7.2.2　复数的乘、除运算-分层同步练习-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础运算到素养探究，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，体现数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|复数乘除运算、幂运算、模、共轭复数、方程求解|基础选择/填空/解答题，如i的幂运算（1）、复数除法（2），巩固概念与基本运算| |B级|复数几何意义、综合运算、旋转问题|多选题（11）、几何意义应用（15），提升逻辑推理与数形结合能力| |C级|虚数性质探究|探究性解答题（17），培养抽象思维与创新意识，体现数学探究精神|

7.2.2　复数的乘、除运算 A级 必备知识基础练 1.若复数z=(i为虚数单位),则z2 026=(　　) A.-1 B.1 C.i D.-i 2.若z=1+2i,则=(　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 3.(2025新高考Ⅰ)(1+5i)i的虚部为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 4.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于(　　) A. B. C.- D.- 5.设z=+2i,则|z|=(　　) A.0 B. C.1 D. 6.(多选题)若复数z满足z(1+i)=2-i(i为虚数单位),则下列说法正确的是(　　) A.|z|= B.z的虚部为-i C.z· D.若复数ω满足|ω-2z|=1,则的最大值为 7.方程x2+2x+2=0在复数范围内的解为x=　　　　　.  8.已知复数z=(i是虚数单位),则z2=　　　　　;|z|=　　　　　.  9.(1)已知复数z1=a+i,z2=1-i,a∈R. ①当a=1时,求z1·的值; ②若z1-z2是纯虚数,求a的值. (2)若复数z1满足(z1-2+i)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2. 10.已知复数z=(a+i)(1+bi)(a,b∈R)是纯虚数,且|z|=10. (1)求a,b的值; (2)若a,b∈(0,+∞),ω=,求复数ω的模|ω|. B级 关键能力提升练 11.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是(　　) A.若|z1-z2|=0,则 B.若z1=,则=z2 C.若|z1|=|z2|,则z1=z2 D.若|z1|=|z2|,则 12.若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(　　) A.z的虚部为-i B.|z|=2 C.z的共轭复数为-1-i D.z2为纯虚数 13.若复数z=(a∈R,i为虚数单位)为纯虚数,则复数z+1+i的虚部为(　　) A.2i B.2 C.3i D.3 14.若复数(1+ai)(2-i)在复平面内对应的点在直线y=x上,则实数a=　　　　　.  15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　.  16.已知复数z1,z2是方程z2-z+1=0的解,复平面内表示z1的点A在第四象限,O是原点. (1)点A关于虚轴的对称点为点B,求向量对应的复数; (2)将复数z2对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量对应的复数为z3,求的值. C级 学科素养创新练 17.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)设u=,证明:u为纯虚数. 参考答案 1.A　因为z==-i,所以z2=-1,z4=1,所以z2 026=(-i)2 026=i2 026=i506×4+2=i2=-1.故选A. 2.C　=i,故选C. 3.C　∵(1+5i)i=-5+i,∴虚部为1.故选C. 4.A　z1=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i, 因为z1是实数,所以4a-3=0,即a=.故选A. 5.C　z=+2i=+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C. 6.AC　因为复数z满足z(1+i)=2-i,则z=,对A选项,|z|=,故A正确;对B选项,z的虚部为-,故B错误;对C选项,z·,故C正确;对D选项,令ω=a+bi,则|ω-2z|=|(a+bi)-(1-3i)|=|a-1+(b+3)i|=1,则(a-1)2+(b+3)2=1,所以点(a,b)在以(1,-3)为圆心,1为半径的圆上,故|ω|的最大值为点(a,b)与点(0,0)距离的最大值,为+1=1+,故D错误.故选AC. 7.-1±i　由求根公式可得,x==-1±i. 8.2i　　z==-1-i, ∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=. 9.解 (1)①当a=1时,z1·=(1+i)(1+i)=1+2i+i2=2i. ②由题意可得z1-z2=(a-1)+2i,则a-1=0,即a=1. (2)由已知,设z1=x+yi(x,y∈R),则(z1-2+i)(1+i)=(x+yi-2+i)(1+i)=x-y-3+(x+y-1)i=1-i, 所以解得所以z1=2-2i. 设z2=b+2i,b∈R,则z1·z2=2(1-i)(b+2i)=2[b+2+(2-b)i], 因为z1z2是实数,所以2-b=0,即b=2,所以z2=2+2i. 10.解(1)z=(a+i)(1+bi)=(a-b)+(ab+1)i, 因为z是纯虚数,且|z|=10,所以a-b=0,ab+1≠0, |ab+1|=10,所以a=b=3,或a=b=-3. (2)由(1)及a,b∈(0,+∞),知a=b=3, 所以ω=i, 所以|ω|=. 11.ABC　对于A,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒,真命题;对于B,z1==z2,真命题;对于C,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,若|z1|=|z2|,则,z1·,z2·,所以z1·=z2·,真命题;对于D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即,假命题.故选ABC. 12.D　z==1-i.z的虚部为-1,A错误;|z|=,B错误;=1+i,C错误;z2=(1-i)2=-2i,为纯虚数,D正确.故选D. 13.B　∵为纯虚数,∴=0且≠0,解得a=1,∴z=i, ∴z+1+i=1+2i,其虚部为2.故选B. 14.3　∵(1+ai)(2-i)=2-i+2ai+a=(a+2)+(2a-1)i, ∴由题意可知,复数(1+ai)(2-i)在复平面内对应的点的坐标为(a+2,2a-1),则2a-1=a+2,即a=3. 15.2　在复平面内,用向量方法求解, 原问题即等价于平面向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=(,1),求|a-b|, 由(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,可得4+(a-b)2=16,故|a-b|==2.故答案为2. 16.解(1)对于方程z2-z+1=0,Δ=1-4<0, 所以方程z2-z+1=0有两个不等的虚根, 因为复数z1,z2是方程z2-z+1=0的解,且复平面内表示z1的点A在第四象限, 所以z1=i,z2=i,所以点A, 因为点A关于虚轴的对称点为点B,所以点B, 所以对应的复数为-i. (2)由(1)知z2=i,则z3=-i, 因此=-i, i, 故=-i+i=0. 17.(1)解设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0. 所以ω=z+=x+yi+=x+yi+=x+i. 因为ω是实数且y≠0,所以y-=0, 所以x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x. 因为-1<ω<2,所以-1<2x<2, 从而有-<x<1,即z的实部的取值范围是. (2)证明设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0, 由(1)知,x2+y2=1, 所以u==-i. 因为x∈,y≠0,所以≠0,所以u为纯虚数. 6 学科网（北京）股份有限公司 $