精品解析：福建省泉州市永春第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

永春一中2026年3月高二数学阶段性限时训练3.5 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在这样的实数k 4. 已知数列满足，设的前n项和为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知，，且与夹角为钝角，则x的取值可以是（　　） A. -2 B. 1 C. D. 2 10. 设抛物线：焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为1正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点在线段上，则为定值 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两条直线与平行，则与间的距离是______. 13. 已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第__________项. 14. 如图，椭圆焦点三角形的，为的角平分线且，则椭圆离心率为______． 四、本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． （1）求双方需要进行第三局比赛的概率； （2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 16. 四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知圆心在轴上的圆与直线切于点. （1）求圆的标准方程； （2）已知，经过原点且斜率为正数直线与圆交于，.求的最大值． 18. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为. （1）求椭圆的方程; （2）设过点直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的最值； （2）①若恒成立，求a的最小值； ②证明：，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中2026年3月高二数学阶段性限时训练3.5 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 2. 由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得， 圆心到直线的距离为， 圆的半径为1， 故切线长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题． 3. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在这样的实数k 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，利用求函数的单调区间，可得出区间的包含关系，计算即可求出的取值范围. 【详解】， ， 令，解得： 或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在区间上单调， 或或 若，则，解得， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 4. 已知数列满足，设的前n项和为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先将等式左右两边同时取倒数，然后根据所得结果构造等比数列，由此求解出的通项，再结合等比数列的前项和公式求解出结果. 【详解】因为，所以， 所以且， 所以是首项为公比为的等比数列， 所以，所以，， 所以， 所以， 故选：D. 5. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由样本空间定义判断①，由互斥事件定义判断②，由对立事件定义判断③，利用古典概型概率求④. 【详解】对于①，可以从不同角度定义样本空间， 例如：以4次抛掷的有序结果为样本点，构成个等可能样本点的样本空间，是古典概型； 若以正面出现的次数为结果，构成含有5个样本点的样本空间， 但各样本点不是等可能的，不是古典概型； 由于可以构建不同的样本空间，故①正确； 对于②，事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正， 事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故②错误； 对于③，事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正， 与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故③正确； 对于④，基本事件样本总数为，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有种， 所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故④正确， 所以，错误的个数为1个. 6. 如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可． 【详解】解：过和分别作，， 在矩形，， ， ， 则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ,， ， ，， 则， 即与之间距离为， 故选：C． 7. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值. 详解】设， 因为，所以， 过点分别作准线于点，， 由抛物线定义可知， 由梯形中位线可知， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 故， 故，的最小值为. 故选：B 8. 已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设易得，即可利用倒序相加求得，由可得，进而得到数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，可求得，即可得到，进而得到，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由， 则， 由， 得， 则 ，即， 由，得， 则数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列， 偶数项是以为首项，4为公比的等比数列， 则数列为：， 显然数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，则， 所以， 则数列的前7项和为 . 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知，，且与夹角为钝角，则x的取值可以是（　　） A. -2 B. 1 C. D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意得出且与不共线，根据数量积公式列出不等式并排除两个向量反向时的值，即可判断得出答案. 【详解】由题意得，且与不共线，则， 即，解得，若与共线，则，即，得，与反向 需要舍去，所以的取值范围为且，所以B和D选项正确，A和C选项错误， 故选：BD. 10. 设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用抛物线的定义、以及几何性质求解. 【详解】 设，因为，所以， 因为，所以， 即，所以，所以， 解得，所以，解得或， 所以抛物线的方程为或． 故选:BC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点在线段上，则为定值 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，先用勾股定理计算，再可知点的轨迹，计算即可；选项B，利用向量的运算即可求解；选项C，法一，利用几何法找出球心即可计算出，法二，利用空间坐标系结合球面的定义即可计算出；选项D，由题意知点在以为圆心，1为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A，，则在以为圆心，半径为1的四分之一圆周上，如图（1） 轨迹长度为，故A错误； 对于B，如图（2）所示， 设，， ， 又， ，故B正确． 对于C，方法一，如图（3）所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，在中，外心为中点， 连接并延长交于点，易知平面， 过点作平行于的垂线交于点， 即为三棱锥的外接球球心，， 外接球半径，，故C正确． 方法二，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设球心，， ，解得， ，，故C正确． 对于， 由知，点在以为圆心，1为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，，， 故，如图在平面中，过点作于点， 则，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两条直线与平行，则与间的距离是______. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用两直线平行的公式求出参数，再用两平行线间距离公式求距离即可. 【详解】两条直线与平行, 解得， 经检验时，,两直线不重合； 所以， 则与间的距离, 故答案为：. 13. 已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第__________项. 【答案】 【解析】 【分析】通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 当时，， 所以当时，， 所以数列的最大项为第项. 故答案为： 14. 如图，椭圆焦点三角形的，为的角平分线且，则椭圆离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：根据知：，点坐标代入方程：，可得：，将点代入椭圆方程列式求解； 解法二：根据题意，根据知：，根据角平分线的性质，得到直线的方程，再得到点，利用，得到点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案. 【详解】解法一：根据 ，， 知，且， 则点坐标代入方程：， 当时，， 由可得：， 将点代入椭圆方程得：，化简得． 所以. 因此离心率为. 解法二：设点，且，， 因为，所以， 联立，解得， 由点A在椭圆C上，且， 则 ， 同理， 设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知 ， ， ，解得，，得． 可得直线．进而可得， 由，可得， 设中点为M，则．， 点差法的结论，证明如下： 设，，，为中点， 故，两式作差得，， 又由，，可整理得，， 最后化简得，， 进而得到，， 进而得． 所以，故，解得． 故答案为：． 四、本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． （1）求双方需要进行第三局比赛的概率； （2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由互斥事件和事件概率加法公式可得； （2）将所求事件转化为这互斥事件的和事件，再由概率加法公式可求. 【小问1详解】 若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局， 因为前两局比赛中，双方各先手一次， 故双方需要进行第三局比赛的概率． 【小问2详解】 记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥， 由， ， ， 得． 16. 四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得到、，从而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 连接，因平面，平面， 所以、， 又，，， 所以，所以，所以， ，平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 则， 设平面的法向量为，则，令， 则， 设二面角为，由图可得二面角为钝二面角， 所以，所以二面角的余弦值为. 17. 已知圆心在轴上的圆与直线切于点. （1）求圆的标准方程； （2）已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出直线的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式，结合换元法以及基本不等式求得的最大值. 小问1详解】 由圆心在轴上的圆与直线切于点，设， 直线的斜率为， 则，所以． 所以，所以，，即， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 设直线，与圆联立方程组， 可得， ，由根与系数的关系得，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最大值为. 【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值. 18. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为. （1）求椭圆的方程; （2）设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，的方程为，，点B在椭圆内，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意，得：又因为 解得，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 此时为椭圆的上下顶点，且， 因为点总在以线段为直径的圆内，且， 所以； 当直线的斜率存在时，设的方程为. 由方程组得， 因为直线与椭圆有两个公共点，即，得； 设，则. 设中点，则， 所以.所以， ， 因为点D总在以线段EF为直径的圆内，所以对于恒成立， 所以， 化简，得，整理得， 而（当且仅当时等号成立）所以， 由，得，综上，的取值范围是. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的最值； （2）①若恒成立，求a的最小值； ②证明：，其中． 【答案】（1）最大值0；无最小值； （2）①1；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接用导数判断函数的极值最值可得； （2）①将不等式进行参数分离得，再构造函数并用导数求函数的最大值，进而可得所求值最小值；②根据①的解析可得，进而可得，再由累加法可得所证不等式. 【小问1详解】 当时，函数，函数定义域为，， 当；当，所以在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得极大值也是最大值，无最小值. 故函数最大值0；无最小值； 【小问2详解】 若恒成立，即，得. 令，， 当；当.所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值也是最大值，所以. 故a的最小值为1； 由（1）可知，当时，恒成立，即（当且仅当时等号成立）, 令，所以，即对，都有. 由累加法得. 故，其中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $