广西高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用

**基本信息** 高一数学必修二第六章单元测试，聚焦平面向量与解三角形，原创玉林本地情境题（如十字街投影、云天宫测量），梯度覆盖基础概念（如零向量性质）到综合应用（如三点共线证明），培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|向量概念、线性运算|基础辨析（如相等向量定义）| |多选题|3/18|数量积、解三角形|多维度考查（如向量夹角与投影）| |填空题|3/15|坐标运算、实际测量|5G基站距离计算等情境应用| |解答题|5/77|投影向量、三角形面积、动点范围|原创云天宫测量方案设计与评价，体现数学语言表达现实世界|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 零向量与单位向量；相等向量；平行向量（共线向量） 0.88 2 单选题 5 数量积的运算律；相等向量；向量减法的法则 0.85 3 单选题 5 正弦定理解三角形 0.82 4 单选题 5 利用向量垂直求参数 0.85 5 单选题 5 求投影向量 0.82 6 单选题 5 平面向量共线定理证明三点共线问题 0.72 7 单选题 5 正、余弦定理判定三角形形状；正弦定理边角互化的应用 0.85 8 单选题 5 数量积的运算律；三角形的重心和外心的向量表示 0.65 9 多选题 6 已知向量垂直求参数；数量积的坐标表示；由向量共线（平行）求参数；求投影向量 0.85 10 多选题 6 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 0.85 11 多选题 6 解三角形和向量的综合应用 0.62 12 填空题 5 平面向量线性运算的坐标表示 0.82 13 填空题 5 距离测量问题；正余弦定理解三角形 0.71 14 填空题 5 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；二倍角的余弦公式 0.43 15 解答题 13 三角函数求值，正余弦定理解解三角形 0.85 16 解答题 15 三角恒等变换、三角函数单调性；解三角形中线和面积最值问题 0.65 17 解答题 15 平面向量基本定理；已知数量积求模；平面向量共线定理证明点共线问题； 0.8 18 解答题 17 正余弦定理在测试高度实际问题的应用 0.65 19 解答题 17 用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的坐标表示 0.5 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高一数学下学期阶段测试 考试范围：人教A版必修二第六章 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫相等向量 B．零向量的长度是0 C．若，则 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 3．在中，已知，则（   ） A．120° B．或 C．60° D．或 4．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．(原创）玉林市“十字街”路口有两段笔直道路OA与OB，它们之间的夹角为60 。交警部门计划在OB方向上安装一个LED指示牌，投影点落在OA上。已知向量表示道路OA的方向，向量表示道路OB的方向，且∣∣=4，∣∣=6。则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 6．设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 7．在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 8．在中，已知，，若点、分别为的重心和外心，则（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求的。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，在上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 10．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 11．已知在四边形ABCD中，，且，为的中点.则下列说法正确的有（ ） A．四边形的面积为 B． C．的外接圆的周长为 D． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分） 12．设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________. 13．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 14．在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角的对边分别为，若， (1)求的值和 (2)求的值． 16．在中，,设，． (1)用，表示，； (2)若，向量的夹角为，求的模长； (3)若为内部一点，且，求证：，，三点共线． 17．已知. (1)求的最小正周期和单调减区间； (2)在△中，，D为BC中点，，求△面积的最大值. 18.(原创）某数学兴趣小组为测量玉林市著名地标云天宫（云天文化城）主楼设计了两种方案如下： 方案一：如图1，在楼前平地上，选取点C，测得楼顶A的仰角为30 ，然后向楼方向沿直线前进80米到达点D，测得楼顶A的仰角为45 ，已知C,D,B三点共线（B为楼底）。 方案二：如图2，在楼前平地上，选取两点C,D，测得CD=108米。在点C处测得楼顶A的仰角为30 ，在点D处测得楼顶A的仰角为45 ，B为楼底，在点D处测得∠CDB=120  图1 图2 （1） 求方案一云天宫主楼的理论高度h1​ （2） 求方案二云天宫主楼的理论高度h2 （3）已知云天宫（云天文化城）主楼高108米，请根据这一信息评价这两种方案。 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，且，，求的面积； (3)如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学下学期阶段测试 第六章平面向量及其应用 答案及解析 题号 1 3 5 6 P 9 10 11 答案 B B D D B C ACD ACD ACD 1.B 【详解】长度相等，且方向相同的向量叫做相等向量，所以A不正确；零向量的长度为0， 所以B正确；同=例，只能说明ā与6的长度相等，并不能确定其方向，所以C不正确： 共线向量也叫做平行向量，只需保证方向相同或相反即可，所以并不一定在同一条直线上， 所以D不正确 2.B 【详解】由AC=AB+AD得，AC-AD=DC=AB,即四边形ABCD为平行四边形， 又AB+AD=AB-AD,所以AB+AD=AB-AD,整理得ABAD=0,即ABL AD, 所以四边形ABCD为矩形，故选：B 3.D 【译解由CsB所以血Gsv6x 2V3 b 2 2 又c>b,所以C>B所以C=60或120°. 4.D 【详解】因为平面向量a=(2,1),i=(m,-3),若a1(a-),则aa-)=0, 所以a6=a2，即2m-3=5,解得m=4。 5.B 【详解】设因为向量ā在向量方上的投影向量为 c0s0×日，其中=6=4,0=60 3 代入数据得口口b如0口a☐00000口：2a,所以选B 6.A 第1页共8页 【详解】因为BC=e+2e,BD=-5e+4e2，,所以 CD=BD-BC=-5e+4e,-(g+2,=-6g+2e,又AB=2e+m6, 所以AC=AB+BC=3E+(m+2e,，又A,C,D三点共线， 1 入= 所以3e+(m+2)e2=元-6e+22=-6e+22e2,解得 2,故选A. m=-3 7.A 【详解】：正弦定理。=b -=2R,atanB btanA,sinA.tanB sinB.tanA sinA sinB sinA.SinB =sinB.sinA cosB cos: cosBcoss4csB 1 1 :sinA≠0，sinB≠0，. A=4+B,4-B 2 2°，B=1+B4B 22-422，cos4-cos8=-2sin4;Bsn4,B-0: 2 2 六sin4+B=0或sin4,B- 2 2 04+,0,8<,0号4与号 m4生940,4-0，用4=B 2 2 8.C 【详解】解：如图，取BC的中点D,因为G、W分别为△ABC的重心和外心 :D W B C 0 4G=号而-子+4G-B+C孤=D+Dm-+C+Dm 丽+花=-西+列+西+C+D丽-西+C+D丽 (G+)(+C)+DWWC-DW =B+4C)-8c-(B+AC)AC-4B)-aC2-B）-(4-2)=10故选：C G 9.ACD 第2页共8页 【详解】对于A:若a⊥b,则a.b=-8+2t=0,解得t=4,故A正确； 对于B:若a/b,则-4t-4=0,解得1=-1，故B错误： 对于C:当1=2时，万=(2,2)，所以ab=-8+4=-4,=V22+22=22, G6为iR:--专-.c疏 对于D:当a与乃夹角为锐角时，则āb=-8+2t>0,解得t>4,此时向量a,b不同向， 所以当G与的夹角为锐角时，t的取值范围为(4，+∞)，故D正确；故选：ACD. 10.ACD 【详解】对于A选项，由余弦定理可得c2=a2+2-2 abcosC=49+64-2x7×8×3=9, 14 故c=3，A对：对于B选项，由余弦定理可得cosA=+c2-a_64+9-49_1, 2bc 2×8×321 因为0<4<180，故A=60,B错：对于C选项，SAuc-besin A=×8x3x5 =6V3, 2 1, 对于D达项，设M4B边上的高为A,则SRc=ch=h=63,解得h=4 故选：ACD. 11.ACD 【详解】连接BD,AB=2,AD=2V5,且AB⊥AD,则BD=√AD2+AB2=4, 所以tan∠ABD=√5，∠ABD=60,所以∠CBD=60°，所以四边形ABCD的面积为 号4D-4B+8D-BCs血60=×2x25+5×4x2x5=45,放AE确， 2 连接AC,在ABC中，由余弦定理可得 AC=VAB2+BC2-2AB·BC cos.∠ABC=V4+4+4=2V5, AC 23 设1BC的外接國的半径为R,则由正弦定理得2R-m乙BC污=4，即R=2, 2 则外接圆的周长为4r,故C正确； 如图： 第3页共8页 生立平面宜角坐标系，可有400.8120，pQ2).c3,, c-.mx网票} 又0≤(AC,CD)s180°，所以(AC,CD)=120,故B错误； 正号历-(22同，所以死历-(》2+525-10，放D跪 12.（-4,-7 【详解】设点P(x,y),则PP=(x+1,y+1),PP=(2-x,5-y) 由P=P阴，得 +1=-2- x=-4 ,解得 *1=5-列 =-7所以点P的坐标为(-4，-7) 13.10V6km 【详解】在△ADC中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则LCAD=45°， 由正弦定理得4C-CDsin30-105,在ABCD中 sin45° ∠BCD=105°-60°=459，∠CDB=30°+60°=90°，则BC=CD =20W2, c0s45° 在△ACB中，由余弦定理得AB=√AC2+BC2-2 ACBC cos60°=10V6, 所以A、B两个基站的距离为10√6km 14.i5-6 2 【详解】显然BD=AD=2,记LBAD=0,则LABC=0, 所以∠ADC=∠ACD=20,可知AC=AD=2, 第4页共8页 鱼等腰三角形性质得cos29=,0-4即1-2sin日=4，且日为锐角，得sim6V6 4 由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2×AD×BD×c0s(π-29)=4+4+2x2x2×}-=10, 4 则AB=V而，故ABC的内切圆半径r=4B×BCxsin0V0×3x AB+AC+BC= 4.15-6 5+V10 2 15.(c=4,cosB=7 ②)simB+6=的 8 16 【详解】(1)因为在ABC中，A+B+C=π 所以CosC=cos[元-(A+B)]=-cos(A+B)=- 4’(2分) 所以nC=-orC--6 .(4分) 由余弦定理可得，c2=a2+b2-2 abcosC=32+22-2×3×2× 4 =16,所以c=4.(6分) cosB=。2+c--9+164-{:(8分) 2ac 2×3×48 (2)由(1)可知sinB=1-cosB-1-64-8 -49=,10分) 所以sinB+ +6 =sin Bcos+cos Bsin17+35 X 十一×一= .(13分) 6828216 (3)证明见解析 【详解】1)AN=AC+CN=AC+CB=AC+名(aB-AC=2AB+AC= 3 3 3 项=孤-号+5--5：6分y 3 (2)依题意，a6=3x2×c0s60=3,由(1)得N=2a+五，(8分) 3 3 9 9 3 (3)因m=BP-m=4a+-()=a+。6,(13分) 9 2 18 9 第5页共8页 而由4)知M瓜=a+五，则Mm=3Mp, 63 又MN,MP共点M,故M,P,N三点共线.(15分) 17.④最小正周期为x,单调减区间为后+红，号+k],e2: (2)5. 【详解】1)由=5n2x+os2r-=sm2x+爱》-1，则T-受=，3分) 2 2 6 令受+2≤2x+g≤+2r且te2,可行+m≤x≤2+：且te2,5分) 62 3 所以单调减区同为后+红，子+小、8e2 综上，f)鼓小正周期为不，单调减区间为层+红，号+，e2.(6分) 6 61 27分) （2)由题设，f团=sm2A+?-1=分，即si24+? 又0<4<，则<2A+<13江，故24+天=红， 6 66 +6,可得A=号，(9分) 而AB+AC=2AD,故(AB+AC)2=AB+2AB.AC+AC=4AD=12,(11分) 令b=AC,c=AB|,则b2+2 bccosA+c2=b2+bc+c2=12≥3bc,(13分) 所以bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，则△ABC面积S=-besin A≤5， 综上，△ABC面积的最大值为√5.(15分) 18.【详解】 ①设AB=么，在RIMABD中，∠ADB=45,AD=1B=么=V2h(（2分) sin∠4DB sin45° 由∠ACD=30°，∠ADB=45°得∠CAD=∠ADB-∠ACD=45°-30°=15(3分) ·在△4CD中，由正弦定理得：，4D CD 。,即24=80（4分) sin∠4CD sin∠CAD'sin30°sinl5° sin15°=sin(45°-309)=V6-v2(6分) 4 80x1 V2×6-V2=40,5+408分) 2 ∴.h= 4 第6页共8页 (2)设AB=h,在Rt△ABD中，∠ADB=∠DAB=45°，.BD=AB=h(9分) 在AMBC中，ACB=30sC=n-么D=5a,0分 tan∠4CB tan30° .在△BCD中，由余弦定理得：BC2=BD2+CD2-2×BD×CDcos.∠BCD (W3h2)2=h,2+1082-2h2×108cos120° 解得：h=108或-54（舍） .h2=108(米)(14分) (3)己知云天宫（云天文化城）主楼高108米， h-108=40V3-68≈69.28-68=1.28，h2-108=0 方案二的测量高度与实际高度相同，从计算结果看方案二更好(17分) 19.0月 296 「8197 3644 【详解】 (1)因为(2a-c cosB=bcosC,所以由正弦定理得(2sin4-sinC)cosB=sinBcosC,(2分) sinB+C=sinA,又0<4<，则sinA￥0，所以 又0<B<,所以B=子：5分) (2)因为BD=2DC,且CD=1,AD=√7，所以BD=2,BC=3, 在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB.BD.cosB, 即7=AB2+4-2AB,解得AB=3,或AB=-1(舍)，(8分) 所议BC的面积8cB:BCnh3x3269A:0分 1 24 (3)以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则4a0,P30.-.由C-P得c任5,1分y 因为BE=BC,CF=CP,0≤元≤1，所以设E(m,V5),F(n,), 第7页共8页 a--5?5得-2+=5-5,13分) 所以EF任2-川得+引5(5-)-gg+ -2-815分 当-时，正正念以-+器取商地个，最个值为 64 当X=0或2=1时，正亚：2久-+则取得最大值，最大值为}， 16-2+64 「819 所以AE.AF的取值范围是64'4(17分) 第8页共8页