第六章　平面向量及其应用 综合模拟测试卷 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

第六章　平面向量及其应用

（时间：120分钟      满分：150分）

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.对于平面向量a,b,c,下列叙述正确的是(　　)

A.若|a|=|b|,则a=±b

B.若a与b是单位向量,则a·b≤1

C.若a∥b,则a·b=|a|·|b|

D.若a∥b,b∥c,则a∥c

2.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是(　　)

A. B.

C. D.

3.在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　)

A.1 B. C. D.3

4.已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为(　　)

A. B. C.1 D.2

5.已知向量=(1,-2),=(2,-3),=(3,t).若A,B,C三点共线,则实数t=(　　)

A.-4 B.-5 C.4 D.5

6.已知平面向量满足||=||=1,=-.若||=1,则||的最大值为(　　)

A.-1 B.-1

C.+1 D.+1

7.(2022新高考Ⅱ)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t=(　　)

A.-6 B.-5 C.5 D.6

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,BC边上的高为1,则△ABC面积的最小值为(　　)

A.2- B.2-

C.2+ D.2+

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则下列选项正确的有(　　)

A.(a+2b)∥c

B.(a+2b)⊥c

C.|a+c|=

D.|a+c|=2|b|

10.设P是△ABC所在平面内的一点,=3,则(　　)

A.=0

B.=0

C.

D.=0

11.已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.在水流速度为4 km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8 km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为　　　　　 km/h. 

13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　. 

14.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　　. 

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且.

(1)求||;

(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{}表示.

 

 

 

 

 

 

 

16.(15分)设a,b是不共线的两个非零向量.

(1)若=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,求证:A,B,C三点共线;

(2)若4a+kb与ka+b共线,求实数k的值,并指出4a+kb与ka+b反向共线时k的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,在B处望见岛A在北偏东75°,航行20 海里后,在C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cos B+bcos A=0.

(1)求角B的大小;