题型18 三角形的内角和 86．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点D在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 87．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的定义，求出每一个内角的度数是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出每一个内角度数即可判断． 【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除． 选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件． 选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 88．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，将沿处折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质可求，再由互余关系求解，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，是边上的高， 由折叠的性质可得，，， ， ， 故选：C． 89．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 90．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论为顶角或底角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况． 【详解】解：当为顶角时： 和相等，由内角和定理得：； 当为底角时：另一底角也为， 当为顶角：； 当也为底角：； 综上，的度数不可能是， 故选：C． 题型19 全等三角形及其性质 91．（20-21七年级下·上海奉贤·期末）已知图中的两个三角形全等，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 92．（17-18八年级上·天津河东·期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 93．（17-18八年级·重庆·阶段检测）如图，N，C，A三点在同一直线上，点B在上，在中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的内角和等于以及三个角的比，求出三个角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出、的度数即可求出结果． 本题考查了三角形的内角定理以及全等三角形的性质；利用三角形的三个角的比，求得三个角的大小是解题的关键． 【详解】解：∵中，， 且， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D 94．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵A、F、B、D四点在同一直线上，，， ∴． 95．（20-21七年级下·甘肃兰州·期末）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或6 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 设，则，使与全等，由可知，分两种情况： 情况一：当，时，列方程解得，可得的长度； 情况二：当，时，列方程解得，可得的长度． 【详解】解：∵点与点运动速度之比为， ∴时间相同时，， 令，， ∵，则， 若， 则有（全等三角形对应边相等）， 则， 解得：， 此时； 若， 则有（全等三角形对应边相等）， 则， 解得， 此时， 综上所述，如果使与全等，则的长为或． 故选：D． 题型20 三角形全等的判定 96．（13-14八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 97．（11-12八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 98．（10-11八年级上·广东广州·期末）如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴，即，且， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，不能判定． 综上所述，可以使的有①③，共2个， 故选：C． 99．（13-14七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点C，D，，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，可得，从而．你认为能判定的依据是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有、、、、． 根据题意可得，即可根据证明． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A． 100．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 题型21 等腰三角形的性质 101．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 102．（24-25七年级下·上海普陀·阶段检测）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 103．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 104．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可． 【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形． 综上，等腰三角形的周长为或， 故选：C． 105．（23-24七年级下·上海长宁·期末）已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据题意得出两腰之和为，两腰之差为0，结合三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】解：∵底边长为a， ∴两腰之和为， ∴，解得：， ∵等腰三角形两腰长相等， ∴两腰之差为0， ∴， ∴那么a的取值范围是． 故选：B． 题型22 等腰三角形的判定 106．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，可得是等腰三角形，，再由，可得，即是等腰三角形，最后根据平分，，可得是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中有3个等腰三角形． 107．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线定义得，，由平行线性质得，，所以，，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 108．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 109．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形．故①正确， ，，即有，故②正确， 的周长．故③正确， 不一定相等，故④错误， 故选：C． 10．（17-18八年级上·广西南宁·期中）如图，已知平分，，若，则等于（　　）    A．3 B．4 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质，得到，再根据等角对等边求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 题型23 等边三角形的性质及判定 111．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确； “三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确； “有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误； “有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确； 故选：C． 112．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 113．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，在四边形中，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，,是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， , ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴，， ∴． 故选C． 114．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形， ∴∠GMN＝∠MGN＝∠DEF＝60°， ∵∠1+∠GMN+∠GME＝180°，∠2+∠MGN+∠EGM＝180°，∠3+∠DEF+∠MEG＝180°， ∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG＝3×180°， ∵∠GME+∠EGM+∠MEG＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、平角的定义；熟练掌握等边三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键． 115．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是等边三角形，AD是角平分线，是等边三角形，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可一一判断． 【详解】∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，AE=AD=ED，∠EAD=60°， ∵AD是∠BAC角平分线， ∴∠DAB=∠DAC=30°， ∴AD⊥BC，故A正确， ∴∠EAB=∠BAD=30°， ∴AB⊥ED，EF=DF，故B正确， ∴BE=BD，故C正确， ∵AE=AD，D在BC上， ∴AC> AD=AE，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题． 题型24 线段垂直平分线 116．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键．根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 117．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段的和差，解题的关键是根据性质找出相等的线段． 根据条件得出等腰三角形，依据等腰三角形的三线合一，得出相等线段，然后依据垂直平分线的性质找出相等的线段，利用线段的和差即可求出结果． 【详解】解：，且， 是等腰三角形，根据三线合一可得， ， 垂直平分， ， ， ， ， 故选：D． 118．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质及等腰三角形性质可得，，从而可得，即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交边于点E， 的垂直平分线交边于点N， ，， ，， ， ， ， ； 故选：B． 119．（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可． 【详解】解：图①中，则，符合题意； 图②中，不符合题意； 图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意； 图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意； 故选：C． 120．（2026·安徽·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（    ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】由三线合一即可判断A；利用等边对等角得，，则，即可判断B；证明且，即可证得是等边三角形；从而判断C；证明，则，，即可判断D选项． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴直线是线段的垂直平分线，故A正确； 如图所示，连接， ，， ， ， ， ，， ，故B正确， ， ， ， ， ， 是等边三角形．故C正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，故D错误． 题型25 用一元一次不等式解决实际问题 121．（25-26七年级下·上海普陀·期中）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买、两种型号的新型垃圾桶．已知型号的新型垃圾桶的单价比型号的新型垃圾桶单价贵元，购买2个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．社区需要购买、两种型号的新型垃圾桶共个，且总费用不超过元． (1)求、两种型号的新型垃圾桶的单价； (2)社区最多能买几个型号的新型垃圾桶？ 【答案】(1)型号的新型垃圾桶单价为元，型号的新型垃圾桶单价为元 (2)社区最多能买个型号的新型垃圾桶 【分析】（1）设型号的新型垃圾桶单价为元，则型号的新型垃圾桶单价为元，根据题意可列方程，求解即可． （2）设购买型号的新型垃圾桶个，则购买型号的新型垃圾桶个，再根据总费用不超过4000元的条件列不等式，结合数量为非负整数的实际要求，求出型号的新型垃圾桶的最大购买数量． 【详解】（1）解：设型号的新型垃圾桶单价为元，则型号的新型垃圾桶单价为元， 根据题意可得 ， 展开整理得 ， 解得 ， 则， 答：型号的新型垃圾桶单价为元，型号的新型垃圾桶单价为元． （2）解：设购买型号的新型垃圾桶个，则购买型号的新型垃圾桶个， 根据题意，总费用不超过元，可得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵是非负整数 ， ∴的最大值为， 答：社区最多能买个型号的新型垃圾桶． 122．（24-25七年级下·上海·阶段检测）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著和人物传记各25，20元 (2)33本 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设每本文学名著和人物传记各x元、y元，根据30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设人物传记买m本，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每本文学名著和人物传记各x元、y元，依题意，得 ， 解得：， 答：每本文学名著和人物传记各25，20元． （2）设人物传记买m本，依题意，得 ， 解得：， ∴m取最大整数为33． 答：人物传记至多买33本． 123．（2025七年级下·上海·专题练习）2025年3月8日国际妇女节开始，晴好天气吸引了大批游客来辰山植物园赏樱，周六、周日两天入园游客数达6万余人次，迎来2025年春季赏花季的第一个高峰．某中学组织七年级师生前往辰山植物园春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余30个空座位． (1)求该校七年级参加春游的人数； (2)已知45座客车的租金是每辆250元，60座客车的租金是每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所用的租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需要租金多少元？ 【答案】(1)270人 (2)1400元 【分析】（1）通过设未知数，依据两种租车方式（45座客车刚好坐满、60座客车少租一辆且余30空座 ）的数量关系列方程求解春游人数． （2）先算出单独租两种客车的租金，再设45座客车数量，根据“合租租金比单独租节省”列不等式，结合人数限制确定车辆数，进而算合租租金． 本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设该校参加春游的有x人， 根据题意，得 解得 答：该校七年级参加春游的有270人； （2）解：独租用45座客车所用的租金为（元） 单独租用60座客车所用的租金为（元） 设租用45座客车y辆，租用60座客车辆，则 解得， 因为y取正整数，所以y可取1或2， 当时，，不合题意，舍去； 当时，， 这种方案的租金为（元）． 答：这种方案需要租金1400元． 题型26不等式组和方程结合的问题 124．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 125．（25-26七年级下·吉林·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组用m表示x，y，根据x为非正数，y为负数，得出不等式组，即可求解； （2）不等式化为，由解为可得，可得m的范围，结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得． （2）解：由得，， ∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 由m为整数得，． 126．（25-26七年级下·北京·阶段检测）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得 ；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式 ，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式 的解集为，请求出整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方程组的两个方程相加即可得到结果； （2）将①的结果变形即可得到，再结合已知解答即可； （3）由已知可得，进而可得m满足，即可得到整数m的值． 【详解】（1）解：方程组中的两个方程相加得： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵不等式 即为，且此不等式的解集为， ∴， 解得：， ∴结合（2）的结论可得：m满足， ∵m为整数， ∴． 题型27 不等式组的经济问题 127．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 128．（25-26七年级下·四川眉山·期中）为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元 (2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 129．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； (2)共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； (3)购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 题型28不等式组的方案选择问题 130．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 131．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元 (2)160件或161件或162件或163件或164件 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件． 132．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【答案】(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 (2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价是元，由题意：花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30套（两类图书都要买），总费用不超过570元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； （2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 133．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）为了抓住世博会商机，某商店决定购进两种世博会纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的倍，且不超过种纪念品数量的倍，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】(1)购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元 (2)种 【分析】设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据题意列出方程组解答即可求解； 设购进种纪念品个，购进种纪念品个，根据题意得，即得，进而由得到，解不等式组求出的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元， 由题意得，， 解得， 答：购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元； （2）解：设购进种纪念品个，购进种纪念品个， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 为正整数， ，，， ∴共有种进货方案． 134．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】(1)一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元 (2)共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． （2）解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 135．（25-26七年级下·重庆·期中）5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】(1)笔筒单价为17元，马克杯单价为15元，见详解 (2)店家共有4种采购方案，见详解 (3)选择方式二采购总价更低 【分析】（1）根据“2个笔筒+3个马克杯=79元、3个笔筒+2个马克杯=81元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“马克杯数量笔筒数量的、总费用元”列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 【详解】（1）解：设笔筒的单价为元，马克杯的单价为元，根据题意，得 解得 笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； （2）解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 店家共有4种采购方案； （3）解：由（2）可知店家想要购进笔筒最多的方案为：笔筒30个，马克杯20个． 方式一：设实际需购买马克杯个，则购买商品总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式二采购总价更低． 题型29 平行线拐点问题 136．（25-26七年级下·江西南昌·期中）综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质得，，可得； （2）利用（1）中结论可得 ， ，由，平分，可得 ，结合，可证． 【详解】（1）解： ， 如图所示，过点E作， ， ， ，， ， ， ， ；     （2）解：利用（1）中结论可得 ， ， ， ，平分， ， 又， ， 即． 137．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）规定：平面内任意两个角，．若满足，则称是的倍欢乐余角．例如：若，，满足，则是的2倍欢乐余角． (1)，求的3倍欢乐余角度数是________； (2)如图1，，点在的上方，连接、，，是的倍欢乐余角．求的度数； (3)如图2，在（2）条件下，是的倍欢乐余角，的三等分线的反向延长线与交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据3倍欢乐余角的定义列方程求解； （2）过点作，则，进而推出，再根据是的倍欢乐余角，得，即可求解； （3）根据是的三等分线，得或，分别画出图形，当时，过点作，由推出，再根据可计算出，再根据是的倍欢乐余角，得，即可求的值；当时，同理可求． 【详解】（1）解：设的3倍欢乐余角度数为， 则，即， 解得， 即的3倍欢乐余角度数是； （2）解：过点作， ∵，， ， ，， ， 是的倍欢乐余角， ， ，； （3）解：由（2）得， 又是的三等分线， 或， 当时，， 过点作， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， 是的倍欢乐余角， ， 即， 解得：； 如图3，当，， 过点作， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， 是的倍欢乐余角， ， 即， 解得：． 综上所述：或． 138．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)180 (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得结论； （2）作．设，，得，得出，，由平行线的性质得，，由可得结论； （3）作，，得出，，推出，，结合，可得，，得，代入相加可得，即． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：如图，作．设，， 则，． 平分、平分， ，， ， ， ， ， ，； 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，， ，， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， 即， ． 题型30平行线中的旋转问题 139．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）如图，点在直线上，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)将绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，的对应点为，的对应点为，设旋转时间为，当时，求旋转时间的值； (3)将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当旋转后的与平行时，直接写出旋转时间的值． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）根据平行线性质和角平分线有关计算可求解． （2）根据旋转时间判断在直线的上方．分三种情况：①1在的左侧，②和都在右侧，直线上方，③在下方，在上方，分别表示出和，根据列出方程，求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在下方，②当在上方，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴． ∵平分， ∴． （2）解∶由绕点以每秒的速度顺时针方向旋转， ∴， ∵， ∴ ∵旋转时间， ∴，即， ∴在直线的上方． ①当在的左侧时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当和都在右侧，直线上方时， ， ， ∵， ∴， 解得． ③当在下方，在上方时， ， ， ∵， ∴， 解得． ∵在下方，在上方， ∴，即， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴综上所述，旋转时间的值为或． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当在下方时， ∵，， ∴， ， 当时，， ∴， 解得． ②如图，当在上方时， ∵，， ∴， ， 当时，， ∴， 解得． 综上所述，当旋转后的与平行时，的值为或． 140．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，已知，点分别在上，且，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，速度是/秒，如此循环往复，射线绕点顺时针旋转至，速度是/秒．当射线停止转动时，射线也随之停止． (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为秒（），两条旋转射线交于点． ① ； ②过作交于点．求出与的数量关系； (2)若射线先旋转秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为秒（），若旋转中，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②； (2)的值为或． 【分析】（1）①根据题意得，，，通过即可求解；②由①得，，，过点作，根据平行公理的推论推出，求出，再根据垂直的性质求出，最后对进行比较即可求出数量关系； （2）先设旋转后为，那么，即，根据题意得：，，根据，求出，再进行分类讨论：①当，即时，②当且，即时，③当且，即时，分别根据，根据平行的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，，， ∵，， ∴， ∴； ②由①可知，，，， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，设旋转后为， 那么，即， 根据题意得：，， ∵当射线停止转动时，射线也随之停止， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分类讨论： ①当，即时， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得：； ②当且，即时， 如图， ∵， ∴， 则， 解得：， ③当且，即时， 如图， ∵， ∴， 即， 解得：（舍）． ∴综上，的值为或． 141．（25-26七年级下·吉林·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起；其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（） (1)在旋转过程中，当时，为_______度时（请直接写出值）； (2)在旋转过程中，试探究与之间的数量关系； (3)在旋转过程中，当的一边与的一边平行（不共线）时，为_______． 【答案】(1)15 (2)当时，；当时， (3)或 【分析】（1）根据题意得出，然后根据平行线的性质可得，根据即可求解； （2）设∠，，在旋转过程中，分当时，当时两种情况根据平行线的性质即可求解； （3）分五种情况根据角的和差及平行线的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：设：，， ①如图，当时， ，， 故； 即° ②当时，如图 ，即 综上所述，当时，，当时，； （3）解：依题意，分以下五种情况： ①当时，如图，由（1）知，； ②当时，如图，∴，即，此时，与重合，则； ③当时，如图，此时，， 则（舍去）； ④当时，如图，此时，与重合， 则（舍去）； ⑤当时，如图，， 则（舍去）； 综上所述，为或． 题型31 全等三角形倍长中线模型 142．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 【答案】(1)，；(2) (3) 证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； （3）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴，， ∴， 解得． （3）证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 143．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； （2）证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． 144．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长至点，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解：， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵为整数，， ∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 题型32全等三角形旋转模型 145．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 146．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 147．（20-21七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 题型33全等三角形垂线模型 148．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在和中，，，点A、D、E在同一直线上，和交于点N，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，为的高，若点N是的中点，且，求的长； (3)在（2）的条件下，延长交于点F，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、三角形面积公式，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，则有，根据三线合一性质，结合为的高，得到，再证明，得到，设，利用三角形的面积公式列出方程，求出的值即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，由（2）得，，，则，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵为的高，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点N是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交的延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（2）得，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 149．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 150．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 题型34 全等三角形综合问题 151．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 152．（24-25八年级上·河南漯河·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∵， ∴； （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接， ∵， ， 又∵， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 153．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及几何最值问题，解题的关键是通过构造辅助线（如延长线段构造全等三角形）转化线段和角的关系，利用全等三角形和特殊三角形的性质解决问题． （1）由推出是等边三角形，得；结合等边的性质，证；用证，得出． （2）延长至H使，证，得；证，得；由，推出． （3）延长至Q使，证，得且；结合，证是等腰直角三角形，得，利用（2）的结论分析角度关系，求出． 【详解】（1）解：， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：；证明如下： 由旋转的性质得： 如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴ ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接， 因，则， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时， 取最小值，即取最小值，此时． 题型35 等腰三角形的动点问题 154．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在四边形中，，，，设，长分别为，，且．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度匀速向终点运动，同时动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接，，．设动点运动的时间为秒（）． (1)填空： ______， ______； (2)在，两点运动中，若时，求动点的运动时间的值； (3)当时，求与的数量关系． 【答案】(1)3，8 (2)秒 (3) 【分析】（1）根据，可得，，求解即可获得答案； （2）根据题意可知，，易得，结合可得关于的方程，求解即可获得答案； （3）首先求得当时的值，易得，即为等腰直角三角形，可得，利用三角形外角的定义和性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，． 故答案为：3，8； （2）根据题意，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， 可有， ∴， 解得秒， ∴动点的运动时间的值为秒； （3）根据题意，，， 则， 当时，即，解得， 此时， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式运算、平行线的性质、三角形面积公式、一元一次方程的应用、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 155．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （3）解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 156．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边上的一点，与共于直线成轴对称，点与点对应． (1)如图1，点在边上，，，求的度数； (2)如图2，点在外，若，，垂足为点，求证：； (3)在（2）的条件下，为上一动点，为上一动点，若，，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由轴对称性质得，得，由三角形内角和性质得,得，由三角形外角性质即得； （2）由垂直得，由三角形外角性质得，∴由平角性质得，由折叠性质得，，即得； （3）连接，由折叠知性质得，，得，当点M在上时，取得最小值，就取得最小值，可得，由，得，得，由，即得． 【详解】（1）解：由轴对称性质知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 由轴对称性质知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接， 由轴对称性质知，， ∴， 当点M在上时， ， 当时， 取得最小值，就取得最小值， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，垂线段性质，三角形面积公式，此题属等腰三角形综合题目．熟练掌握等腰三角形的判定和性质、轴对称的性质是解题的关键． 题型36等腰三角形中的存在性问题 157．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知等腰中，．过点作射线，上取一动点，连结．过点作平分交的延长线于点． (1)若，当时，请求出的度数； (2)当点与点恰好关于对称，且时，求证：； (3)在点运动的过程中，与是否存在某一不变的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据题意，，解答即可； （2）先根据点与点恰好关于对称，且，计算，再根据平行线的性质，等腰三角形的性质，确定，根据平行线的判定即可得证； （3）根据平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，变形证明即可． 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：点与点恰好关于对称， ， ∵平分， ∴， 又， ，， ， 等腰中，， 又， ， ． （3）解：，理由如下： ， ， 又， 设， 则 平分， 设， 则 在中， 由为的外角，得， ． 158．（18-19七年级下·江苏扬州·期末）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)若，． ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，22.5或45 【分析】（1）由同角的余角相等可得，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的判定即可得证； （2）①根据三角形内角和定理分别求出，，根据折叠的性质进行计算即可；②分三种情况：当时；当时；当，分别进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，； ②∵， ， 当时，即， 解得， 即的值为22.5， 当时，， 解得， ∵， 不合题意，故舍去； 当，， 解得， 综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，的值为22.5或45． 【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，是解题的关键． 159．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点（都不与点重合），交于点．设．    (1)如图，当时， ①求的度数； ②若，求的值． (2)如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等．若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或或或 【分析】（1）由角平分线的定义可得，由平行线的性质即可得到； 根据三角形内角和定理可求出，由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）分三种情况：当时；当时；当时（此时应分点线段上或点在射线上）．根据三角形内角和定理、三角形外角性质以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： 平分，， ， ， ； ， ， ， ， ，即； （2）平分，， ， ， ， ， 当时，如图，    则， ， ，即； 当时，如图，    则， ，即； 当，且点在线段上，如图，   ， ，； 当，且点在射线上，如图，   ，即， ， ，即． 综上，的值为或或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角性质、等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用所学知识并善于利用分类讨论思想解决问题． 题型37等腰三角形中的旋转问题 160．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．    (1)发现问题：发现的大小不变为 ． (2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形． (3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2)直角 (3)或或 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再由等边三角形的性质推出，由旋转的性质可得，则； （2）由旋转的性质可得，则是等边三角形，得到，由此求出，则，即可得到是直角三角形； （3）分，，三种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，即可利用周角的定义求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴， ∴， 故答案为：    （2）解：∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （3）解：当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． 161．（10-11七年级下·辽宁辽阳·期末）如图①，是线段上一点，与是等边三角形（三边相等，三个角都为的三角形）． (1)请你判断：与相等吗？并说明理由； (2)如图②，若绕点旋转一定角度，（1）中的结论还成立吗？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形三个角都是，三条边都相等得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据等边三角形三个角都是，三条边都相等得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． （2）解：条件改变，结论仍然成立．理由如下： ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． 162．（21-22七年级下·江苏盐城·期末）如图1，中，是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，、将绕点C按逆时针方向旋转，使得EF所在直线交线段AD于点M，交线段AB于点N． (1)当旋转75°时，如图2，直线EF与AD的位置关系是______，______°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE旋转多少度时，中有两个角相等． 【答案】(1)垂直，60 (2)当CE旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN中有两个角相等 【分析】（1）根据题中条件，求得，由此可求得，即EF与⊥AD，同时可求得； （2）分情况进行讨论，①，求得CE旋转45°或315°，②，可求得CE旋转90°或270°． 【详解】（1）解：如图所示，EF与AC交于点O， 由题意可知，， ∵AD是角平分线， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线EF与AD的位置关系是：垂直， ∵， ∴， 故答案为：垂直，60． （2）由题意可知，， ①当， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当CE旋转45°时，△AMN中有两个角相等，如图所示， ②时， 则： ， ∴，即，如图， 则CE旋转的度数为：360°-45°=315°， 即当CE旋转315°时，△AMN中有两个角相等； ③当时， ∵， ∴， 则， 即， ∵， ∴， 即当CE旋转90°时，△AMN中有两个角相等，如图所示， ④由③可知，如图，当时， ∵， 此时CE旋转270°， 即当CE旋转270°时，△AMN中有两个角相等， 综上所述：当CE旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN中有两个角相等． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，分情况讨论，利用旋转的性质是解题的关键． 题型38 等腰三角形中的新定义问题 163．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线． (1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数； (2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，，再设，根据三角形的内角和定理、三角形的外角性质可得，，，则，然后分两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一） （2）解：∵，， ∴是等腰三角形，，， ∵， ∴是等腰三角形，， 又∵线段，是的三分线， ∴是等腰三角形， 设， ∴， ， ， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， 则，即，解得； ②当时，是等腰三角形， 则，即，解得； 综上，的度数为或． 164．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 165．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 1．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可得解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分和两种情况讨论，根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式与没有公共整数解， ∴不等式不是的“和谐不等式”， （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， 即两个不等式的公共解集中没有整数； 因为小于3的最大整数是2，所以要使公共解集中没有整数， ∴； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，则， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 2．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 【答案】(1)台A型机器人 (2)方案1：购买机器人3台，机器人台；方案2：购买机器人4台，机器人台；方案3：购买机器人5台，机器人台 【分析】（1）设购买机器人台，则B机器人台，则根据题意得到不等式，再解不等式即可； （2）设购买机器人台，则B机器人台，根据题意得到不等式组，求出整数解，即可求解方案． 【详解】（1）解：设购买机器人台，则B机器人台， 由题意得，， 解得 因为为整数， 所以最多购入台A型机器人； （2）解：设购买机器人台，则B机器人台， 由题意得，， 解得， 因为为整数， 所以取， 所以有三种方案，方案1：购买机器人3台，机器人台；方案2：购买机器人4台，机器人台；方案3：购买机器人5台，机器人台． 3．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 4．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 5．已知，与的角平分线相交于点F，、相交于点M． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，，，求的度数； (3)若，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点E向左侧作，过点F向右侧作，先根据平行线的判定与性质证明，得到，所以，再根据平行线的判定与性质，可得即得答案； （2）类似于（1）的思路，即可求解； （3）类似于（2）的思路，，即可求解． 【详解】（1）解：过点E向左侧作，过点F向右侧作， ， ， ， ， ， 即， ， 与的角平分线相交于点F， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：当时， 由（1）知， ，， ， 由（1）可知，； （3）解： 由（2）知，当时， ， ，， ， ， ， 即． 【点睛】解题时要注意三个小题的解答思路具有关联性． 6．如图1，已知，射线上有一定点，射线上有一动点，作四边形，使得，且． (1)如图1，当为锐角时， ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②过点作于点，若，时，求的面积； (2)如图2，当时，连接交于点，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据三角形内角和定理，进行解答即可； ②先过点作于点，再利用全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积公式，进行解答即可； （2）先过点作于点，过点作于点，再利用等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，进行解答即可． 【详解】（1）解：①在中，，， ． ， ． 答：的度数为． ②如图，过点作于点， ， ． 由①得，且， ． 在和中， ， ， ， ． 答：的面积为． （2）解：，理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点， 在中，，， ． ， ，， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． 在中，，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 7．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【答案】(1) (2) (3)1或或 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵为等腰三角形，且的周长为， ， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过1或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． 8．解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）解：； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． （3）解：， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 9．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 【答案】(1)见详解 (2)12 (3) 【分析】（1）先证明，证明即可得出结论； （2）先证明，得出，，再证明，即可求出结论； （3）以为边作等边，连接，然后可得，，进而可得，最后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长； （3）解：以为边作等边，连接，如图所示： ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系可得：， 当B、E、F三点共线时，可取等号， ∴， ∴． 10．在中，，，点D是边上一点，E为边上一个动点，将沿翻折后得到（点A的对应点为点）． (1)如图1，当点落在上方时，，，则 ；（用含x的代数式表示） (2)点落在上方，当的一边与平行时，求的度数．（用含α的代数式表示） (3)如图2，的延长线与交于点F，若，时，当面积最大时，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，然后再根据三角形外角性质，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）先根据折叠得出，在上取点，使，再证明，从而得出和为定值，说明当时，面积最大，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时，延长，交于点G，如图所示： ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 根据折叠可得：，， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， 根据折叠可得：； 综上，或； （3）解：∵，， ∴， 根据折叠可得：， ∴， 在上取点，使，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴和为定值， ∴当时，面积最大， ∴当面积最大时，． 11．如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 【答案】(1)不一定，反例图见解析 (2)一定相等，见解析 (3)或或或 【分析】（1）当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但； （2）假设，这里不妨设，在上截取，连接，证明，然后根据全等三角形的性质，三角形的外角性质进行证明即可； （3）分9种情况讨论，根据三角形内角和以及三角形的外角性质列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：若，则与不一定相等，如图： 当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但， 故若，则与不一定相等； （2）解：若，则与一定相等， 证明：假设，这里不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， 与（三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角）矛盾， 故假设不成立， ∴； 若假设时，同理与三角形的外角性质矛盾， ∴； （3）解：①当时， ∵ ∴ 设， 则在中，由三角形内角和定理可得 ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵ ∴ 设， ∴ 在和中，由三角形内角和定理可得 解得， 此时，不符合题意； ③当时，此时重合，不符合题意； ④当时， ∵， ∴， 设 则在中，由三角形内角和定理得，则 在中，由三角形内角和定理可得 ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴； ⑤当时， ∵， ∴，设， 则在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得 ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑥当时，此时重合，不符合题意； ⑦当时， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑧当时， 设，，则中，由三角形内角和定理可得， ∴ ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 ∴ 解得 ∴ ⑨时，此时三点重合，不符合题意， 综上：度数、度数和度数之和为或或或． 12．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合．当点在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)角度所有可能的值是或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）当；；；；五种情况时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或， 理由如下：依题意有以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ∴， ∴； ⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 196 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $