第六章　平面向量及其应用 综合模拟测试卷 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本单元卷聚焦平面向量与解三角形，通过基础概念辨析（如向量性质、数量积）、高考真题再现（2022新高考Ⅱ题）及航海触礁等实际情境，实现知识巩固与能力提升的梯度训练，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量概念、数量积、解三角形|第7题融入高考真题，考查向量夹角计算，体现命题规范性| |多项选择|3/18|向量运算、共线定理|第11题结合三角形存在性，培养数学思维的严谨性| |填空题|3/15|向量应用、余弦定理|第12题以水流航行为情境，强化数学眼光观察现实世界| |解答题|5/77|向量共线证明、解三角形应用|第17题航海触礁问题，通过建模考查数学语言表达与应用意识|

第六章　平面向量及其应用 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.对于平面向量a,b,c,下列叙述正确的是(　　) A.若|a|=|b|,则a=±b B.若a与b是单位向量,则a·b≤1 C.若a∥b,则a·b=|a|·|b| D.若a∥b,b∥c,则a∥c 2.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是(　　) A. B. C. D. 3.在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　) A.1 B. C. D.3 4.已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为(　　) A. B. C.1 D.2 5.已知向量=(1,-2),=(2,-3),=(3,t).若A,B,C三点共线,则实数t=(　　) A.-4 B.-5 C.4 D.5 6.已知平面向量满足||=||=1,=-.若||=1,则||的最大值为(　　) A.-1 B.-1 C.+1 D.+1 7.(2022新高考Ⅱ)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t=(　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,BC边上的高为1,则△ABC面积的最小值为(　　) A.2- B.2- C.2+ D.2+ 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则下列选项正确的有(　　) A.(a+2b)∥c B.(a+2b)⊥c C.|a+c|= D.|a+c|=2|b| 10.设P是△ABC所在平面内的一点,=3,则(　　) A.=0 B.=0 C. D.=0 11.已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在水流速度为4 km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8 km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为　　　　　 km/h.  13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　.  14.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且. (1)求||; (2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{}表示. 16.(15分)设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,求证:A,B,C三点共线; (2)若4a+kb与ka+b共线,求实数k的值,并指出4a+kb与ka+b反向共线时k的值. 17.(15分)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,在B处望见岛A在北偏东75°,航行20 海里后,在C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由. 18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cos B+bcos A=0. (1)求角B的大小; (2)若b=3,求△ABC的周长的最大值. 19.(17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 参考答案 1.B　对于A,若a=(1,0),b=(0,1),此时|a|=|b|=1,而a≠b且a≠-b,故A错误;对于B,因为a与b是单位向量,<a,b>∈[0,π],所以a·b=|a|·|b|cos<a,b>=cos<a,b>≤1,故B正确;对于C,当a∥b时,若<a,b>=π,则a·b=-|a|·|b|,故C错误;对于D,当b=0时,满足a∥b,b∥c,而不一定有a∥c,故D错误.故选B. 2.A　∵A(4,1),B(7,-3), ∴=(3,-4),故与向量同向的单位向量为.故选A. 3.D　设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D. 4.A　∵a=(1,-2),b=(-2,m),∴a·b=-2-2m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=.故选A. 5.A　向量=(1,-2),=(2,-3),=(3,t).若A,B,C三点共线,则存在实数x,使=x+(1-x),即解得故选A. 6.D　∵||=||=1,=-, ∴cos∠APB==-, ∴∠APB=. 由余弦定理得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=,则||=. ∴当同向共线时,||有最大值 +1. 故选D. 7.C　由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故,解得t=5.故选C. 8.B　设△ABC的面积为S,BC边上的高为h,则h=1, ∴S=bcsin A=bc,即bc=4S. 又S=ah=a, ∴S2=a2=(c2+b2-2bccos A)=(c2+b2-bc)≥(2bc-bc)=bc=×4S=(2-)S, 当且仅当b=c时,等号成立.∴S≥2-, 故△ABC面积的最小值为2-.故选B. 9.AD　a+2b=(-3,5)=-c,故A正确,B错误;|a+c|==2=2|b|,故C错误,D正确.故选AD. 10.CD　因为=3,所以-3=0,即=0,故D正确,A,B错误;易知C正确.故选CD. 11.ABC　在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得,即,解得sin B=. 由题意知,当sin B∈时,满足条件的△ABC有两个,即<1,解得4<b<8,所以b可能是5,6,7.故选ABC. 12.4　 由题意,如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度. 则||=4,||=8,∠AOB=90°, ∴||==4, ∴实际速度的大小为4 km/h. 13.2　由题意可知,△ABC的面积S=acsin 60°=,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12. 因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以b=2. 14.-1　 (方法1)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,),B(-t,0),=4-≥4-2,当且仅当t+1=, 即BD=-1时,等号成立. 此时,-1. (方法2)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立,此时,-1. 15.解(1)设点C的坐标为(x,y),已知点A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以=(x-3,y-6),=(-2,-1). 又,所以解得 所以点C的坐标为(1,5),=(-3,4), 所以||==5. (2)已知点M(-1,4),所以=(-5,3), =(-1,5),=(-2,-1). 设=λ+μ,即 解得 故+2. 16.解(1)由=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b, 得=6a+2b-(4a-2b)=2a+4b, =2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b=-2(2a+4b)=-2, 则,且有公共点B,所以A,B,C三点共线. (2)若4a+kb与ka+b共线,则存在实数λ,使得4a+kb=λka+b, 即4-λka+k-λb=0, 又a,b是不共线的两个非零向量, 所以 解得 所以实数k的值是±4,当k=-4时,4a+kb与ka+b反向共线. 17.解没有触礁危险,理由如下: 如图,由题意知,∠ABC=15°,∠ACD=60°, ∴∠BAC=45°. 在△ABC中,BC=20,由正弦定理得AC==40sin 15°=40sin(60°-45°)=40(sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°)=10(). 在直角三角形ACD中,AD=AC·sin 60°=15-5>8, 从而可知货轮不改变航向继续前进没有触礁的危险. 18.解(1)已知(a+2c)cos B+bcos A=0, 则(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0, 即sin Acos B+cos Asin B+2sin Ccos B=0, 所以sin(A+B)+2sin Ccos B=0, 所以sin C+2sin Ccos B=0, ∵sin C >0,∴cos B=-. 又0<B<π,∴B=. (2)∵b=3,sin B=,∴由正弦定理得=2,即a=2sin A,c=2sin C, ∴△ABC周长为a+b+c=2(sin A+sin C)+3 =2sin A+sin+3 =2sin+3. ∵0<A<,∴<A+, ∴sin,即2sin+3∈(6,2+3], 则△ABC周长的最大值为2+3. 19.(1)证明由BDsin∠ABC=asin C及正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b. (2)解由(1)知BD=b, ∵AD=2DC,∴AD=b,DC=b. 在△ABD中,由余弦定理得cos∠BDA=, 在△CBD中,由余弦定理得cos∠BDC=. ∵∠BDA+∠BDC=π, ∴cos∠BDA+cos∠BDC=0,即=0, 化简得3c2-11b2+6a2=0. ∵b2=ac,∴3c2-11ac+6a2=0.∴c=3a或c=a. 在△ABC中,由余弦定理知, cos∠ABC=, 当c=3a时,cos∠ABC=>1(舍); 当c=a时,cos∠ABC=. 综上所述,cos∠ABC=. 第9页 学科网（北京）股份有限公司 $