精品解析：2026年浙江杭州市拱墅区初三下学期全真模拟调研数学试题卷

2026年初三全真模拟调研 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．答题时，请在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，数形结合，直观得到选项中各数与原点距离，从而确定答案，掌握数轴上表示有理数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上表示选项中各数，如图所示： 表示1的点离原点距离最近， 故选：C． 2. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3. 下列简单几何体的主视图（从正面看）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、主视图是正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、主视图是三角形，且内部有一条纵向的虚线，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、主视图的正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 4. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，根据完全平方公式， ， A错误； 选项B，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘， ， B错误； 选项C，根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加， ，， C正确； 选项D，根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积， ， D错误． 5. 估算的值在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】A 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再利用不等式性质计算的范围，即可得到结果． 【详解】解：， ，即， 则， 再由不等式性质可得，即， 的值在到之间． 6. 若，则下列结论一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：已知， 对已知不等式两边同时乘，根据不等式性质，不等式两边乘负数，不等号方向改变，可得：，整理得，因此D正确． 对其他选项逐一判断： A选项：移项原不等式得，与A中矛盾，A错误， B选项：举反例，取，，满足，即，但，不满足，B错误， C选项：举反例，取，，满足，即，但，不满足，C错误． 7. 我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶， 由题意得，， 故选：． 8. 如图，是⊙的直径，位于两侧的点，均在⊙上，若∠，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据邻补角定义求出  的度数，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴. 9. 已知反比例函数（）的图象经过点，点和点（），则下列说法正确的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知点A求出反比例函数比例系数k的符号，再分别计算点B、点C对应函数值的范围，最后判断和的符号． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵， ∴， 将代入得： ， 将代入得： ， 判断和的符号：，即， 判断差的符号：，，则， ∴，即． 10. 如图，已知矩形，是上一点，，沿进行折叠矩形得，与的交点为，当点平分线段，恰好平分，则长为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，证明，得出，，设，利用求出的长，再在和中利用勾股定理建立方程求出，进而求出． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点平分线段，， 设， 则，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 在中， ， 即①， 在中，， 即②， 将①代入②得：， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是___． 【答案】 【解析】 【详解】画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1， 所以两枚硬币全部正面向上的概率=． 故答案为： 13. 已知线段，，则，的比例中项线段等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：设比例中项线段长为，则 ， 所以（负值已舍去）． 故答案为：． 14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有两个相等实数根可得根的判别式的值为.据此列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程中， ，，， 因为方程有两个相等的实数根， 所以， 代入系数得：， 整理得， 解得． 15. 如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】## 【解析】 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 16. 如图，内接于，直径，弦，作弦与相交于点．连结，过点作的平行线交于点，连接，若，则的面积为________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据直径所对圆周角是直角及勾股定理得出是等腰直角三角形，从而得出；利用平行线性质及直径性质证明，结合互余关系证得，再由圆周角定理得，从而求出及的长；证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分点在线段上和点在线段上两种情况计算即可． 【详解】解：连接，，，设交于点，如下图： 是的直径，， ，， 在中， ， ， 是等腰直角三角形， 是中点， ，， 是的直径， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， 即， 又， ， ， 当点在线段上时，， ， ； 当点在线段上时，如下图： ， ， ； 综上所述，的面积为或 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键在于利用平行线与直径的性质转化角的关系，通过分类讨论确定点E的位置，再结合相似比求解面积． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简： （1）． （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：； 18. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图． （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】（1）25，图见解析 （2）5，5 （3）810名 【解析】 【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数； （2）根据众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中a=1-30%-15%-10%-20%=25%， 设引体向上6个的学生有x人，由题意得 ，解得x=50． 条形统计图补充如下： 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5； 共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5． 故答案为：5，5． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名． 【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体． 19. 如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积？ 【答案】（1）一次函数解析式为y=x+1；反比例解析式为；（2）． 【解析】 【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式； （2）设一次函数与x轴交点为D点，过A作AE垂直于x轴，由△ABC面积=△BDN面积－△ADE面积－梯形AECN面积，求出即可． 【详解】（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1， ∴一次函数解析式为y=x+1． 将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2， ∴反比例解析式为． （2）设一次函数与x轴交于D点，过点A作AE垂直于x轴于点E， 在y=x+1中，令y=0，得x=﹣1，即OD=1． ∴A（1，2）． ∴AE=2，OE=1． ∵N（3，0）， ∴B横坐标为3． 将x=3代入y=x+1得：y=4， 将x=3代入得：， ∴B（3，4），即ON=3，BN=4，C（3，），即CN=， ∴． 20. 图①、图②都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画线段，使与线段相交于点，且，请说明理由． （2）在图②中找一格点，连接，使，请说明理由． 【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求． ， ， ． （2）解：如图所示，点即为所求． 由勾股定理得： ， ， ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的性质得出点的位置； （2）利用等腰直角三角形的性质得出点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，测量得，．求摄像头到桌面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】cm 【解析】 【分析】过点 作 , 垂足为 , 过点 作 的垂线，垂足为、，在中，求得，在 Rt 中，即可求得 ，然后即可求得． 【详解】如图，过点 作 , 垂足为 , 过点 作 的垂线，垂足为、, Rt 中, 且 又 在 Rt 中, 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 22. 【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 （1）在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； （2）当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质可知，，可证，根据全等三角形的性质可证，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）①连接交于点，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可知和互相垂直平分，可得：，设，则，利用勾股定理可得：，从而可以求出，，根据菱形的性质和线段之间的关系即可求出的长度； ②延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据菱形的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：， ，， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ①解：如下图所示，连接交于点， ，， ， 四边形是菱形， ，和互相垂直平分， 在中，，，， ， 设，则， ， ， ，， ， ； ②解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是菱形， ，， ． 23. 已知抛物线 （为常数）． （1）若抛物线经过点，求抛物线的函数表达式； （2）若抛物线经过点和点，且，求的取值范围； （3）若点为抛物线的顶点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点为抛物线的顶点， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）把点代入 ，即可求解； （2）分别把点和点代入解析式，再根据，得到关于k的不等式，即可求解； （3）把抛物线的解析式化为顶点式，可用k表示出m，n，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 略 24. 如图，是内接三角形，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作交的延长线于点． （1）若，，求的半径． （2）求证：为的切线． （3）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，，过点O作于点H，利用圆周角定理求得，利用等腰三角形的性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； （2）连接并延长，交于点G，利用角平分线的定义，垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （3）利用圆周角定理，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到和，再利用等式的性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，，过点O作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴的半径为； 【小问2详解】 证明：如图，连接并延长，交于点G， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； 【小问3详解】 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初三全真模拟调研 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．答题时，请在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 2. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列简单几何体的主视图（从正面看）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 5. 估算的值在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 6. 若，则下列结论一定正确的是（） A. B. C. D. 7. 我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是⊙的直径，位于两侧的点，均在⊙上，若∠，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数（）的图象经过点，点和点（），则下列说法正确的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，已知矩形，是上一点，，沿进行折叠矩形得，与的交点为，当点平分线段，恰好平分，则长为（） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是___． 13. 已知线段，，则，的比例中项线段等于______． 14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 15. 如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 16. 如图，内接于，直径，弦，作弦与相交于点．连结，过点作的平行线交于点，连接，若，则的面积为________ 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简： （1）． （2）． 18. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图． （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 19. 如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积？ 20. 图①、图②都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画线段，使与线段相交于点，且，请说明理由． （2）在图②中找一格点，连接，使，请说明理由． 21. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，测量得，．求摄像头到桌面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，） 22. 【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 （1）在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； （2）当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 23. 已知抛物线 （为常数）． （1）若抛物线经过点，求抛物线的函数表达式； （2）若抛物线经过点和点，且，求的取值范围； （3）若点为抛物线的顶点，求证：． 24. 如图，是内接三角形，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作交的延长线于点． （1）若，，求的半径． （2）求证：为的切线． （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $