8.6.3 平面与平面垂直（第2课时　平面与平面垂直的性质定理）分层同步练习 -2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层设计科学，从基础概念到创新探究层层递进，有效巩固平面与平面垂直性质定理，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|平面与平面垂直性质定理的基础应用|第1题直接考查线面垂直关系判断，第2题多选题辨析概念易错点，夯实抽象能力| |B级|性质定理与多面体、旋转体的综合应用|第7题结合圆柱轴截面分析线面垂直，第11题三棱锥中面面垂直证明，提升推理能力| |C级|性质定理在复杂几何体中的创新探究|第12题四棱锥存在性问题，需综合线面垂直判定与计算，发展创新意识|

第八章 8.6.3　平面与平面垂直 第2课时　平面与平面垂直的性质定理 A级 必备知识基础练 1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(　　) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 2.(多选题)已知两个平面互相垂直,下列说法中错误的是(　　) A.一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 B.分别在这两个平面内且互相垂直的两条直线,一定分别与另一个平面垂直 C.过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线,必垂直于另一个平面 D.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 3.如图,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 4.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　.  5.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　.  6.图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②. (1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图②中的四边形ACGD的面积. B级 关键能力提升练 7.(多选题)如图,圆柱的轴截面是四边形ABCD,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下列结论正确的是(　　) A.AE⊥CE B.BE⊥DE C.DE⊥平面CEB D.平面ADE⊥平面BCE 8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使CD⊥平面ABD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是(　　) A.AD⊥平面BCD B.AB⊥平面BCD C.平面BCD⊥平面ABC D.平面ADC⊥平面ABC 9.三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的　　　　　心.  10.在三棱台ABC-A1B1C1中,A1A=B1B=C1C=A1B1=2,AB=4,侧面A1B1BA⊥底面ABC,M为AB的中点,线段MC的长为　　　　;该三棱台的所有顶点都在球O的球面上,则球O的体积为　　　　.  11.在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB∥平面MOC; (2)求证:平面MOC⊥平面VAB; (3)求点B到平面MOC的距离. C级 学科素养创新练 12.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F为侧棱PC上的任意一点. (1)求证:平面AFD⊥平面PAB; (2)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.C　直线m可能和直线l平行或异面,所以选项A错误;直线m和直线n可能平行、相交或异面,所以选项B错误;因为n⊥β,l⊂B,所以n⊥l,所以选项C正确;直线m和直线n可能平行、相交或异面,所选项D错误.故选C. 2.ABC　如果两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线可能与另一个平面平行,垂直或者相交,故A项错误; 例如在正方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ADD'A'⊥平面ABCD,AA'⊂平面ADD'A',BC⊂平面ABCD,直线AA'⊥CB,但是BC∥平面ADD'A',故B项错误; 例如在正方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ADD'A'⊥平面ABCD,交线为AD,取正方体的外接球球心为O,AD中点为M(图略),M∈平面ADD'A',则OM⊥AD,但OM不垂直平面ABCD,故C项错误; 根据两平面垂直,必能在另一平面找到一条直线m与平面内的已知直线n垂直,则在另一平面内与直线m平行的无数条直线均与n垂直,故D正确. 3.D　∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°. ∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点. 4. 2　如图,取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE. 由已知可得DE=,EC=1, 在Rt△DEC中,CD==2. 5.45°　 如图,过A作AO⊥BD于点O,∵平面ABD⊥平面BCD, ∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角. ∵∠BAD=90°,AB=AD, ∴∠ADO=45°. 6.(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)解如图,取CG的中点M,连接EM,DM. 因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE, 所以DE⊥平面BCGE, 故DE⊥CG. 由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM. 因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4. 7.ABD　由AB是底面圆的直径,得∠AEB=90°,即AE⊥EB.因为圆柱的轴截面是四边形ABCD,所以AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB,所以BE⊥AD.又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,所以BE⊥平面ADE,所以BE⊥DE,同理可得,AE⊥CE,故A,B正确;又BE⊂平面BCE,所以平面BCE⊥平面ADE,故D正确;因为AD∥BC,所以∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角,显然∠ADE≠90°,所以DE与平面CEB不垂直,故C错误.故选ABD. 8.D　∵在Rt△ADB中,∠BAD=90°,∴AD不可能垂直于BD,AB不可能垂直于BD,故A,B错误;∵CD⊥平面ABD,CD⊂平面BCD,∴平面BCD⊥平面ABD.若平面BCD⊥平面ABC,又平面ABD∩平面ABC=AB,∴AB⊥平面BCD,而AB不垂直于平面BCD,故C错误;∵∠BAD=90°,∴AD⊥AB,又CD⊥平面ABD,AB⊂平面ABD,∴CD⊥AB,又AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC,∵AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故D正确. 故选D. 9.垂　由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直, 由线面垂直的性质, 则有BC⊥PA,AB⊥PC,CA⊥PB, 又由BC⊥PA,PH⊥BC,得BC⊥平面PAH, 则BC⊥AH,同理有AB⊥CH,CA⊥BH, 所以H为△ABC高线的交点,即垂心. 10.2　　 如图,由题意,分别延长AA1,BB1,CC1交于点P, 连接PM交A1B1于点M1,连接C1M1,在三棱台ABC-A1B1C1中,A1A=B1B=C1C=A1B1=2,AB=4, 根据棱台的性质以及相似三角形的性质可得AP=BP=CP=AB=4, 所以△PAB为正三角形,又M为AB的中点, 所以PM=AP=2,PM⊥AB, 因为侧面A1B1BA⊥底面ABC,侧面A1B1BA∩底面ABC=AB,PM⊂侧面A1B1BA, 所以PM⊥底面ABC,又MC⊂底面ABC, 所以PM⊥MC,所以在Rt△PMC中, 由勾股定理得MC==2, 所以MC=AB=2,又M为AB的中点, 所以AC⊥CB,根据棱台的性质可得A1C1⊥C1B1, 所以△ABC与△A1B1C1的外心分别为M,M1, 故三棱台ABC-A1B1C1的外接球的球心在线段MM1上,连接OA,OA1,则设OM=x,三棱台外接球的半径为R, 所以AM2+OM2=A1+O=R2, 即4+x2=1+(-x)2,解得x=0, 所以球心O与点M重合,所以R=2, 则该三棱台外接球的体积V=πR3=. 11.(1)证明∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB. 又VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC, ∴VB∥平面MOC. (2)证明∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB. 又平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB,又OC⊂平面MOC, ∴平面MOC⊥平面VAB. (3)解连接MB,VO,过M作MD⊥AB,垂足为D(图略),设h'为点B到平面MOC的距离,h为点M到平面BOC的距离. ∵VM-BOC=VB-MOC,∴S△BOC·h=S△MOC·h'. ∵平面VAB⊥平面ABC,VO⊥AB,∴VO⊥平面ABC. 又△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O为AB的中点,∴AB=2,VO=. 又MD⊥AB,M为VA的中点,∴MD=VO=h=. ∵S△BOC=×1×1=,S△MOC=×1×1=, ∴h'=,即点B到平面MOC的距离为. 12.(1)证明∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,且PA⊥AC,PA⊂平面PAC, ∴PA⊥平面ABCD. 又AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AD. 又AB⊥AD,PA∩AB=A, ∴AD⊥平面PAB,又AD⊂平面AFD, ∴平面AFD⊥平面PAB. (2)解存在点F,当AF⊥PC时,直线AF与平面PCD垂直. 证明如下: 由AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2,得AC=CD=,∴CD⊥AC. 又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD, ∵PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 又AF⊂平面PAC,∴CD⊥AF. 又AF⊥PC,CD∩PC=C,∴AF⊥平面PCD. 在△PAC中,PA=2,AC=,∠PAC=90°, ∴PC=,AF=,PF=.∴存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直,此时线段PF的长为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $