专题9.3 分式方程（高效培优讲义，3知识&5题型7类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题9.3 分式方程 教学目标 1.理解分式方程的概念，能准确识别分式方程（分母含未知数）。 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法步骤：去分母→解整式方程→验根。 3.了解增根的含义，掌握验根方法（代入最简公分母或原方程）。 4.能根据实际问题中的等量关系列分式方程并求解，规范作答。 教学重难点 教学重点 1. 1.分式方程的解法：去分母转化为整式方程，掌握 “一化、二解、三检验” 的完整流程。 2. 2.验根的必要性与方法：理解验根是分式方程求解的必要步骤，会用最简公分母验根。 3. 3.分式方程的应用：能从行程、工程等实际问题中抽象出分式方程模型。 教学难点 1. 1.增根产生的原因：理解去分母时两边同乘含未知数的整式，可能使分母为零，破坏同解性。 2. 2.正确去分母：准确找最简公分母，避免漏乘常数项或符号错误。 3. 3.实际问题建模：准确分析等量关系，列出含分式的方程并检验解的实际意义。 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 . 2. 判断一个方程是分式方程的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 【即学即练】下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 知识点02 分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验方程解的方法 (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. (2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确 . 4. 增根：分式方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，不是原分式方程的根，像这样的根，称为原方程的增根 . 增根产生的原因： 去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）解方程： 知识点03 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题：速度× 时间= 路程. (2)利润问题：利润= 售价－ 进价；利润率= 利润÷ 进价×100%. (3)工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率；总工作量= 各个分工作量之和. (4) 储蓄问题： 本息和 = 本金 + 利息 . 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 题型01 分式方程的解法 【例1-1】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）解方程： 【例1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）解方程： 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 【变式1-3】（22-23七年级下·安徽合肥·月考）解分式方程：． 题型02 根据分式方程根的情况确定字母的取值范围 【例2-1】分式方程的根是增根 （24-25七年级下·安徽滁州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【例2-2】分式方程无解 （23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为______． 【例2-3】分式方程的解是正数 （24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为_______． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为______． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是________； （2）若该方程无解，则的值是________． 题型03 分式方程的应用 【例3-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【例3-2】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）某书店为筹备“银杏阅读节”，从出版商处购进了甲、乙两种畅销书．已知乙种书单价比甲种书贵40元，用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍． (1)求甲、乙两种书的单价各为多少元？ (2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整：甲种书在原售价基础上上涨，乙种书按原售价的七五折出售．若书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，则书店此次购进甲种书最多是多少本? 【例3-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）端午节是我国首个入选世界非文化遗产的中国传统节日，它蕴含着博大精深的中华优秀传统文化．在今年的端午节来临之际，某商场先用32000元购进了一批盒装粽子，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批同一品牌的粽子，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每盒进价多了5元． (1)该商场第一次购进这种品牌粽子每盒多少元？ (2)该商场两次分别购进这种品牌粽子多少盒？ (3)如果这两批粽子每盒的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每盒售价至少是多少元？ 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）跳绳是一项高效且易行的运动，能带来多重健康益处：增强心肺功能，促进血液循环，提升身体协调性．某商店计划购进，两款跳绳，款的进价为元/根，款的进价为元/根 (1)若商店计划用不超过元的价格购进，两款跳绳共根，则商店至少购进款跳绳多少根? (2)甲、乙两名同学进行跳绳训练，甲计划跳个，乙计划跳个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因跳绳打结耽搁了秒钟，最后甲比乙提前秒完成跳绳训练，问甲平均每秒跳绳多少个？ 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两辆车的续航里程均为a千米，燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元． (1)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行法里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 题型04 特殊分式方程的解法 【例4】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 【变式4-3】（23-24七年级下·安徽安庆·月考）关于x的方程的解是，（，表示未知数x的两个实数解）；的解是，；的解是为，为． (1)请观察上述方程与解的特征，直接得出的解是＿＿＿＿＿． (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验． (3)由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程： 题型05 分式方程在方案设计问题中的应用 【例5-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某学校在4月份举行校园文化艺术节和春季运动会，现要购买甲、乙两种运动器材，已知甲运动器材的单价比乙运动器材的单价贵30元，用1000元购买乙运动器材的个数是用1250元购买甲运动器材的个数的2倍． (1)求甲、乙两种运动器材各需多少元？ (2)若该学校准备用不超过1000元购买甲、乙两种运动器材共30个，并且乙运动器材的数量不超过甲运动器材数量的2倍，则可以有几种购买方案，并列出所有方案． 【例5-2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在校园创客空间建设中，学校需采购两类智能设备用于3D打印和编程控制实验．以下是采购信息，探索解决任务： 智能设备采购方案设计 信息1 类设备单价比类设备单价高150元 信息2 用3000元购买类设备的数量与用1500元购买类设备的数量相同 信息3 学校计划采购类设备共80套，总预算不超过21000元． 问题解决 任务1 确定智能设备单价 类设备，类设备的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要类设备尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【例5-3】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）夏季来临，饮料进入销售旺季．某超市购进了甲、乙两种饮料进行销售．已知每瓶甲种饮料的进价比每瓶乙种饮料的进价少元，且用元购进甲种饮料的瓶数与用元购进乙种饮料的瓶数相同． (1)求甲、乙两种饮料每瓶的进价分别是多少元； (2)若该超市购进甲种饮料的瓶数比乙种饮料的瓶数的倍少瓶，且购进两种饮料的总瓶数不超过瓶．如果甲、乙两种饮料的售价分别是元/瓶和元/瓶，且将购进的甲、乙两种饮料全部售出后，可使销售两种饮料的总利润超过元，那么该超市购进甲、乙两种饮料有哪几种方案？ 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽宣城·期末）某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递，已知型数控机器人比型数控机器人每小时多分拣30件快递，型数控机器人分拣900件快递所用时间与型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 【变式5-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）嘟嘟商店分别花费9000元、4800元一次性购买甲乙两种电纸书，已知购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多，每台甲电纸书比每台乙电纸书的价格贵200元． (1)求甲、乙型号电纸书分别进价为多少元； (2)该店发现销售情况良好，第一批货卖完货，以相同进价再次购入电纸书，预计用不少于万元且不多于万元的资金购进这两种型号电纸书共20台， ①请问有多少种进货方案？ ②若甲型号电纸书的售价为1500元，乙型号电纸书的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号电纸书．返还顾客现金a元，甲型号电纸书售价不变，若①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同，求a的值． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木100万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（  ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ）． A．2 B．1 C．3 D． 二、填空题 5．（22-23七年级下·安徽六安·期末）关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围为________． 6．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则k的取值范围是________． 7．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的方程 （1）当时，方程的解为______； （2）若方程的解是非负数，则的取值范围是______． 8．（22-23七年级下·安徽·月考）关于x的分式方程. （1）若该方程的解为，则m的值为______； （2）若该方程的解为正数，则m的取值范围是______. 9．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的分式方程． （1）当时，方程的根是______； （2）若该方程的解是非负数，且满足，则所有满足条件的偶数的值之和为_______． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为或． 根据上述材料，回答下列问题： （1）使等式成立的x的值为_____________； （2）使等式成立的m的值为_____________． 三、解答题 11．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 12．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）请阅读下列材料，并回答问题： 在解分式方程时，小统的解法如下： 解：方程两边同乘以，得：① 去括号，得：② 解得． 检验：当时，③ 所以，原方程的解是． (1)出现错误的步骤是______（填序号）； (2)写出上述分式方程的正确解法． 13．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 14．（24-25七年级下·安徽池州·期末）近日，在经济高质量发展大会上，创始人戴着一副眼镜站在演讲台上．他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲．而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“眼镜”也瞬间成为网络热词，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视”因其宛如一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，成为爆款．某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视”的数量相同． 素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元． 素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视”比原价优惠50元． 问题解决 任务1 求每副“灵眸X”和“智视”眼镜的标价； 任务2 最多能购买多少副“灵眸X”？ 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． (1)求B队单独完成这项工程需要多少天？ (2)已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 16．（24-25七年级下·安徽六安·期末）为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 18．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）某快递公司计划为500名员工每人购买一套工作服，员工可选A款或B款，已知A款每套比B款费20元，用2400元购买A款的数量和用2000元购买B款的数量相同． (1)求A款和B款工作服每套的价格各是多少元？ (2)公司预算不超过52000元购买工作服，则至少需要购买B款工作服多少套？ (3)由于购买数量较多，服装商家让利销售，A款八折优惠，B款每件降价元，采购部发现：无论A款和B款如何分配，所需资金都相同．求值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 分式方程 教学目标 1.理解分式方程的概念，能准确识别分式方程（分母含未知数）。 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法步骤：去分母→解整式方程→验根。 3.了解增根的含义，掌握验根方法（代入最简公分母或原方程）。 4.能根据实际问题中的等量关系列分式方程并求解，规范作答。 教学重难点 教学重点 1. 1.分式方程的解法：去分母转化为整式方程，掌握 “一化、二解、三检验” 的完整流程。 2. 2.验根的必要性与方法：理解验根是分式方程求解的必要步骤，会用最简公分母验根。 3. 3.分式方程的应用：能从行程、工程等实际问题中抽象出分式方程模型。 教学难点 1. 1.增根产生的原因：理解去分母时两边同乘含未知数的整式，可能使分母为零，破坏同解性。 2. 2.正确去分母：准确找最简公分母，避免漏乘常数项或符号错误。 3. 3.实际问题建模：准确分析等量关系，列出含分式的方程并检验解的实际意义。 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 . 2. 判断一个方程是分式方程的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 【即学即练】下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 知识点02 分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验方程解的方法 (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. (2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确 . 4. 增根：分式方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，不是原分式方程的根，像这样的根，称为原方程的增根 . 增根产生的原因： 去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）解方程： 【答案】 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，是原方程的解． 知识点03 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题：速度× 时间= 路程. (2)利润问题：利润= 售价－ 进价；利润率= 利润÷ 进价×100%. (3)工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率；总工作量= 各个分工作量之和. (4) 储蓄问题： 本息和 = 本金 + 利息 . 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时． 答：甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月． （2）解：工程预算的施工费用不够用．理由如图： 设甲、乙两个工程队合作需要y个月， 由题意得，， 解得， ∴施工费用为（万元）， ， 工程预算的施工费用不够用， 需追加（万元）． 答：工程预算的施工费用不够用，需追加100万元． 题型01 分式方程的解法 【例1-1】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）解方程： 【详解】解：在方程两边乘以，得： ， 解得， 检验：当时，． ∴是分式方程的解． 【例1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，． 所以是原分式方程的解． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）解方程： 【详解】解： ， 当时， 所以是原分式方程的解． 综上，方程的解为． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 【详解】解：去分母，得， 整理得 ． 经检验，当时， 是原方程的解． 【变式1-3】（22-23七年级下·安徽合肥·月考）解分式方程：． 【答案】 【详解】解：去分母得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 原方程的解是． 题型02 根据分式方程根的情况确定字母的取值范围 【例2-1】分式方程的根是增根 （24-25七年级下·安徽滁州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合同同类型，得， 将系数化为1，得， 分式有增根， ， ． 故选A． 【例2-2】分式方程无解 （23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为______． 【答案】0或2或4 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 整理得：， ∵无解， ∴，即时，方程无解； 当时，方程也无解，此时，则有， ∴． 当时，方程也无解，则有， 故答案为：0或2或4． 【例2-3】分式方程的解是正数 （24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：， 方程两边都乘以，得：， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因为不等式组无解，即， 解得：， ， 去分母，得：， 解得：， 关于y的分式方程的解为正整数， 所以， 因为a为整数， 所以：时；时，满足题意； 所有满足条件的整数a的和为：． 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解： 化简得： 解得： 当根为增根时，，将x代入得： 解得： 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为_______． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为______． 【答案】 且 【详解】解：（1） ， 若此方程无解，则，解得； （2）若此方程的解为正数，则，解得； ∵时，方程无解， ∴且． 故答案为：，且． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是________； （2）若该方程无解，则的值是________． 【答案】 2 或 【详解】解：（1）若该方程有增根，则，即． （2）， 移项得，， ∴， 去分母、整理得， 当方程有增根时，原方程无解，即， 解得； 当时，原方程无解，即； 综合上述得，的值为或． 故答案为：①2；②或． 题型03 分式方程的应用 【例3-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【详解】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； （2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 【例3-2】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）某书店为筹备“银杏阅读节”，从出版商处购进了甲、乙两种畅销书．已知乙种书单价比甲种书贵40元，用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍． (1)求甲、乙两种书的单价各为多少元？ (2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整：甲种书在原售价基础上上涨，乙种书按原售价的七五折出售．若书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，则书店此次购进甲种书最多是多少本? 【详解】（1）解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种书的单价为160元，乙种书的单价为200元； （2）解：促销后，甲种书单价为元，乙种书单价为元， 设书店此次购进甲种书是m本， 根据题意得：， 解不等式得， ， 解不等式 得，， ， 答：书店此次购进甲种书最多是60本． 【例3-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）端午节是我国首个入选世界非文化遗产的中国传统节日，它蕴含着博大精深的中华优秀传统文化．在今年的端午节来临之际，某商场先用32000元购进了一批盒装粽子，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批同一品牌的粽子，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每盒进价多了5元． (1)该商场第一次购进这种品牌粽子每盒多少元？ (2)该商场两次分别购进这种品牌粽子多少盒？ (3)如果这两批粽子每盒的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每盒售价至少是多少元？ 【详解】（1）解：设该商场第一次购进这种品牌粽子每盒x元，则该商场第二次购进这种品牌粽子每盒元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商场第一次购进这种品牌粽子每盒80元； （2）根据题意得：该商场第一次购进这种品牌粽子的数量为（盒）； 该商场第二次购进这种品牌粽子的数量为（盒）． 答：该商场第一次购进这种品牌粽子400盒，第二次购进这种品牌粽子800盒； （3）设每盒售价是y元， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为100． 答：每盒售价至少是100元． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 【详解】（1）解：设种设备每台成本为万元，则种设备每台设备成本为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：、两种设备每台的成本分别是万元和万元． （2）由题意知：种设备共有台，种设备台， 种设备获利为：（万元）， 种设备获利为：（万元）， 该公司共获利为（万元）， 答：该公司共获利为万元． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）跳绳是一项高效且易行的运动，能带来多重健康益处：增强心肺功能，促进血液循环，提升身体协调性．某商店计划购进，两款跳绳，款的进价为元/根，款的进价为元/根 (1)若商店计划用不超过元的价格购进，两款跳绳共根，则商店至少购进款跳绳多少根? (2)甲、乙两名同学进行跳绳训练，甲计划跳个，乙计划跳个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因跳绳打结耽搁了秒钟，最后甲比乙提前秒完成跳绳训练，问甲平均每秒跳绳多少个？ 【详解】（1）解：设该商店购进根款跳绳，则购进根款跳绳， 根据题意可得， 解得， 为正整数， ． 答：商店至少购进根款跳绳． （2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳个， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲平均每秒跳绳个． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两辆车的续航里程均为a千米，燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元． (1)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行法里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴ （元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 题型04 特殊分式方程的解法 【例4】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴.， 故答案为：； （2）解：分式方程可变形为. 去括号，得. 所以， 解得. 经检验，是分式方程的解. 所以分式方程的解为． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 【详解】（1）解：由条件可得：，即， ， ， ； （2）解：原方程组整理得， ， 令，， 则， 解得， ， 经检验，是原方程组的解； （3）解：， ， 即：， 为常数且为整数，为正整数， 为整数， ，， 为正整数， 或4． 【变式4-3】（23-24七年级下·安徽安庆·月考）关于x的方程的解是，（，表示未知数x的两个实数解）；的解是，；的解是为，为． (1)请观察上述方程与解的特征，直接得出的解是＿＿＿＿＿． (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验． (3)由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程： 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 经检验：或是原方程的解 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边， 故是方程的解， 当时，左边右边， 故也是方程的解； （3）解：，， 所以，即或， 解得：，， 经检验，，是原方程的解． 题型05 分式方程在方案设计问题中的应用 【例5-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某学校在4月份举行校园文化艺术节和春季运动会，现要购买甲、乙两种运动器材，已知甲运动器材的单价比乙运动器材的单价贵30元，用1000元购买乙运动器材的个数是用1250元购买甲运动器材的个数的2倍． (1)求甲、乙两种运动器材各需多少元？ (2)若该学校准备用不超过1000元购买甲、乙两种运动器材共30个，并且乙运动器材的数量不超过甲运动器材数量的2倍，则可以有几种购买方案，并列出所有方案． 【详解】（1）解：设购买一个乙运动器材需要x元，则购买一个甲运动器材需要元， 根据题意得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以 答：购买一个甲运动器材需要50元，一个乙运动器材需要20元； （2）解：设该学校此次购买个甲运动器材，则购买个乙运动器材， 根据题意得，解得， 又因为为正整数，所以． 一共有4种购买方案， 方案1：购买甲运动器材10个，乙运动器材20个； 方案2：购买甲运动器材11个，乙运动器材19个； 方案3：购买甲运动器材12个，乙运动器材18个； 方案4：购买甲运动器材13个，乙运动器材17个． 【例5-2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在校园创客空间建设中，学校需采购两类智能设备用于3D打印和编程控制实验．以下是采购信息，探索解决任务： 智能设备采购方案设计 信息1 类设备单价比类设备单价高150元 信息2 用3000元购买类设备的数量与用1500元购买类设备的数量相同 信息3 学校计划采购类设备共80套，总预算不超过21000元． 问题解决 任务1 确定智能设备单价 类设备，类设备的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要类设备尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【详解】解：任务1：设类设备单价是元，类设备单价是元， 根据题意得：， 解得： 经检验，是原方程的根， ∴ 答：类设备单价是300元，类设备单价是150元； 任务2：设购买类设备套，购买类设备套， ∴， 解得：， 又∵类设备尽可能的多， ∴取最大值60，此时， 答：满足条件的购买方案是：购买类设备60套，类设备20套． 【例5-3】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）夏季来临，饮料进入销售旺季．某超市购进了甲、乙两种饮料进行销售．已知每瓶甲种饮料的进价比每瓶乙种饮料的进价少元，且用元购进甲种饮料的瓶数与用元购进乙种饮料的瓶数相同． (1)求甲、乙两种饮料每瓶的进价分别是多少元； (2)若该超市购进甲种饮料的瓶数比乙种饮料的瓶数的倍少瓶，且购进两种饮料的总瓶数不超过瓶．如果甲、乙两种饮料的售价分别是元/瓶和元/瓶，且将购进的甲、乙两种饮料全部售出后，可使销售两种饮料的总利润超过元，那么该超市购进甲、乙两种饮料有哪几种方案？ 【详解】（1）解：设甲种饮料每瓶进价元，则乙种饮料每瓶进价元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 乙种饮料每瓶进价：（元）， 甲、乙两种饮料每瓶的进价分别是元、元； （2）设乙种饮料有瓶，则甲种饮料有瓶， 根据题意得：， 解得：， 是整数， 可取，，， 有三种方案： 方案一：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶； 方案二：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶； 方案三：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽宣城·期末）某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递，已知型数控机器人比型数控机器人每小时多分拣30件快递，型数控机器人分拣900件快递所用时间与型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 【详解】（1）解：设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（件）， 答：型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递． （2）解：设需要台型数控机器人，台型数控机器人， 由题意得，， 得， ∵均为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台； 方案二：型号机器人4台，型号机器人6台； 方案三：型号机器人2台，型号机器人9台． 【变式5-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）嘟嘟商店分别花费9000元、4800元一次性购买甲乙两种电纸书，已知购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多，每台甲电纸书比每台乙电纸书的价格贵200元． (1)求甲、乙型号电纸书分别进价为多少元； (2)该店发现销售情况良好，第一批货卖完货，以相同进价再次购入电纸书，预计用不少于万元且不多于万元的资金购进这两种型号电纸书共20台， ①请问有多少种进货方案？ ②若甲型号电纸书的售价为1500元，乙型号电纸书的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号电纸书．返还顾客现金a元，甲型号电纸书售价不变，若①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同，求a的值． 【详解】（1）解：设甲型号电纸书进价为每台元，则乙型号电纸书进价为每台（）元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， （元／台）， 答：甲型号电纸书进价为每台元，乙型号电纸书进价为每台元． （2）解：①设购买甲型号电纸书台，则购买乙型号电纸书（）台，由题意得 ， 解得：， 为非负整数， 可取、、、、、、、， 故有种进货方案； ②设获得总利润为元， ， ①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同， 的值与无关， ， 解得：， 故a的值为． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【详解】（1）解：根据题意得出的方程为，则条件为：若甲、乙两队合作3天； 故答案为：若甲、乙两队合作3天; （2）解：解方程，得：， 经检验，是原分式方程的解，所以规定的工期为9天 如期完成的两种施工方案需要的费用分别为： B方案：（万元）； C方案： （万元）， ∵， ∴C方案更省钱. 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且，即， 且， 且， 故选：． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木100万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得，． 故选：A． 3．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时分母为，方程无解， 即， 时方程无解， ， 当时，， 方程也无解． 故选：C． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ）． A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 二、填空题 5．（22-23七年级下·安徽六安·期末）关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围为________． 【答案】且 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 6．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则k的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：关于x的分式方程 去分母得，， 解得， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，且 ∴且． 故答案为：且． 7．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的方程 （1）当时，方程的解为______； （2）若方程的解是非负数，则的取值范围是______． 【答案】 且 【详解】解：（1）， 当时，方程为， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：； （2）， 方程两边都乘，得， 解得：， 方程的解是非负数， ，即， ， ， 当时，方程为， 解得：， 且． 故答案为：且． 8．（22-23七年级下·安徽·月考）关于x的分式方程. （1）若该方程的解为，则m的值为______； （2）若该方程的解为正数，则m的取值范围是______. 【答案】 且 【详解】（1）把代入原方程，可得，解得， 故答案为：； （2）对于， 去分母，得， 解得， 因为方程的解为正数， ∴，且， 即，且， 解得且； 故答案为：且. 9．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的分式方程． （1）当时，方程的根是______； （2）若该方程的解是非负数，且满足，则所有满足条件的偶数的值之和为_______． 【答案】 【详解】解：（1）当时，方程为， 方程两边都乘，可得：，解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：； （2）方程两边都乘，得，解得：且，即， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴所有满足条件的偶数的值为， ∴. 故答案为：． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为或． 根据上述材料，回答下列问题： （1）使等式成立的x的值为_____________； （2）使等式成立的m的值为_____________． 【答案】 或 或 【详解】解：（1）由题意得 或， 故答案：或； （2）由得 ， 或， 解得：或， 故答案：或． 三、解答题 11．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 化简，得， 解得， 检验：时，， ∴不是该分式方程的解， ∴原分式方程无解． 12．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）请阅读下列材料，并回答问题： 在解分式方程时，小统的解法如下： 解：方程两边同乘以，得：① 去括号，得：② 解得． 检验：当时，③ 所以，原方程的解是． (1)出现错误的步骤是______（填序号）； (2)写出上述分式方程的正确解法． 【详解】（1）解：出现错误的步骤是， 故答案为：①②； （2）解：， 方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 解得， 检验：当时，， 所以，原方程的解是． 13．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 【详解】（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是所列分式方程的解且符合题意． 则． 所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元． （2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个． 根据题意，得， 解得． 为整数， ，15或16． 该停车场有3种购买方案． 方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个； 方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个； 方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个． 型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， 方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）． 14．（24-25七年级下·安徽池州·期末）近日，在经济高质量发展大会上，创始人戴着一副眼镜站在演讲台上．他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲．而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“眼镜”也瞬间成为网络热词，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视”因其宛如一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，成为爆款．某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视”的数量相同． 素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元． 素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视”比原价优惠50元． 问题解决 任务1 求每副“灵眸X”和“智视”眼镜的标价； 任务2 最多能购买多少副“灵眸X”？ 【详解】解：任务1：设每副“灵眸X”的标价为元，则“智视”眼镜的标价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每副“灵眸X”的标价为1500元，“智视”眼镜的标价为800元； 任务2：设能购买副“灵眸X”，则能购买副“智视”， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为11， 答：最多能购买11副“灵眸X”． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． (1)求B队单独完成这项工程需要多少天？ (2)已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要90天； （2）解：设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工， 依题意得：， 解得：． 答：甲、乙两队最多合作30天． 16．（24-25七年级下·安徽六安·期末）为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 【详解】（1）解：设乙工程队每天完成绿化面积为平方米，则甲工程队每天完成绿化面积为平方米，根据题意： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以 答：甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米． （2）解：设安排甲工程队工作天，则安排乙工程队工作天，根据题意： ， ， 解得：， 答：至少应安排甲工程队工作10天． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【详解】（1）解：设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作y天，则乙公司天， 由题意得：， 解得：， 同时需满足：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为16， 答：最多安排甲公司工作16天． 18．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）某快递公司计划为500名员工每人购买一套工作服，员工可选A款或B款，已知A款每套比B款费20元，用2400元购买A款的数量和用2000元购买B款的数量相同． (1)求A款和B款工作服每套的价格各是多少元？ (2)公司预算不超过52000元购买工作服，则至少需要购买B款工作服多少套？ (3)由于购买数量较多，服装商家让利销售，A款八折优惠，B款每件降价元，采购部发现：无论A款和B款如何分配，所需资金都相同．求值． 【详解】（1）解：设A款工作服每套的价格是元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， （元）， 答：A款和B款工作服每套的价格各是元和元； （2）解：设购买B款工作服套，由题意得 ， 解得：， 答：至少需要购买B款工作服套； （3）解：设购买A款工作服套，所需资金为元，由题意得 ， 无论A款和B款如何分配，所需资金都相同 的取值与无关， ， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $