精品解析：河北沧州市盐山县饶安中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，即可求出模. 【详解】， ， . 故选：B. 2. 已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A. B. C. D. 、 【答案】C 【解析】 【分析】直接对化简，然后利用数量积的定义和运算律求解即可 【详解】因为， 与的夹角为， 所以 ， 故选：C 3. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底法，即可求解. 【详解】解：,, , 故选：C 4. 已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设和的夹角为，根据已知得，再求出向量在方向上的投影. 【详解】设和的夹角为， 因为， 所以. 所以向量在方向上的投影为2. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案. 【详解】如图所示，原长方体， 设矩形的面积为，， 鳖臑的体积为， 即，所以， 即原长方体的体积是. 故选：B 6. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理，结合题干数据，即得解 【详解】， ，． 由正弦定理得，即， 可得． 所以山的高度为 故选：A． 7. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A. B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：A 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【详解】在中，， 故题干条件可化为，由余弦定理得， 故，又由正弦定理化简得： ， 整理得，故或（舍去），得 为锐角三角形，故，解得，故 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为 B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】AB 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义可判断A，根据棱柱，棱台和圆锥的定义即可判断BCD． 【详解】 对于A，直观图的面积为，故A正确； 对于B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，正确； 对于C，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，因为其侧棱延长线不一定交于一点，故错误； 对于D，以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故错误． 故选：AB 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. 若，则是与垂直的单位向量 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算分别求解向量的模、夹角余弦值、验证向量垂直、投影向量主项判断即可得结论. 【详解】因为向量，， 则，故A正确； ，又，所以向量与的夹角为，故B不正确； 若，则，则与不垂直，故C不正确； 向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知为虚数单位，则（ ） A. 复数，那么 B. 复数，则 C. 若，则的充要条件是 D. 若复数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，计算出即可判断；B选项，根据复数的乘法运算及模的运算求解判断；C选项，举反例排除即可判断；D选项，由实数的运算性质判断. 【详解】A选项，，于是， ，， ，故，A选项正确； B选项，因为，所以，B选项错误； C选项，取，则，但不满足，C选项错误； D选项，复数，只有实数可以比较大小，虚数不能比较大小，则，，D选项正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用向量的加法运算律求解即可. 【详解】==． 故答案为：． 13. 已知，，，求______． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开求出，然后 代入求解即可. 【详解】因为 又因为，，即 所以 又因为 故答案为： 14. 已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用四棱台的结构特征及棱台的体积公式、表面积公式求解. 【详解】设棱台的上底面的面积为，下底面的面积为， 由棱台的上下底面相似且，得，，， 设棱台的高为，由，解得， 由上下底面中心的连线与底面垂直，得，且四棱台的四条侧棱长相等， 而，则侧棱， 因此等腰梯形的高为，， 等腰梯形的高为，， 所以该四棱台的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且． （1）求； （2）求向量与的夹角； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到，求出，再根据模长的坐标公式即可求解； （2）利用向量夹角的坐标公式代入即可求解； （3）利用向量平行的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，则， 又，且 所以，解得， 所以，故. 【小问2详解】 ，， 所以， 又，因此，． 【小问3详解】 ，， 因为， 所以，解得. 16. （1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 【答案】（1）因为，是不共线的两个向量，且，， 所以， 因为，所以， 所以与共线. 又与有公共点，所以三点共线. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线定理证明与共线，再由与有公共点，得三点共线； （2）由向量共线定理设存在实数，使得，根据向量相等，列 出相应方程组，求解可得实数的值. 【详解】（1）略 （2）若与共线， 则存在实数，使得， 即， 因为与不共线，所以， 整理得，，解得. 所以. 17. 已知为虚数单位，，是的两个根. （1）设，满足方程，求的值； （2）设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求解参数范围． 【小问1详解】 因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． 【小问2详解】 因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，结合同角三角函数基本关系式即可求解的值； （2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 由余弦定理知，则 所以， 所以，则 又因为，所以， 整理得， 在中，，所以． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 19. 在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. （1）求角C的大小； （2）若，，求的周长； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【小问1详解】 若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . 【小问2详解】 由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 【小问3详解】 由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 3 D. 2 2. 已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A. B. C. D. 、 3. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 6. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A. B. C. -1 D. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为 B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. 若，则是与垂直的单位向量 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 已知为虚数单位，则（ ） A. 复数，那么 B. 复数，则 C. 若，则的充要条件是 D. 若复数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简___________． 13. 已知，，，求______． 14. 已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且． （1）求； （2）求向量与的夹角； （3）若，求实数k的值． 16. （1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 17. 已知为虚数单位，，是的两个根. （1）设，满足方程，求的值； （2）设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）求的最小值. 19. 在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. （1）求角C的大小； （2）若，，求的周长； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $