8.6.3 平面与平面垂直（第1课时　平面与平面垂直的判定）分层同步练习-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到创新探究，适配新授课知识巩固与核心素养培养，梯度合理。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|二面角、面面垂直判定定理基础应用|直接考查判定定理，如第1题二面角平面角判断，培养空间观念| |B级|斜三棱柱、动态点等综合情境|结合动态点（第8题）考查线面垂直，提升推理能力| |C级|多问探究（证明、线面角、二面角）|第12题三问递进，培养模型观念与创新意识|

8.6.3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 A级 必备知识基础练 1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有(　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.5对 3.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(　　) A.若m⊥β,α⊥β,则m∥α B.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥α C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α 4.(多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D,E分别为PB,PA的中点,则下列结论正确的有(　　) A.BC⊥平面PAB B.DE∥平面ABC C.平面ABD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC 5.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的大小为　　　　　.  6.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=. (1)求证:平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的大小. B级 关键能力提升练 7.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则过点C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC的内部 8.(多选题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,点D是AB上的动点,则下列结论正确的是(　　) A.BC⊥AC1 B.当D为AB的中点时,平面CDB1⊥平面AA1B1B C.当D为AB中点时,AC1∥平面CDB1 D.三棱锥A1-CDB1的体积是定值 9.如图,边长为2的两个等边三角形△ABC,△DBC,若点A到平面BCD的距离为,则二面角A-BC-D的大小为(　　) A. B. C. D. 10.如图,正八面体ABCDEF的12条棱长相等,则二面角E-AB-F的余弦值为　　　　　. 11.如图所示,在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,D是BC的中点,侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)求证:AD⊥CC1; (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C. C级 学科素养创新练 12.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点. (1)求证:EF⊥PD; (2)求直线PF与平面PBD所成角的正弦值; (3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值. 参考答案 1.A　∵PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC, ∴BA⊥PA,CA⊥PA, 因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角. 又∠BAC=90°,故选A. 2.D　∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A, ∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB, 又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD. ∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.故选D. 3.D　当m⊂α时,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A选项错误;若α∩β=n,显然n⊂α,这时m⊂α,n⊂β,m⊥n也可以成立,所以B选项错误;当m∥n时,显然α⊥β,m⊥α,n∥β成立,所以C选项错误;因为n⊥β,m⊥β,所以m∥n,又因为n⊥α,所以m⊥α,所以D选项正确.故选D. 4.ABC　对于A,由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC. 又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB, ∴BC⊥平面PAB,故A正确. 对于B,∵D,E分别为PB,PA的中点,∴DE∥AB, 又AB⊂平面ABC,DE⊄平面ABC, ∴DE∥平面ABC,故B正确. 对于C,由BC⊥平面PAB,AD⊂平面PAB,∴BC⊥AD. ∵PA=AB,D为PB的中点,∴AD⊥PB,∵PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,∴AD⊥平面PBC,又AD⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面PBC,故C正确. 对于D,由题意知PB与AC不垂直,∴PB与平面ADC不垂直,故D错误.故选ABC. 5.90°　如图,取BD的中点O,连接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,∴AO⊥BD,CO⊥BD, ∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角. ∴∠AOC=90°. 又∠BAD=∠BCD=90°, ∴△BAD与△BCD均为直角三角形. ∴OC=OD, ∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC, ∴△ACD为等边三角形. ∵E为CD的中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°. 6. (1)证明如图,连接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点, 所以BE⊥CD. 又因为AB∥CD,所以BE⊥AB. 又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD, 所以PA⊥BE.而PA∩AB=A, 因此BE⊥平面PAB. 又因为BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB. (2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB, 所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE, 所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角. 在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°, 故二面角A-BE-P的大小是60°. 7.A　因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B, 所以AC⊥平面ABC1. 因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1. 又因为平面ABC∩平面ABC1=AB, 所以过点C1作C1H⊥平面ABC,则H∈AB, 即H在直线AB上. 8.ACD　对于A,∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,∴BC⊥CC1,AC⊥CB,CC1∩CA=C,CC1⊂平面ACC1A1,CA⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1,AC1⊂平面ACC1A1,∴BC⊥AC1,故A正确; 对于B,∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC, ∴AA1⊥CD,∴当CD⊥AB时,由AA1,AB是平面AA1B1B中的相交线,得到CD⊥平面AA1B1B,平面CDB1⊥平面AA1B1B,此时D不一定为中点,故B错误; 对于C,设BC1∩B1C=O(图略),则O是BC1中点,连接OD,则D是AB中点时,OD∥AC1,∵AC1⊄平面CDB1,OD⊂平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1,故C正确; 对于D,∵△A1B1C的面积是定值,AB∥A1B1,AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,∴AB∥平面A1B1C,∴D到平面A1B1C的距离是定值,∴三棱锥A1-CDB1的体积是定值,故D正确.故选ACD. 9. A　如图,取BC的中点E,连接AE,DE,过点A作AF⊥ED于点F,因为△ABC,△DBC均为等边三角形,所以AE⊥BC,DE⊥BC,故∠AED为二面角A-BC-D的平面角. 又AE∩DE=E,AE,DE⊂平面AED,故BC⊥平面AED,又AF⊂平面AED,所以BC⊥AF,又AF⊥ED,DE∩BC=E,DE,BC⊂平面BCD,所以AF⊥平面BCD,则点A到平面BCD的距离为AF=. 又△ABC为等边三角形,边长为2,所以AE=,故在Rt△AFE中,sin∠AEF=,则∠AEF=,即∠AED=,故二面角A-BC-D的大小为.故选A. 10.-　如图,取AB的中点为N,连接EF交平面ABCD于点O,连接NE,NF, 设正八面体的棱长为2,可得EF=2EO=2,EN=FN=, 因为EA=EB,N为AB的中点, 所以EN⊥AB,同理可得FN⊥AB, 所以∠ENF为二面角E-AB-F的平面角, 所以cos∠ENF==-. 11.证明 (1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥侧面BB1C1C,底面ABC∩侧面BB1C1C=BC,AD⊂底面ABC,∴AD⊥侧面BB1C1C. 又CC1⊂侧面BB1C1C,∴AD⊥CC1. (2)如图,延长B1A1,与BM的延长线交于点N,连接C1N,则C1N⊂平面MBC1,∵AA1∥BB1,AM=MA1, ∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1, ∴A1C1=A1N=A1B1, ∴C1N⊥B1C1. 由已知侧面BB1C1C⊥底面ABC, ∴侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1. 又侧面BB1C1C∩底面A1B1C1=B1C1,C1N⊂底面A1B1C1,∴C1N⊥侧面BB1C1C. 又C1N⊂平面MBC1,∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C. 12.(1)证明在△ABC中,∠B=90°. ∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC. 又∵PB⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AC⊥PB. ∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD. ∵E,F分别为AB,BC的中点, ∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD, ∵PD⊂平面PBD,∴EF⊥PD. (2)解如图,设BD和EF交于点O,连接PO,由(1)知EF⊥平面PBD, ∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角,且PO⊂平面PBD, ∴EF⊥PO. ∵PB⊥平面ABC,BC,AB⊂平面ABC,∴PB⊥AB,PB⊥BC. ∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2. ∵OF=AC=,∴PF=. 在Rt△FPO中,sin∠FPO=, ∴直线PF与平面PBD所成角的正弦值为. (3)解如图,过点B作BM⊥PF于点M,连接EM. ∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B, ∴AB⊥平面PBC,∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC. ∵PF⊂平面PBC,∴PF⊥BE. 又PF⊥BM,BE∩BM=B,∴PF⊥平面BME, ∵EM⊂平面BME,∴PF⊥EM, ∴∠BME为二面角E-PF-B的平面角. 在Rt△PBF中,BM=, ∴tan∠BME=. ∴二面角E-PF-B的平面角的正切值为. 9 学科网（北京）股份有限公司 $