8.6.3第2课时 平面与平面垂直的性质定理 课时达标-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3　平面与平面垂直 第2课时　平面与平面垂直的性质定理 一．选择题 1.(多选题)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是(　　) A.若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β B.若m,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β C.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n D.若α⊥β,m⊂α,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β 2.下列说法错误的是(　　) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作一条直线与两平面的交线垂直,那么此直线必垂直于β 3.(多选题)如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA⊥AD,下列结论正确的是(　　) A.PD⊥BD B.PD⊥CD C.PB⊥BC D.PA⊥BD 4.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC =30°,则PC=(　　) A. B.2 C. D.2 5.如图,平面α⊥平面β,在α与β的交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和β内,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=3,BD=12,则CD=(　　) A.8 B.10 C.13 D.16 6.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则(　　) A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α B.若α⊥β,m⊥β,则m∥α C.若α⊥β,m⊥β,n⊥α,则m⊥n D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α 7.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2,E,F分别是侧面ACC1A1和侧面ABB1A1上的动点,且满足二面角A-EF-A1为直二面角.若点P在线段EF上,且AP⊥EF,则点P的轨迹的面积是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 二．填空题 8.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是边AB上的一动点,则PM的最小值为　　　　　.  9.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,AB的长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为θ,则θ=　　　　　.  10.在三棱柱ABC-A'B'C'中,侧面A'ACC'是垂直于底面的菱形,BC⊥A'C',则A'B与AC'所成的角的大小为　　　　　.  三．解答题 11.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,AB∥CD,∠DAB =90°,PA=AD,DC=2AB. 求证:(1)PA⊥BC; (2)平面PBC⊥平面PDC. 12.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD,则PA与BD是否相互垂直?请证明你的结论. 13.如图①,在四边形ABCD中,AD=2,CD=2,△ABC是边长为4的正三角形,把△ABC沿AC折起到△PAC的位置,使得平面PAC⊥平面ACD,如图②所示,O,M,N分别为AC,PA,AD的中点. ① ② (1)求证:平面PAD⊥平面PON; (2)求三棱锥M-ANO的体积. 8.6.3　平面与平面垂直 第2课时　平面与平面垂直的性质定理 一．选择题 1.AD A选项,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊂β,则α⊥β,正确;B选项,若m,n⊂α,m∥β,n∥β,只有m与n相交,才能得出α∥β,错误;C选项,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m,n可能平行也可能异面,错误;D选项,由面面垂直的性质定理可知正确.故选AD. 2.D 3.BCD 因为PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.故D正确. 同理CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD.故B正确. 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以PB⊥BC.故C正确. 若PD⊥BD,又PA⊥BD,PA∩PD=P,则BD⊥平面PAD,则BD⊥AD,显然不成立,故A不正确. 故选BCD. 4.C 因为PA=PB=,PA⊥PB,所以AB=2. 因为AB⊥BC,∠BAC=30°, 所以BC=ABtan 30°=2. 因为平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC⊂平面ABC, 所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB, 所以PC=. 5.C 如图,连接BC. ∵BD⊥AB,α⊥β,α∩β=AB,BD⊂β,∴BD⊥α. ∵BC⊂α,∴BD⊥BC, 在Rt△BAC中,BC==5. 在Rt△CBD中,CD==13. 6.C 7.B ∵二面角A-EF-A1为直二面角, ∴平面AEF⊥平面EFA1. 又点P在线段EF上,且AP⊥EF,AP⊂平面AEF,平面AEF∩平面EFA1=EF, ∴AP⊥平面EFA1. 连接A1P,如图, ∴AP⊥A1P, ∴点P在以AA1为直径的球上,且P在三棱柱ABC-A1B1C1内部, ∴点P的轨迹为以AA1为直径的球在三棱柱ABC-A1B1C1内部的曲面. 又由已知条件得三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴点P的轨迹的面积S=×4π×12=.故选B. 二．填空题 8.2 如图,连接CM,由题意可知PC⊥平面ABC,则PC⊥CM,所以PM=.要求PM的最小值,只需求出CM的最小值即可. 在△ABC中,当CM⊥AB时,CM取得最小值,此时CM=4×=2,所以PM的最小值为2. 9.45° 如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD. 因为△PAD是等边三角形,所以PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,∠PBG是PB与平面ABCD所成的角θ. 在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG, 所以∠PBG=45°, 即θ=45°. 10.90° 如图,连接A'C.因为BC⊥A'C',A'C'∥AC, 所以BC⊥AC. 因为平面A'ACC'⊥平面ABC,平面A'ACC'∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面A'ACC', 所以BC⊥AC'. 因为四边形A'ACC'为菱形, 所以AC'⊥A'C. 因为BC∩A'C=C,所以AC'⊥平面A'CB, 所以AC'⊥A'B. 所以A'B与AC'所成的角等于90°. 三．解答题 11. 证明:(1)因为平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊥AB, PA⊂平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD. 又BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC. (2)取PC的中点E,PD的中点F, 连接BE,AF,EF(图略), 则EF∥CD,EF=CD. 又AB∥CD,AB=CD,所以EFAB. 所以四边形ABEF为平行四边形, 所以BE∥AF. 因为PA=AD,F为PD的中点, 所以AF⊥PD. 由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD. 又∠DAB=90°,AB∥CD,所以CD⊥AD. 又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥AF. 又PD∩CD=D, 所以AF⊥平面PDC,所以BE⊥平面PDC. 又BE⊂平面PBC, 所以平面PBC⊥平面PDC. 12. 解:PA与BD互相垂直.证明如下:如图,取BC的中点O,连接PO,AO. ∵PB=PC,∴PO⊥BC. 又侧面PBC⊥底面ABCD,侧面PBC∩底面ABCD=BC, ∴PO⊥底面ABCD, ∴PO⊥BD. ∵AB=BC=2CD,∴BO=CD. 又∠ABO=∠BCD=90°, ∴△ABO≌△BCD, ∴∠BAO=∠CBD. 又∠CBD+∠ABD=90°, ∴∠BAO+∠ABD=90°,∴AO⊥BD. 又PO∩AO=O,∴BD⊥平面PAO, ∴BD⊥PA,∴PA与BD相互垂直. 13. (1)证明:因为△PAC为正三角形,O为AC的中点,所以PO⊥AC. 又平面PAC⊥平面ACD,平面PAC∩平面ACD=AC,所以PO⊥平面ACD. 又AD⊂平面ACD,所以PO⊥AD. 因为AD=2,CD=2,AC=4, 所以AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD. 又O,N分别为AC,AD的中点, 所以ON∥CD, 所以AD⊥ON. 又ON∩PO=O, 所以AD⊥平面PON. 又AD⊂平面PAD, 所以平面PAD⊥平面PON. (2)解:因为△PAC是边长为4的等边三角形, 所以PO=2. 又PO⊥平面ACD,M为PA的中点,所以M到平面ACD的距离d=PO=. 因为ON为△ACD的中位线,所以S△AON=S△ACD=×2×2=. 所以VM -ANO=S△AON·d=. 学科网（北京）股份有限公司 $