精品解析：福建省永春第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段限时训练数学试题

永中2026年6月高二数学阶段性限时训练 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，，则． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】，即或， 即是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解即可. 【详解】若，则， 则. 故选：A 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数值的定义及奇函数的性质,结合对数的运算即可求解. 【详解】函数是定义在上的奇函数，， 又当时，，. 故选：A. 5. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式恒成立讨论，即可. 【详解】解：当时，对一切实数都成立，故符合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立， 则， 综上： 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 6. 在正四棱台中，，，二面角的平面角为，则该正四棱台的体积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先做出二面角的平面角，由得到棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】 如图所示，设上下底面的中心分别为，取，的中点分别为， 连接， 因为为正四棱台，所以即为棱台的高， 且，，， 则即为二面角的平面角，所以为， 过作，垂足为， 所以，，所以 因为，， 所以， 所以在等腰直角三角形中，可得 . 故选：B 7. 已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得， 由得， 由是定义在上单调递增函数，可得关于的不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】函数为定义在上的奇函数，所以关于对称， 所以， 由得， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以是定义在上单调递增函数， 所以，解得. 故选：A. 8. 已知向量，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两边平方，得到，利用夹角余弦公式和基本不等式得到，从而求出正弦的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 整理得， ， 当且仅当时等号成立，所以. 故的最大值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性得到，再逐项判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以. 所以，故选项A正确； 因为在上单调递减，所以，故选项B错误； 因为，所以，，且，所以成立，故选项C正确； 由，两边同乘以，因为，所以，故选项D错误. 故选：AC 10. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由正弦定理结合平方关系求解判断；对B，由，得，根据正切函数的单调性和诱导公式求解判断；对C，由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合求解判断；对D，由三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求解判断. 【详解】对于A，由正弦定理，得，所以. 因为，所以，解得或. 因为，所以，，故A正确； 对于B，在锐角中，，则， 所以，故B错误： 对于C，. 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为的面积为1，即，所以， 所以， 当且仅当，等式成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校10位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个数据的第25百分位数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将这10个数据从小到大排列为：72，78，80，81，83，86，88，90，91，92， 而，故所求为从小到大排列后的第三个数，即80. 故答案为：80. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由基本不等式中“1”有代换半求最小值. 【详解】∵正实数a，b满足， ∴，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：9. 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得，进一步结合三角形是锐角三角形求得，然后将目标式子转换为，由对勾函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，由余弦定理有， 所以，所以， 所以 ， 因为三角形是锐角三角形， 所以， 而，所以， 所以，即， 因为三角形是锐角三角形， 所以，解得， 设， 则 ， 因为的取值范围是，所以的取值范围是， 由对勾函数性质可知在上单调递减， 所以的取值范围是， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，． （1）用，表示向量，； （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量线性运算即可求解； （2）法一：由平面向量数量积的运算律及夹角公式即可求解；法二：由余弦定理及相似三角形的性质即可求解；法三：以为原点，建立平面直角坐标系，由平面向量夹角的向量公式即可求解；法四：由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解． 【小问1详解】 因为平行四边形，，， 所以． 又因为是的中点， 所以． 【小问2详解】 解法一：， ． ． ． 因为与的夹角为， 所以． 解法二：因为平行四边形中，，， 所以中，，，， 由余弦定理得 ，故． 因为，是的中点，所以， 所以，． 在中，由余弦定理得 ． 解法三：以为原点，所在直线为轴如图建系， 则，，，， 所以，， ，， ． 因为与的夹角为， 所以． 解法四：因为平行四边形中，，， 所以中，，，， 由余弦定理得 ，故． 在中，由正弦定理得， ， 所以 ． 16. 从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组的频率； （2）估计该校男生身高的中位数； （3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求解； （2）利用频率分布直方图中中位数两侧矩形的面积和（频率）各点50%求解； （3）用列举法写出基本事件，由古典概型概率公式计算. 【小问1详解】 因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为：， 则第六组的频率为 【小问2详解】 由图知：身高在的频率为， 身高在的频率为， 身高在的频率为， 因为， 所以设这所学校男生的身高中位数为，则， 由，得， 所以这所学校男生身高的中位数为174.5. 【小问3详解】 样本身高在第六组的人数为，设为， 样本身高在第六组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生有：共15种情况，即， 当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生， 所以事件包含的基本事件为共8种情况，即， 根据古典概型概率公式得. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求A； （2）若D为中点，且，求的周长； （3）若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； （2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长； （3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； 【小问2详解】 因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； 【小问3详解】 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 18. 已知函数. （1）若，解决以下问题： （i）求出的最小正周期及单调递减区间； （ii）当时，求的值. （2）设在区间上单调，且在区间上的所有零点之和为，求的值. 【答案】（1）（i），单调递减区间为（ii） （2）， 【解析】 【分析】（ⅰ）利用辅助角公式化简得，当时，，利用周期公式以及正弦函数单调性解不等式即可； （ii）依题意可得，再由两角和与差的正弦、余弦公式计算可得结果. （2）根据函数单调性以及正弦函数图象性质解方程，求出所有零点表达式即可根据所有零点之和求得的值. 【小问1详解】 （ⅰ）易知 当时，，周期， 由，解得. 所以单调递减区间为. （ⅱ）即， 所以， 所以 当时， ， 同理，当时，， 综上，的值是. 【小问2详解】 由（ⅰ）知，， 因为在区间上单调，且，所以仅能单调递增，所以， 解得， 所以，因此在区间至多一个周期， 由于，所以在区间至多2个零点. 令，即，解得或， 当恰有1个零点时，，解得； 当恰有2个零点时，，解得. 综上可得，的值为. 19. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 【答案】（1）证明：如图，在平面内过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以四面体为鳖臑； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作于点，根据面面垂直得到平面，再利用线面垂直证明即可； （2）（ⅰ）取的中点，证明平面即可求解；（ⅱ）过点作，利用线面平行证明面面平行，再利用面面平行的性质定理得，设，利用相似三角形分别用表示，再利用勾股定理转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）如图，取的中点，连接， 因为底面，底面，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角， 因为，，M是的中点， 所以，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 设，则，， 易知，所以，即，得， 所以， 则当时有最小值 所以线段长度的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永中2026年6月高二数学阶段性限时训练 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 6. 在正四棱台中，，，二面角的平面角为，则该正四棱台的体积是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校10位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个数据的第25百分位数为______. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，． （1）用，表示向量，； （2）求的余弦值． 16. 从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组的频率； （2）估计该校男生身高的中位数； （3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求A； （2）若D为中点，且，求的周长； （3）若是锐角三角形，求面积的取值范围． 18. 已知函数. （1）若，解决以下问题： （i）求出的最小正周期及单调递减区间； （ii）当时，求的值. （2）设在区间上单调，且在区间上的所有零点之和为，求的值. 19. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $