7.3.1 复数的三角表示式+7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义分层同步练习-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过A级基础巩固、B级能力提升、C级素养创新三级分层，构建“概念辨析-运算应用-综合创新”的知识巩固路径，适配新授课教学，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|复数三角形式判断、辐角主值、简单乘除运算|以概念辨析题（第1题）和基础证明题（第5题）夯实必备知识，强调数学语言规范表达| |B级|棣莫弗定理应用、复数旋转几何意义、综合运算|通过多选题（第6题）和几何应用题（第7题）提升逻辑推理能力，衔接课时重点| |C级|复数与参数方程结合、模长综合应用|以创新题（第10题）融合数学眼光与运算能力，体现学科素养高阶要求|

7.3.1 复数的三角表示式　7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 A级 必备知识基础练 1.下列复数中,是三角形式的是(　　) A.2cos-isin B.2cos+isin C.-2cos+isin D.2cos+isin 2.复数cos+isin7在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.[2(cos 60°+isin 60°)]3=　　　　　.  4.已知复数z1=-+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为　　　　　.  5.利用复数的三角形式,求证:|z1z2|=|z1||z2|. B级 关键能力提升练 6.(多选题)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)的形式,通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是(　　) A.|z2|=|z|2 B.当r=1,θ=时,z3=1 C.当r=1,θ=时,i D.当r=1,θ=时,若n为偶数,则复数zn为纯虚数 7.如果向量对应复数-2i,绕原点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量,求对应的复数. 8.计算下列各式的值: (1)-i·2cos+isin; (2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°). 9.已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的根. (1)求p+q的值; (2)复数w满足zw是实数,且|w|=2,求复数w. C级 学科素养创新练 10.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω. (1)求ω; (2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值. 参考答案 1.D　复数的三角形式是r(cos θ+isin θ),其中r>0.对于A,2cos-isin中-isin不满足;对于B,2cos+isin中不满足;对于C,-2cos+isin中-2<0,不满足.故选D. 2.C　由已知得cos+isin7=cos+isin=cosπ++isinπ+=-cos-isin=-i,所以复数cos+isin7在复平面内所对应的点的坐标为-,-,位于第三象限.故选C. 3.-8　原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos 180°+isin 180°)=-8. 4.　因为z1=-+i,2iz=z1,所以z=i=cos+isin,所以复数z的辐角主值为. 5.证明 设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则|z1|=r1,|z2|=r2,|z1||z2|=r1r2, 又∵z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)], ∴|z1z2|=r1r2=r1r2, ∴|z1z2|=|z1||z2|. 6.AC　对于A选项,z=r(cos θ+isin θ),则z2=r2(cos 2θ+isin 2θ),可得|z2|=r2,|z|2=r2,A选项正确;对于B选项,当r=1,θ=时,z3=r3(cos 3θ+isin 3θ)=cos3×+isin3×=cos π+isin π=-1,B选项错误;对于C选项,当r=1,θ=时,z=cos+isini,则i,C选项正确;对于D选项,当r=1,θ=时,zn=cos nθ+isin nθ=cos+isin,取n=4,则n为偶数,则z4=cos π+isin π=-1不是纯虚数,D选项错误.故选AC. 7.解 -2i=2cos+isin,则对应的复数为2cos+isin×cos-+isin-=3cos+isin=3cos+isin=3×-i=-i. 8.解(1)·2cos+isin =cos+isin·2cos+isin =2(cos π+isin π)=-2. (2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°)=30(cos 270°+isin 270°)=-30i. 9.解(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根是互为共轭复数的,所以它的另一根是2-i,根据根与系数的关系可得z1+z2=4=-p,z1·z2=5=q, 则p=-4,q=5,p+q=1. (2)设w=a+bi(a,b∈R). 由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0. 又|w|=2,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i. 10.解(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R), 将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω, 化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai, ∴解得∴ω=-1+i. (2)|z-ω|=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i| = =. ∵|z-ω|=1+,∴=1+, 化简得cos=1. ∵≤θ+<2π+,∴θ+=2π,即θ=. 5 学科网（北京）股份有限公司 $