6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时　正弦定理）课件-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦正弦定理及其变形、证明过程、三角形面积公式及应用，通过回顾余弦定理或实际解三角形问题导入，以基础落实（知识点解析、过关自诊）和重难探究（四类例题及变式训练）为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合数学思维与数学眼光，借助向量运算探究证明过程培养推理能力，通过“已知两边一对角解三角形”等例题结合图形、表格分析解的个数，发展几何直观。规律方法总结助学生用数学语言表达解题思路，对学生提升解题与思维能力，对教师提供系统教学资源与高效教学方法。

第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 【课标要求】 1.掌握正弦定理及其变形. 2.借助向量的运算,探究正弦定理的证明过程. 3.掌握三角形面积公式及其应用. 4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点　正弦定理 1.正弦定理 2.三角形的面积公式 在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A. 名师点睛 1.设R是△ABC外接圆的半径,则=2R. 2.正弦定理的变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角); (2)sin A=,sin B=,sin C=(角化边); (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)=2R. 3.三角形面积公式的其他形式 (1)S△ABC=(a+b+c)r,其中r为△ABC的内切圆半径; (2)S△ABC=,其中p=. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)正弦定理只适用于锐角三角形.(　　) (2)在△ABC中,等式asin A=bsin B总成立.(　　) (3)若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形.(　　) × × √ 2.在△ABC中,A>B是sin A>sin B的什么条件? 提示 在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,所以A>B是sin A>sin B的充要条件. 重难探究•能力素养全提升 探究点一　已知两角和一边解三角形 【例1】 在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形. 解 因为B=30°,C=105°, 所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°, sin 105°=sin45°+60°=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60° =. 由正弦定理,得, 解得a==4,c==2(). 规律方法　已知两角及一边解三角形的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 变式训练1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,B=45°, C=75°,则b=(　　) A. B.1 C. D. C 解析 在△ABC中,a=,根据正弦定理可得,∴b=.故选C. 探究点二　已知两边和其中一边的对角解三角形 【例2】 在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,解三角形. 解 由正弦定理,得sin B=. 因为b<a,所以B<A,所以B=30°(B=150°舍去). 于是C=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得c=+1. 规律方法　已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法 (1)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角. 角 A为锐角 A为钝角或直角 图形         关系 式 a=bsin A bsin A< a<b a≥b a>b a≤b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解 (2)三角形解的个数 在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表: 变式训练2已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,a=2,b=x>0,若△ABC只有一解,则实数x的取值范围为(　　) A.[2,+∞)　　　B.{} C.(,2) D.[2,+∞)∪{} D 解析 如图,若B=,a=2,b=x>0,则asin B=,要使△ABC只有一解,则实数x的取值范围为x=或x≥2. 探究点三　　判断三角形的形状 【例3】 已知在△ABC中,角A,B所对的边分别是a和b,若acos B=bcos A,则△ABC一定是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 A 解析 由题意及正弦定理知sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,因为A,B是三角形的内角,所以A-B=0,即A=B.故△ABC是等腰三角形.故选A. 规律方法　三角形形状的判断方法 变式训练3在△ABC中,已知3b=2asin B,且cos B=cos C,A是锐角,则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 D 解析 ∵3b=2asin B, ∴sin B=2sin Asin B,又sin B≠0,∴sin A=. 又A是锐角,∴A=. ∵cos B=cos C,B,C是△ABC的内角, ∴B=C.∴A=B=C,∴△ABC是等边三角形. 探究点四　三角形面积公式的应用 【例4】 (1)计算下列各三角形的面积. ①在△ABC中,a=5,c=3,B=150°; ②在△ABC中,a=8,b=8,A=30°. (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,求△ABC的面积. 解 (1)①S△ABC=acsin B=×5×3sin 150°=. ②由,得sin B=sin A=sin 30°=. ∵a<b,∴30°<B<180°.∵sin B=,∴B=60°或B=120°,相应地,有C=90°或C=30°.∴S△ABC=absin C=×8×8sin 90°=32或S△ABC=×8×8sin 30°=16,∴△ABC的面积为32或16. (2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,∵b=6,a=2c,B=, ∴36=(2c)2+c2-4c2cos,∴c2=12, ∴S△ABC=acsin B=c2sin B=12×=6.故答案为6. 规律方法　三角形面积的求解思路 求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常利用S=absin C=bcsin A=acsin B求解面积. 变式训练4(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64,则c=　　　　.  (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,c=3,△ABC的内切圆半径r=,则△ABC的面积为　　　　　　　.  16 解析 (1)由已知,得S△ABC=bcsin A,即64×16csin 60°,解得c=16. (2)如图,设内切圆与△ABC三边AB,AC,CB分别相切于点D,E,F, 易知CE=CF,∠ECO=∠FCO=30°, 因为CA+CB-AB=CE+CF=2CE, 又在Rt△CEO中,CE=rtan 60°=1, 所以a+b-c=2,又c=3, 所以a+b+c=8,所以S△ABC=(a+b+c)·r=. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)利用正弦定理解三角形. (2)三角形形状的判断. (3)三角形面积公式. 2.方法归纳:转化与化归、数形结合. 3.常见误区:已知三角形的两边及其中一边所对的角,三角形解的个数的判断. $