精品解析：河北邯郸市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

邯郸市第一中学高一年级期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】. 故选：D 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3. 下列说法中，与“直线平面”等价的是（ ） A. 直线与平面内的任意一条直线都不相交 B. 直线与平面内的两条直线平行 C. 直线与平面内无数条直线不相交 D. 直线上有两个点不在平面内 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面平行的定义判断A，根据直线与平面的位置关系判断BCD. 【详解】平面直线与平面无交点和平面内的任意一条直线都不相交，A正确； 若直线与平面 内的两条直线平行，则直线可能在平面内或与平面平行，B错误； 若直线与平面内无数条直线不相交，则直线可能在平面内或与平面平行或与平面相交，C错误； 若直线上有两个点不在平面内，则直线可能与平面平行或与平面相交，D错误； 故选：A. 4. 如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据斜二测画法知在选项A，B，D中，正三角形的顶点都在轴上， 点由边上的高线确定，所得直观图是全等的； 对于选项C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长， 但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等． 5. 如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】设船速为，水速为，船的合速度为， 则，即，解得， 因为，所以， 则船的合速度为， 则过河需要的时间为. 6. 如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将与展开至位于同一平面内，利用余弦定理求解即可. 【详解】将与展开至位于同一平面内且位于直线的两侧，连接，与交于点， 则此时最小. 在中，由余弦定理可得， 所以，故的最小值为. 故选：B. 7. 如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设半球半径为，圆锥高为，再根据圆锥侧面积与体积公式，结合球的表面积与体积公式求解即可. 【详解】设半球半径为，圆锥高为，由题意，解得. 故圆锥的体积与半球体的体积的比值为. 故选：D 8. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【详解】中，由余弦定理得， 且的面积为， 由，得，化简得， 又，，所以， 化简得，解得，或（不合题意，舍去） 所以， 所以， 由，且，， 解得， 所以，所以，所以， 设，其中， 所以， 当且仅当时，即时取最小值， 令， 由对勾函数可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，，且，应用复数的乘除法、共轭复数的定义及模的概念依次判断A、B，应用共轭复数的运算及特殊值法判断C、D. 【详解】设，，且，则，， 所以， ，即，A对， ， ， 所以，B对， 由，且，则，故，C对， 若，满足，此时不满足，D错. 10. 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据余弦定理化简条件可求角判断选项B，利用正弦定理将条件转化为角的关系，可求，判断选项A，再正弦定理及三角形面积公式求及的面积判断选项CD. 【详解】因为，又， 所以， 所以，B正确； 因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又，，， 所以， 所以，A正确， 由，，可得，， 由正弦定理可得，又，， 所以，C正确， 因为， 所以， 所以的面积，D错误， 故选：ABC. 11. 在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，一定为直角三角形 B. 当时，一定为直角三角形 C. 当平面时，一定为直角三角形 D. 当平面时，一定为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线垂直、线面垂直、线面平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于底面，底面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. A选项，当时，由于平面， 所以平面，由于平面， 所以，所以是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，若， 则由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 则由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 这与矛盾，所以与不垂直， 当与点重合时，如下图所示， 由于，所以与平面不垂直，则与不垂直， 同时，与不垂直，则与平面不垂直，则与不垂直. 所以不一定是直角三角形，B选项错误. C选项，当平面时，由于平面， 平面平面，所以， 所以平面，由于平面， 所以，所以是直角三角形，C选项正确. D选项，当平面时，由于平面， 所以，由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 所以是直角三角形，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】要证明线线垂直，可通过线面垂直来证明；要证明线面垂直，可通过线线垂直来证明.如果题目已知直线和平面平行，那么根据线面平行的性质定理，可得到直线与平面的某些直线平行. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三边长分别为2，3，4，则此三角形是______三角形． 【答案】钝角 【解析】 【分析】借助余弦定理可得长度为的边的对角为钝角，即可得该三角形形状. 【详解】由余弦定理得， 故长度为的边的对角为钝角，得到此三角形是钝角三角形. 13. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用模长与数量积关系计算即可得. 【详解】. 14. 已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定底面正方形的中心就是所求球的球心，再确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】如图： 设正四棱锥底面中心为， 因为正四棱锥的侧棱和底边长相等，且， 则点到棱的距离为. 又，所以为等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形， 所以点到侧棱的距离. 所以点就是与四棱锥的所有棱均相切的球的球心，且半径为， 所以球的表面积为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z满足，为虚数单位. （1）求复数z； （2）若复数z，在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数,代入条件，根据复数相等得出关于方程，从而得出答案. （2）根据条件得出点的坐标，从而得出的坐标，得出的值，从而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 设复数，由题意， 得 ，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所点，，，. 因为，所以， 所以 16. 已知，，，为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行坐标关系得方程，可求得的值； （2）利用模长条件得，化简求​，结合象限得，再代入投影向量公式计算． 【小问1详解】 因为，，， 所以， ， 又，所以，则，即． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以，即，． 又是第二象限角，所以， 因为，，所以， 所以． 17. 如图，在直四棱柱中，已知，． （1）求证：； （2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接，证明平面即可 （Ⅱ）取中点，证明四边形为平行四边形即可 【详解】⑴连DC1,正方形DD1C1C中,D1C⊥C1D ∵AD⊥平面DD1C1C ∴AD⊥CD1又AD∩CD1=D ∴CD1⊥平面DA C1 ⑵ E 为AC中点时，平面9’ 梯形ABCD中，DE∥且=" AB " ∴AD∥且=BE ∵AD∥且= A1D1∴A1D1∥且="BE " ∴A1D1EB是平行四边形 ∴D1E∥B A1又B A1平面DB A1D1E平面DB A1 ∴平面 18. 如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 （1）求证：平面平面 （2）线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）设点到平面的距离为， 因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角 因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形 设，则，，， ， ，即，解得，（舍） 所以，当时，与平面所成的角的正弦值为 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且. （1）求b边的长度； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的一半，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）2. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再用余弦定理化简，进而得到答案； （2）设的夹角为，通过，得到和，进而根据求出，最后求出面积； （3）设，，再根据向量的运算性质求出的表达式，进而通过函数交点求出最小值. 【详解】（1）∵，由正弦定理： ， 由余弦定理：,∵c=1，∴. （2）因为D为中点，所以，设的夹角为， ∴， 又， ∴，即， 解得或，又，所以，易得， ∴的面积为. （3）设，∵的面积为面积的一半，∴ 设，则，又共线，所以设，则， ∴，解得：. ∴，又， ∴ ，又，化简得，又，则， 则时，的最小值为2. 【点睛】本题第（3）问用到了一个性质“平面向量三点共线定理”，在“”这一步.如图，在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是：存在实数，使得，其中，点O为平面内一点. 在“”这一步，“”分离常数是很常规的处理方式，注意归纳方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市第一中学高一年级期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A B. C. 1 D. 2 3. 下列说法中，与“直线平面”等价的是（ ） A. 直线与平面内的任意一条直线都不相交 B. 直线与平面内的两条直线平行 C. 直线与平面内无数条直线不相交 D. 直线上有两个点不在平面内 4. 如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 中，角A、B、C对边分别是a、b、c，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 面积为 11. 在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，一定为直角三角形 B. 当时，一定为直角三角形 C. 当平面时，一定为直角三角形 D. 当平面时，一定为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三边长分别为2，3，4，则此三角形是______三角形． 13. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，设，则______． 14. 已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z满足，为虚数单位. （1）求复数z； （2）若复数z，在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积. 16. 已知，，，为坐标原点． （1）若，求值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 17. 如图，在直四棱柱中，已知，． （1）求证：； （2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由． 18. 如图，三棱锥体积为，，，为的中点 （1）求证：平面平面 （2）线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 如图，设中角所对边分别为为边上的中线，已知且. （1）求b边的长度； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的一半，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $