7.2.2 复数的乘、除运算 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2　复数的乘、除运算 一、必备知识基础练 1.(探究点一·2025全国新课标卷1,1)(1+5i)i的虚部为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 2.(探究点一)已知复数z=,则z的虚部为(　　) A. B.- C. D.- 3.(探究点一)若z=1-2i,则(1+)·z=(　　) A.-2-4i B.-2+4i C.6-2i D.6+2i 4.(探究点一)若(1+i)(a+i)=-5+bi,其中a,b∈R,则b=(　　) A.3 B.2 C.-2 D.-3 5.(探究点一·2025江西九江高一期末)若复数z满足(2-i)z=i,则在复平面内z对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.(探究点一)设z=+2i,则|z|=(　　) A.0 B. C.1 D. 7.(探究点一)已知复数z满足=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.(探究点一·2025上海高一期末)已知复数z1,z2,z3,以下关于复数运算性质的表述,正确的是(　　) A.若|z1|=|z2|,则z1=±z2 B.(z1+z2)z3=z1z3+z2z3 C.若|z1z2|=|z1z3|,则|z2|=|z3| D.|z1+z2|=|z1|+|z2| 9.(多选题)(探究点二)若复数z=,则下列说法正确的是(　　) A.z的共轭复数 B.|z|= C.复数z的实部与虚部相等 D.复数z在复平面内对应的点在第四象限 10.(探究点三)方程x2+2x+2=0在复数范围内的解为x=　　　　　.  11.(探究点一)已知复数z=(i是虚数单位),则z2=　　　　　,|z|=　　　　　.  12.(探究点一、三)已知复数z=+1+i,i为虚数单位. (1)求|z|和; (2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值. 二、关键能力提升练 13.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是(　　) A.若|z1-z2|=0,则 B.若z1=,则=z2 C.若|z1|=|z2|,则z1=z2 D.若|z1|=|z2|,则 14.(多选题)已知z(2+i)=i2,则下列说法正确的是(　　) A.z在复平面内对应的点的坐标为(,-) B.=-i C.z在复平面内对应的点与点(,-)关于原点对称 D.|z|= 15.(多选题)已知z1与z2是共轭复数,以下四个命题正确的是(　　) A.z1z2=|z1z2| B.<|z2|2 C.z1+z2∈R D.∈R 16.(2025广东东莞高一期中)已知复数z=(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则实数a=　　　　　.  17.已知两个复数的和为4、积为6,则这两个复数为　　　　　　　　　.  18.复数z=-,则1+z+z2=　　　　　.  19.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　.  20.已知z是虚数,z+是实数,是虚数z的共轭复数,则(-z)2+z+的最小值是　　　　　.  21.已知复数z=1-2i. (1)求|z|; (2)若z1=,求z1; (3)若|z2|=,且zz2是纯虚数,求z2. 三、学科素养创新练 22.定义运算|ac　bd|=ad-bc.若复数x=,y=|4i2xi　xi0|,则|x|=　　　　　,y=　　　　　.  23.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)设u=,证明:u为纯虚数. 参考答案 1.C　因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1.故选C. 2.C　z=i, 故虚部为.故选C. 3.C　由复数z=1-2i,可得=1+2i,所以(1+)·z=(2+2i)(1-2i)=6-2i.故选C. 4.D　∵(1+i)(a+i)=a+i+ai+i2=(a-1)+(a+1)i=-5+bi,∴解得故选D. 5.B　z==-i,则复平面内z对应的点为(-),该点位于第二象限.故选B. 6.C　z=+2i=+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C. 7.D　∵=1+i,∴z-2==-i, ∴z=2-i,∴z的对应点为(2,-1).故选D. 8.B　对于A,D,若z1=1,z2=i,此时|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则z1≠±z2,|z1+z2|≠|z1|+|z2|,故A,D错误; 对于B,(z1+z2)z3=z1z3+z2z3,故B正确; 对于C,由|z1z2|=|z1z3|,得|z1||z2|=|z1||z3|,题目未限定z1≠0,故无法推出|z2|=|z3|,故C错误.故选B. 9.BD　因为z=,所以,故A错误; |z|=,故B正确; 复数z的实部为,虚部为-,不相等,故C错误; 复数z在复平面内对应的点为(,-),在第四象限,故D正确.故选BD. 10.-1±i　由求根公式可得,x==-1±i. 11.2i　　z==-1-i, ∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=. 12.解(1)∵复数z=+1+i=+1+i=1-2i+1+i=2-i,∴|z|==2+i. (2)∵复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根, ∴(2-i)2+m(2-i)+n=0, ∴4-4i+i2+2m-mi+n=0,∴(3+2m+n)-(m+4)i=0, ∴解得m=-4,n=5. 13.ABC　对于A,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒,真命题; 对于B,z1==z2,真命题; 对于C,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1=z2,真命题; 对于D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即,假命题. 14.BCD　由题意得z==-i,即z在复平面内对应的点的坐标为(-),与点(,-)关于原点对称,A错误,C正确; =-i,B正确; |z|=,D正确.故选BCD. 15.AC　设z1=a+bi,z2=a-bi,a,b∈R, 因为z1z2=a2+b2,|z1z2|=a2+b2,所以z1z2=|z1z2|, 所以选项A正确; 因为=a2-b2+2abi,=()2=a2+b2, 所以与|z2|2不能比较大小,所以选项B不正确; 因为z1+z2=2a∈R,所以选项C正确; i,因为不一定是0,所以不一定是实数, 所以选项D不正确.故选AC. 16.-1　∵z=为纯虚数,∴=0,≠0,∴a=-1. 17.2+i和2-i　由题意知这两个数是方程x2-4x+6=0的两个根,整理得(x-2)2=-2,解得x=2±i, 所以这两个复数为2+i和2-i. 18.0　z=-=-=-i,∴1+z+z2=1-i+(-i)2=1-i+(-i)=0. 19.5　2　由已知(a+bi)2=3+4i,即a2-b2+2abi=3+4i,从而有解得 则a2+b2=5,ab=2. 20.-　设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0), 则z+=a+bi+=a++(b-)i, 因为z+是实数,所以b-=0,因为b≠0,所以1-=0,所以a2+b2=2,则z+=2a. 因为z=a+bi,所以=a-bi,所以(-z)2=(-2bi)2=-4b2,所以(-z)2+z+=-4b2+2a,因为a2+b2=2,所以b2=2-a2,因为b2≥0,所以2-a2≥0,所以-<a<,则(-z)2+z+=-4b2+2a=4a2+2a-8=(2a+)2-≥-,当a=-时,取到最小值. 21.解(1)|z|=. (2)z1==-i. (3)设z2=a+bi,a,b均为实数, 则|z2|=,所以a2+b2=5①, zz2=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i, 因为zz2是纯虚数,所以a+2b=0,b-2a≠0②, 由①②联立,解得 所以z2=2-i或z2=-2+i. 22.1　-2　因为x==-i,则|x|=1, 所以y=|4i2xi　xi0|=|4i2　10|=4i·0-1×2=-2. 23.(1)解因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+=x+yi+=x+yi+=x+i. 因为ω是实数且y≠0,所以y-=0,所以x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x.因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有-<x<1,即z的实部的取值范围是. (2)证明设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,由(1)知,x2+y2=1,所以u==-i.因为x∈,y≠0,所以≠0,所以u为纯虚数. 5 学科网（北京）股份有限公司 $