第1章平面向量及其应用单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本单元卷全面覆盖平面向量与解三角形核心知识，题型丰富，融入2025年天津、北京等地真题情境，适配高中数学单元复习，助力巩固基础与提升数学思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选+多选）|11/58|向量平行（题1）、解三角形（题2、3）、数量积（题4）|基础巩固与辨析（题9、10），结合几何直观（题7）| |填空题|3/15|单位向量运算（题12）、三角形中线向量表示（题13）、斜坡影子实际应用（题14）|融入地域真题（题13天津），体现模型意识| |解答题|5/77|向量坐标运算（题15）、解三角形综合（题16、17）、动态向量问题（题19）|分层设计，北京真题（题18）考查推理与运算能力|

第1章　平面向量及其应用 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=(　　) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1) 2.在△ABC中,若∠A=60°,BC=4,AC=4,则∠B的大小为(　　) A.30° B.45° C.135° D.45°或135° 3.已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,∠C=120°,则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 4.已知|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a-b|=(　　) A. B.2 C. D. 5.在△ABC中,a=,b=2,∠A=,则此三角形(　　) A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定 6.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　) A. B. C. D. 7.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC上的动点,则()·的最小值是(　　) A.2 B.0 C.-1 D.-2 8.如图,在平行四边形ABCD中,DE=EC,F为BC的中点,G为EF上的一点,且+m,则实数m的值为(　　) A. B. C.- D.- 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是(　　) A.(4,-8) B.(8,4) C.(-4,-8) D.(-4,8) 10.对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是(　　) A.若a∥b且b∥c,则a∥c B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c D.(a·b)·c=a·(b·c) 11.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则下面说法正确的是(　　) A.若bsin A=acos B,则B= B.若b<c,则cos2B>cos2C C.若∠B=,b=2,a=,则满足条件的三角形共有两个 D.若<0,则满足条件的三角形为钝角三角形 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos<a,c>=　　　　　.  13.(2025天津,14)在△ABC中,D为AB中点,.记=a,=b,则用a,b表示为　　　　;若||=5,且AE⊥CB,则=　　　　　.  14.(2025上海,11)在坡角为θ的斜坡上,小申用两根长1米的细杆铅直的放在斜坡的两个端点A,B处,两根细杆在太阳照射下,B处细杆的影子完全在斜坡上时,A处细杆的影子在水平地面上,影长分别为0.45和0.4,则θ=　　　　.(精确到0.01°)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知a=(1,2),b=(-3,1). (1)求a-2b; (2)设a,b的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值. 16.(15分)△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a. (1)求; (2)若c2=b2+a2,求∠B. 17.(15分)在四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 18.(17分)(2025北京,16)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高. 条件①:a=6; 条件②:bsin C=; 条件③:S△ABC=10. 19.(17分)已知向量是平面内两个不共线的单位向量,C为平面内一动点,且. (1)若P为OC的中点,求向量夹角的余弦值; (2)若||<,求||的取值范围. 参考答案 1.A　∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4. ∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1). 2.B　由正弦定理,得, 则sin B=. 因为BC>AC,所以∠A>∠B,而∠A=60°, 所以∠B=45°. 3.C　将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立, 解得ab=4,故S△ABC=absin C=. 4.A　∵|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为, ∴a·b=1×2×. ∴|a-b|2=a2-2·a·b+3b2=1-2+3×22=7,故|a-b|=.故选A. 5.B　在△ABC中,a=,b=2,∠A=, 由正弦定理可得sin B=. 所以B=,或B=,则此三角形有两解. 故选B. 6.A　如图,=-=-)=)=. 7.D　由平行四边形法则得=2, 故()·=2,||=2-||,且反向,设||=t(0≤t≤2), 则()·=2=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2,∴当t=1时,()·取得最小值-2,故选D. 8.A　∵DE=EC,F为BC的中点, ∴. 设=λ+(1-λ)=λ()+(1-λ)()=λ()+(1-λ)()=(1-+(,又+m,∴解得m=.故选A. 9.AD　当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8). 10.ACD　对于A,b=0,说法错误; 对于B,显然正确; 对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以说法错误; 对于D,如图,若a=,b=,c=,则(a·b)·c与a·(b·c)分别是与c,a共线的向量,显然(a·b)·c=a·(b·c)不成立. 11.AB　对于A,利用扩充的正弦定理得2Rsin Bsin A=2Rsin Acos B,由于0<A<π,整理得sin B=cos B,故B=,故A正确; 对于B,由于b<c,所以0<sin B<sin C,故sin2B<sin2C,即1-cos2B<1-cos2C,整理得cos2B>cos2C,故B正确; 对于C,由于∠B=为锐角,b=2,a=,b>a,则三角形的解只有一个,故C错误; 对于D,由于<0,说明∠B的外角为钝角,∠B为锐角,所以△ABC的形状不能确定,故D错误.故选AB. 12.　∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1. 又a·b=0,c=2a-b, ∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9, ∴|c|=3. 又a·c=2|a|2-a·b=2, ∴cos<a,c>=. 13.a+b　-15 ∵=-b+a, ∴=-b+a,则=b+a-b=a+b. ∵AE⊥CB,则=0,得(a+b)(a-b)=0,整理得a2+3a·b-4b2=0. ① 又||=5, ∴(a+b)2=a2+a·b+b2=25, 整理得a2+8a·b+16b2=900. ② 由①②得,a·b=-4b2+180,a2=16b2-540, ∴=(a+b)(a-b)==-=-15. 14.12.58°　将A处杆移至B处两者重合得如图所示的图形. 在Rt△CBB'中,CB'=. 在△BB'D中,, 即①. sin∠BB'D=sin∠CB'B=②. 联立①②,解得∠BDB'≈55.62°, 由tan∠CB'B=,得∠CB'B=68.2°, 即∠B'DH=68.2°. 故θ=∠B'DH-∠B'DB=12.58°. 15.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ==-. (3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直, 所以(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0, 因为a2=5,b2=10, 所以5-10k2=0,解得k=±. 16.解(1)由正弦定理得,sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A. 故sin B=sin A,所以. (2)由余弦定理和c2=b2+a2,得cos B=. 由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2. 可得cos2B=,又cos B>0, 故cos B=,所以∠B=45°. 17.解(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5,∴由正弦定理得, 即, ∴sin∠ADB=. ∵AB<BD,∴∠ADB<∠A, ∴cos∠ADB=. (2)∵∠ADC=90°, ∴cos∠BDC=sin∠ADB=.∵DC=2, ∴BC==5. 18.解(1)由cos A=-, 得sin A=. ∵asin C=4,∴S△ABC=absin C=×4b=bcsin A,∴4c,解得c=6. (2)若选①,a=6,则a=c. 又cos A<0,∴∠A为钝角, 故△ABC不存在. 若选②,bsin C=,如图,作AD垂直BC于点D,则BC边上的高AD=,此时sin B=,∴∠B∈(). 又cos A=-,∴A∈(), ∴∠A+∠B∈(,π), ∴△ABC存在,此时BC边上的高AD=. 若选③,S△ABC=10.由(1)知S△ABC=×4b=10,解得b=5. 由余弦定理得,a==9, ∴△ABC存在. 又S△ABC=·a·AD, ∴·a·AD=10,解得AD=. 19.解(1)∵,∴=()·()=0,∴=0. ∵, ∴. 若P为OC的中点,则, 可得, ∴)2+)2=0. ∵向量是不共线的单位向量,设其夹角为θ, ∴展开上式可得cos θ-(2+2cos θ)=0, 即cos θ=. (2)由(1)知,, ∴||=||<, 即0≤+2-2-2, ∴0≤2+-2,解得<||≤, ∴||的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $