6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时 正弦定理）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 学习目标 1.掌握正弦定理及其变形. 2.借助向量的运算,探究正弦定理的证明过程. 3.掌握三角形正弦面积公式及其应用. 4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　正弦定理 1. 名师点睛 2.三角形的面积公式 名师点睛 三角形面积公式的其他形式 思考辨析 1.如果已知三角形的两个内角及一条边,那么这个三角形的其他元素唯一确定吗? 提示 唯一确定,因为三角形的两个内角及一条边确定,满足三角形全等的判定定理,所以这个三角形的其他元素唯一确定. 2.在△ABC中,A>B是sin A>sin B的什么条件? 提示 在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,所以A>B是sin A>sin B的充要条件. 自主诊断 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=120°,b=3,c=8,则△ABC的面积等于(　　) B B 3.(北师大版教材习题)在△ABC中,c=4,a=2,C=45°,则sin A=　　　　.  重难探究·能力素养速提升 探究点一　已知两角和一边解三角形 【例1】 在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形. 规律方法　已知两角及一边解三角形的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 变式训练1(2025江苏无锡高一期末)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,B=,b=5,则c=(　　) A.3 B.4 C.7 D.9 C 解析 因为cos A=,A∈(0,π),所以sin A=,又B=,b=5, 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=, 由正弦定理得,所以c==7.故选C. 探究点二　已知两边和其中一边的对角解三角形 【例2】 在△ABC中,已知a=2,b= ,A=45°,解三角形. 变式探究1本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=60°”,解三角形. 变式探究2本例中,将条件“a=2”改为“a= ”,求角B. 变式探究3本例中,将条件“a=2”改为“a=3”,求cos B. 规律方法　已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值. (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角. (3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论. 探究点三　判断三角形的形状 【例3】 (1)已知在△ABC中,角A,B所对的边分别是a和b,若acos B=bcos A,则△ABC一定是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 A 解析 由题意及正弦定理知sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,因为A,B是三角形的内角,所以A-B=0,即A=B.故选A. (2)在△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角. ∵A=180°-(B+C),sin A=2sin Bcos C, ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°,∴B-C=0, ∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形. 变式探究在本例(1)中,将“acos B=bcos A”改为“acos A=bcos B”,判断△ABC的形状. 解 由acos A=bcos B,得sin Acos A=sin Bcos B,所以sin 2A=sin 2B.因为2A,2B∈(0,2π), 所以A=B,或2A+2B=π,A+B=, 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 规律方法　三角形形状的判断方法 变式训练2(1)在△ABC中,已知3b=2 asin B,且cos B=cos C,A是锐角,则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 D (2)在△ABC中,若acos C+ccos A=bsin B,则此三角形为(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 C 解析 ∵acos C+ccos A=bsin B, ∴sin Acos C+sin Ccos A=sin2B,即sin(A+C)=sin2B, ∵A+C=π-B,∴sin B=sin2B,即sin B=1, 又0<B<π,∴B=90°.∴△ABC是直角三角形. 探究点四　三角形面积公式的应用 【例4】 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2,C= ,且a+b=3,则△ABC的面积为(　　) D (2)(2025江苏常州高一期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=60°,a+b=5,△ABC的面积S△ABC=,则边c的值为(　　) A. B.3 C. D. D 解析 因为S△ABC=absin C=ab=,所以ab=4, 又c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-ab=25-3ab=25-12=13,所以c=.故选D. 规律方法　三角形面积的求解思路 求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常利用 求解面积. 变式训练3(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64 ,则c=　　　　;  16 (2)(2024全国新高考卷Ⅰ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. ①求角B; ②若△ABC的面积为3+,求c. 解 ①∵a2+b2-c2=ab,∴cos C=.又C∈(0,π),∴C=.∵sin C=cos B,即sincos B,即cos B,解得cos B=. 又B∈(0,π),∴B=. ②由①知B=,C=,∴,即,∴b=c.又sin A=sin(π-B-C)=sin(π-)=sin()=sincos+cossin,△ABC的面积为3+,∴bcsin A=c2·=3+,∴c2=8,∴c=2. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)利用正弦定理解三角形. (2)三角形形状的判断. (3)三角形面积公式. 2.方法归纳:转化化归、数形结合. 3.常见误区:已知三角形的两边及其中一边所对的角,三角形解的个数的判断. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b= ,B=60°,则A=(　　) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° A 1 2 3 4 5 2.已知△ABC中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　　) C 1 2 3 4 5 C 1 2 3 4 5 4. 在△ABC中,a=5,b=5 ,A=30°,则B=　　　　　.  60°或120° 1 2 3 4 5 5.(2025江苏镇江高一期末)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bc=3b2+3c2-3a2. (1)求sin A; (2)若a=2,b+c=5,求△ABC的面积. 1 2 3 4 5 解 (1)∵bc=3b2+3c2-3a2,∴a2=b2+c2-bc. 又a2=b2+c2-2bccos A,∴cos A=, 而A为三角形的内角,∴sin A=. (2)∵a2=b2+c2-bc,∴4=(b+c)2-bc,∴bc=9, ∴S△ABC=bcsin A=. 1.设R是△ABC外接圆的半径,则=2R, . 2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径) (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角); (2)sin A=,sin B=,sin C=(角化边); (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则S△ABC=absin C=acsin B =bcsin A. (1)S△ABC=,其中R为△ABC的外接圆半径; (2)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中R为△ABC的外接圆半径; (3)S△ABC=(a+b+c)r,其中r为△ABC的内切圆半径; (4)S△ABC=,其中p=. A.6 B.6 C.12 D.12 解析 由题意得,△ABC的面积S=bcsin A=3×8sin 120°=3×8=6,故选B. 2.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=2,则c等于(　　) A.1 B.2 C. D. 解析 因为A=105°,B=45°,所以C=30°. 由正弦定理,得c==2. 解析 由正弦定理,得sin A=. 解 因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 由正弦定理,得, 解得a==4,c==2(). 解 由正弦定理,得sin B=. 因为b<a,所以B<A,所以B=30°(B=150°舍去). 于是C=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得c=+1. 解 由正弦定理,得sin A=>1,则角A不存在,所以该三角形无解. 解 由,得sin B=,∴B=60°或B=120°. 又1<a<b,∴B=60°或B=120°. 解 由正弦定理,得sin B=,∴cos B==, ∵a>b,∴A>B,∴cos B=. 解 根据正弦定理,得, 解析 ∵3b=2asin B, ∴sin B=2sin Asin B,又sin B>0,∴sin A=. 又A是锐角,∴A=. ∵cos B=cos C,B,C是△ABC的内角, ∴B=C.∴△ABC是等边三角形. A. B. C. D. 解析 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 所以22=a2+b2-2ab×cos,即4=(a+b)2-3ab, 又a+b=3,所以ab=, 所以S△ABC=absin,故选D. S=acsin B 解析 由已知,得S△ABC=bcsin A,即64×16csin 60°,解得c=16. 解析 ∵在△ABC中,B=60°, ∴根据正弦定理,可得sin A=, 又在△ABC中a<b,可得A<B,∴A=30°.故选A. A.9 B.18 C.9 D.18 解析 由题意,得C=30°,所以AB=BC=6, 所以△ABC的面积S=AB·BC·sin B=×6×6×=9. 3.在△ABC中,AC=3,BC=2,cos C=,则sin A=(　　) A. B. C. D. 解析 因为AC=3,BC=2,cos C=,所以sin C=,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2BC·ACcos C=9+4-2×3×2×=5,可得AB=.由正弦定理,可得,所以sin A=.故选C. 解析 由正弦定理,得sin B=. ∵b>a,∴B>A,且0°<B<180°,∴B=60°或120°. $