精品解析：江西景德镇市乐平市第三中学2025-2026学年高二下学期数学5月月考

乐平三中2025-2026学年度下学期5月月考 高二数学 命题人: 王佳伟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 满分150分， 考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题: 本题共8小题， 每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列满足首项，公差，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】由题设. 2. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据等比数列公比的定义，公比， 已知通项公式，则， 代入得，因此公比为. 3. 已知函数满足，则（   ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合导数定义可得答案. 【详解】. 4. 若直线与曲线相切，则（    ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由，求导得. 因为直线与曲线相切，设切点为， 则切线斜率，解得. 则切点为，则，解得. 5. 已知等差数列中，其前项和为，则（ ） A. 185 B. 190 C. 195 D. 200 【答案】C 【解析】 【详解】. 6. 若函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要比较的大小，只需要比较三个自变量的大小即可，构造辅助函数，通过讨论单调性来比较三个自变量的大小即可. 【详解】因为由基本不等式，对任意实数，都有， 当且仅当时等号成立，又， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以比较的大小即可， 设，因为，当时，， 所以在单调递减，从而有， 所以，因为在上单调递增，所以， 即，所以. 7. 已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（ ） A. B. 数列的前20项和为 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求基本量，进而写出、，再由确定的通项公式，再依次判断各项的正误. 【详解】若的公差为，则，可得， 所以，，A、C对， 若且，则，易知为偶数， 不妨令，所以，于是有，D对， 所以，B错. 8. 若是函数的极大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意由推得，代入函数解析式消元后，求出导数，根据的取值分类讨论验证，即得参数的范围. 【详解】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 二、多选题: 本题共3小题， 每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9. 已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】BC 【解析】 【详解】由于可知是递增数列， 当时，，当时，，当时，， 所以，即的最小值为或， 则的前项和取最小值时，或12. 10. 若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（ ） A. B. 是函数的极大值点 C. 不是函数的极大值点 D. 函数在处的切线斜率大于0 【答案】CD 【解析】 【详解】根据导函数的图象可知 时，，时，，时，， 选项A：在上单调递增，因此可得，A错误； 选项B：极值点要求导函数在该点两侧变号，左右两侧都为正，因此不是极值点，B错误； 选项C：左侧，右侧，导函数符号不变，因此不是极值点，C正确； 选项D：函数在某点的切线斜率等于该点的导数值，处，因此切线斜率大于，D正确. 11. 登高山有若干层台阶，每次向上只能走1级台阶或跨2级台阶，例如走到第2层可以选择直接跨2级或者连续走2次1级共2种方法，设走到第层台阶的方法数是，于是，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据列出前11项可判断AB选项；根据可化简得出C选项；根据可化简得出D选项. 【详解】由于走到第级台阶可以从第级向上走一步，或者从第级向上跨两步， 所以， 由且可知，该数列的前11项：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 所以A正确，B错误； 因为，所以， 则，故C正确； 因为，所以， 所以， 而符合上式，所以D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题: 本题共3小题， 每小题5分， 共15分. 12. 函数的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求函数的极小值即可得出最小值. 【详解】， 由， 由， 所以函数在单调递减，上单调递增； 所以. 13. 已知数列满足， ，则________. 【答案】1535 【解析】 【详解】因为，，所以， 于是，所以， 所以 14. 已知表示的最大奇因数，如，，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】理解定义后得到的表达式，分析递推关系后累加求解； 【详解】解析：显然当是奇数，，当是偶数，， 记，那么有： ； 所以， 由累加法得. 四、解答题: 本题共5小题， 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和满足，且. （1）求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入已知条件可得到是等比数列，即可求得通项； （2）利用等比数列求和公式即可求和. 【小问1详解】 由，代入可得：， 所以是以为首项，3为公比的等比数列，即； 【小问2详解】 因为，所以. 16. 应用导数解决下列问题. （1）求椭圆在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）当，的增区间是，减区间是；当， 增区间是，无减区间；当，的增区间是，减区间是 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数与单调性分类讨论求解即可. 【小问1详解】 显然椭圆在点处的切线方程就是 函数图象在处的切线方程， 因为，所以切线斜率是 ， 所以切线方程是； 【小问2详解】 定义域为， 当，，在上单调递增； 当，令，得或，令，得， 所以的增区间是，减区间是； 当，令，得或，令，得， 所以的增区间是，减区间是； 综上所述，当，的增区间是，减区间是； 当， 增区间是，无减区间； 当，的增区间是，减区间是. 17. 已知数列满足，，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【小问1详解】 由已知，， 可得，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 从而可以得到，； 【小问2详解】 由（1）可得， 设数列的前项和为， 所以， ， 错位相减得 ， 所以. 18. 已知函数. （1）证明：当时，恒成立； （2）证明：当时，恒成立； （3）对任意的且，满足，求的取值范围. 【答案】（1）设，因为， 所以在上单调递减，所以当时，， 即当时，恒成立； （2）设，则， 因为时，，时，， 故在上单调递减，上单调递增，于是， 所以 等号当且仅当时成立，于是可得 ，等号当且仅当成立； 结合两不等式可得，且等号不同时成立； 所以当时，恒成立； （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数求最大值即可得证； （2）构造函数，利用导数可证明，据此可得，利用不等式传递性得证； （3）由所给不等式可知在单调递增，利用导数求参数取值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，原命题等价于对任意的，； 也就是 在单调递增， 而在恒成立，所以在恒成立， 所以，即的取值范围是. 19. “裂项相消”是解决数列求和问题的一种方法，很多数列的通项其实都可以写成两项相减的形式. 例如：，，…... ，将这些式子累加便可得到，于是可以求得. 相信你现在已经学会了“裂项相消”，现在已知，. （1）求数列的前100项和； （2）求； （3）证明:对任意的正整数，. 【答案】（1） （2）42925 （3）证明：当显然成立， 当时，， 所以 ， 综上对任意的正整数，. 【解析】 【分析】（1）利用裂项相消法求和即可； （2）利用题意构造的三次方裂项相消求平方和即可； （3）利用不等式放缩，结合裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 由，，……，， 累加可得， 所以 ， 令得：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平三中2025-2026学年度下学期5月月考 高二数学 命题人: 王佳伟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 满分150分， 考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题: 本题共8小题， 每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列满足首项，公差，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足，则（   ） A. B. C. 2 D. 4 4. 若直线与曲线相切，则（    ） A. B. C. 0 D. 1 5. 已知等差数列中，其前项和为，则（ ） A. 185 B. 190 C. 195 D. 200 6. 若函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（ ） A. B. 数列的前20项和为 C. D. 8. 若是函数的极大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题: 本题共3小题， 每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9. 已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（ ） A. B. 是函数的极大值点 C. 不是函数的极大值点 D. 函数在处的切线斜率大于0 11. 登高山有若干层台阶，每次向上只能走1级台阶或跨2级台阶，例如走到第2层可以选择直接跨2级或者连续走2次1级共2种方法，设走到第层台阶的方法数是，于是，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题: 本题共3小题， 每小题5分， 共15分. 12. 函数的最小值是________. 13. 已知数列满足， ，则________. 14. 已知表示的最大奇因数，如，，那么________. 四、解答题: 本题共5小题， 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和满足，且. （1）求； （2）求数列的前项和. 16. 应用导数解决下列问题. （1）求椭圆在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 17. 已知数列满足，，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）证明：当时，恒成立； （2）证明：当时，恒成立； （3）对任意的且，满足，求的取值范围. 19. “裂项相消”是解决数列求和问题的一种方法，很多数列的通项其实都可以写成两项相减的形式. 例如：，，…... ，将这些式子累加便可得到，于是可以求得. 相信你现在已经学会了“裂项相消”，现在已知，. （1）求数列的前100项和； （2）求； （3）证明:对任意的正整数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $